2.3.4 圆与圆的位置关系专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.3.4 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2．（多选）已知两圆和，则下列结论正确的是（   ） A．当时，，外切 B．当时，，相交 C．当时，，内切 D．不存在实数使得，相离 3．已知圆与，则两圆位置关系是 . 4．已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长； (3)判断圆与（2）中圆D的位置关系，并说明理由． 题型二 求两圆的交点坐标 5．已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．当三点不共线时，射线是的平分线 C．在上存在使得 D．在轴上存在异于的两个定点，使得 7．已知平面直角坐标系中，，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是 . 8．已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． (1)求圆的标准方程； (2)求r的值以及点A的坐标； (3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 9．设圆：与圆：（）相交于，两点，则当四边形的面积取得最大值时，（   ） A．2 B． C． D． 10．（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．若圆与圆相交，则圆的面积大于 11．若圆与圆（）外切，则 . 12．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 13．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 15．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： . 16．已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 题型五 相交圆的公共弦方程 17．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知圆，，下列结论正确的是（    ） A．若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为 B．若，则两圆有3条公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 D．若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为 19．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 20．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 题型六 两圆的公共弦长 21．已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 22．（多选）圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆的公切线有3条 B．两圆圆心距 C．公共弦的长为 D．公共弦所在直线的方程为 23．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为 . 24．平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程； (2)若以为直径的圆与圆交于不同的两点，设线段的中点为，求线段的长度及点的坐标． 题型七 圆的公切线条数 25．与圆：和圆：都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 26．（多选）已知圆，直线，则（ ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆与圆恰有三条公切线 27．已知圆与圆有三条公切线，则 ． 28．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 题型八 圆的公切线方程 29．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 31．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 32．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 题型九 圆的公切线长 33．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 34．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 35．圆与圆的公切线长为 . 36．已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．已知圆，圆，则两圆的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得两圆的圆心以及半径，结合圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，可化为， 其圆心，半径， ， ，， 因为，所以两圆相交. 故选：B 2．（多选）已知两圆和，则下列结论正确的是（   ） A．当时，，外切 B．当时，，相交 C．当时，，内切 D．不存在实数使得，相离 【答案】ABC 【分析】先计算圆心距，利用圆心距和半径的关系逐项判断即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，，， 当时，，所以，外切，故A正确； 当时，，所以，所以，相交，故B正确； 当时，，所以，内切，故C正确； 当时，即时，，外离，当时，即时，，内含，故D错误. 故选：ABC. 3．已知圆与，则两圆位置关系是 . 【答案】相交 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】由题意得 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， ，，， ∵， ∴圆与圆两圆相交 故答案为：相交. 4．已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长； (3)判断圆与（2）中圆D的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)x轴与圆D相交， (3)圆E与圆D外切，理由见解析 【分析】（1）根据题意可设圆心，结合圆的半径运算求解即可得，进而可得圆的方程； （2）分析可知圆D的半径，圆心与点关于直线对称，根据点关于直线对称运算求解即可； （3）根据题意可得圆心和半径，进而求圆心距判断两圆的位置关系. 【详解】（1）因为圆C的圆心在射线上，可设圆心， 又因为圆C的半径为2，点在圆C上， 则，解得， 即圆心，所以圆C的标准方程为． （2）因为圆D与圆C关于直线对称， 则圆D的半径，圆心与点关于直线对称， 可知直线CD的斜率为1，且线段CD的中点在直线上， 则，解得，即， 因为点D到x轴的距离，可知x轴与圆D相交， 所以弦长为． （3）圆E与圆D外切．理由如下， 由（2）可知圆D的圆心为，半径， 且圆的圆心为，半径． 