精品解析：天津市第一0二中学2025-2026学年高一上学期12月统练数学试卷

2025—2026学年高一年级第一学期12月统练数学学科 一、单选题 1. 化为弧度是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 两个角的终边相同，则它们的大小相等 B. 若角为第二象限角，则是第四象限角 C. 第一象限角都是锐角 D. 终边在直线上的角的集合是 6. 已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 9. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 10. 已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. _______． 12. 已知函数的图象过定点，则________. 13. 化简_______． 14. 已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 15. 若方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为________. 16. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 三、解答题 17. （1）求值：； （2）已知，且，求实数k的值． 18. 已知，． （1）求值； （2）求的值． 19. 已知奇函数. （1）求的值. （2）利用函数定义证明函数单调递增. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一年级第一学期12月统练数学学科 一、单选题 1. 化为弧度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化. 【详解】,故