则， 所以圆E与圆D外切． 题型二 求两圆的交点坐标 5．已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 6．（多选）在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．当三点不共线时，射线是的平分线 C．在上存在使得 D．在轴上存在异于的两个定点，使得 【答案】ABD 【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，设出点的坐标并列出方程求解即可判断C，设，的坐标结合的方程可判断D. 【详解】设点，则由可得，化简可得，故A正确； 当三点不共线时，因为，，， 所以，所以，射线是的平分线，故B正确； 设存在，则，即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，又因为不满足，所以不存在满足条件，故C错误； 假设轴上存在异于的两定点，使得， 可设，，可得，即， 又的轨迹方程为，可得，， 解得，或，（舍去），即存在，，故D正确. 故选：ABD. 7．已知平面直角坐标系中，，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】分别点为圆心，为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案. 【详解】解：如图，分别以点为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点. 因为， 所以以点为圆心，为半径的圆的方程为； 以点为圆心，为半径的圆的方程为. 联立方程，解得（负舍）， 所以点的坐标是 故答案为： 8．已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． (1)求圆的标准方程； (2)求r的值以及点A的坐标； (3)过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）设圆，利用待定系数法即可求解； （2）根据两圆的位置关系可求出，联立两圆的方程可求出点的坐标； （3）设直线的方程为，表示出两圆的弦心距进而表示出和，最后利用列方程即可求解. 【详解】（1）设圆，由题意可知， 解得，所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以， 解得或（舍去）， 所以圆的标准方程为， 联立，解得，所以点的坐标为. （3）由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 所以，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 9．设圆：与圆：（）相交于，两点，则当四边形的面积取得最大值时，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆联立方程组，求出点，的坐标，由两圆相交求出的范围，计算，利用二次函数求出最大值时的值，将代入点，则得解. 【详解】联立，解得， 圆：与圆：（）相交于，两点， ，， 则，， ，，， ， 设，对称轴为，即，， 在这个范围内， 当时，取最大值，此时取最大值，且 则. 故选：C.    10．（多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．若圆与圆相交，则圆的面积大于 【答案】ABD 【分析】利用两点间距离公式代入圆心坐标判断A选项；把点代入圆的方程判断B选项；根据两圆内切圆心距等于半径之差判断C选项；由两圆相交圆心距小于半径之和判断出圆半径的取值范围，代入圆的面积公式判断D选项. 【详解】对于A，显然，，，故A正确； 对于B，可得，于是圆：， 代入得，成立，故B正确； 对于C，显然圆的半径为，圆的半径为， 于是，解得，故C错误； 对于D，由得，故圆的面积，故D正确． 故选：ABD 11．若圆与圆（）外切，则 . 【答案】4 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用外切时两圆心距离等于半径之和可解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 解得. 故答案为：4. 12．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】(1); (2)或； (3). 【分析】（1）利用垂直平分线交点来求出圆心坐标，再求出半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由垂径定理把弦长问题转化为圆心到直线距离问题求解即可； （3）设，，表示中点，将点代入圆，若存在，则方程组有解，利用数形结合，把方程有解问题转化为两圆有公共点问题，再根据两圆位置满足的关系式，利用恒成立思想可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【详解】（1）由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是，的垂直平分线斜率为， 即的垂直平分线方程是， 所以由，解得，所以圆心是，， 即圆的方程是； （2） 过点作直线的垂线，垂足为，由圆截得的弦长为6，可得， 再由圆的半径，可得， 所以当斜率存在时，可设过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：， 则直线方程为， 当斜率不存在时，此时过点的直线方程为， 再由点到直线的距离公式可得：，满足题意， 综上可得，直线的方程为或； （3） 因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述，. 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 13．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 14．（多选）已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 15．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 16．已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. （2）由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 题型五 相交圆的公共弦方程 17．已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为. 故选:A. 18．（多选）已知圆，，下列结论正确的是（    ） A．若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为 B．若，则两圆有3条公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 D．若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为 【答案】AC 【分析】对A，两圆内切，根据圆心距等于半径相减列方程，可求轨迹方程；对B，根据圆心距，可知，所以两圆相交，可知有两条公切线；对C，先判断两圆相交，再将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程；对D，根据，根据圆上一点和定点的距离最大值为圆心与定点的距离加半径即可求得. 【详解】对A，，圆心，， ，圆心，，两圆内切，所以圆心距等于半径相减， 所以，A选项正确； 对B，圆心距为，因为，两圆相交， 故有2条公切线，B选项错误； 对C， ， 圆心距，因为，两圆相交， 两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，故C选项正确； 对D，,的最大值为， 所以最大值为，故D选项错误. 故选： AC 19．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将圆的方程作差即可求得公共弦方程. 【详解】两圆方程相减得到，即. 故答案为：. 20．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）根据切线斜率是否存在进行分类讨论，则切线方程可求； （2）通过两圆方程相减可得直线的方程，再由到直线的距离以及的半径可求. 【详解】（1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. （2）， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以. 题型六 两圆的公共弦长 21．已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 22．（多选）圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆的公切线有3条 B．两圆圆心距 C．公共弦的长为 D．公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，求出圆心距即可判断B；把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断D；判断两圆的位置关系，即可判断A；因为公共弦所在直线过圆心，所以公共弦的长等于，即可判断C． 【详解】圆化成标准方程， 则圆心，半径， 圆化成标准方程， 则圆心，半径， 故两圆圆心距，故B正确； 圆和圆， 将两方程相减得，即， 即公共弦所在直线的方程为，故D错误； 因为， 所以，则两圆相交， 所以圆和圆的公切线有2条，故A错误； 因为公共弦所在直线过圆心， 所以公共弦的长等于，故C正确． 故选：BC． 23．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为 . 【答案】 【分析】先求出直线的方程，利用几何法求弦长即可. 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得， 即直线的方程为，如图，    所以. 故答案为： 24．平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程； (2)若以为直径的圆与圆交于不同的两点，设线段的中点为，求线段的长度及点的坐标． 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）对直线的斜率分类讨论，再结合直线和圆相切的性质建立方程，求解参数即可. （2）两圆相减得到公共弦方程，结合点到直线的距离公式与弦长公式求出的长度，再结合圆的性质求解点的坐标即可. 【详解】（1）当的斜率不存在时，方程为，符合题意， 当的斜率存在时，设方程为， 化简得，设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，而圆的半径为， 因为过点的直线与圆相切，所以， 解得，则方程为， 综上可得，直线的方程为或. （2）由中点坐标公式得以为直径的圆圆心为， 由两点间距离公式得半径为，则方程， 如图，作出符合题意的图形， 两圆相减可得的方程为，其斜率为， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由圆的弦长公式得， 因为是的中点，所以，得到，则的方程为 设，联立方程组，解得，故. 题型七 圆的公切线条数 25．与圆：和圆：都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先判断两圆的位置关系，进而得出结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径为2；圆的圆心坐标为，半径为3， 所以，所以两圆相外切. 所以与两圆都相切的直线有3条. 故选：C. 26．（多选）已知圆，直线，则（ ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆与圆恰有三条公切线 【答案】ACD 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B； 根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，当时，圆的方程，化为标准方程为， 其圆心为，半径为，满足，则两圆外切，共有三条公切线，故D正确. 故选：ACD. 27．已知圆与圆有三条公切线，则 ． 【答案】 【分析】首先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，圆心，半径为，， 因为两圆有3条公切线，所以两圆相外切，所以，所以， 故答案为： 28．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 【答案】(1)； (2)相交，两条公切线. 【分析】（1）根据圆心到直线的距离求解直线方程； （2）根据圆心距与半径和差的关系判断两圆位置关系，确定公切线条数. 【详解】（1）圆可化为， 圆心，半径， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，不合题意； 若直线的斜率存在，设为，则直线，即， 圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则， 解得，所以直线的方程为，即. （2）圆可化为，圆心，半径， 因为，所以， 所以两圆相交，公切线有两条. 题型八 圆的公切线方程 29．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 30．（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 31．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】根据圆与圆的位置关系，先确定出切线条数，其中可直接根据位置关系求得，根据与圆心连线的位置关系以及与相切可求方程，根据直线关于直线的对称直线求法求解出的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 32．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1)， (2)，和 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. （2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 题型九 圆的公切线长 33．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 34．（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 35．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    36．已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $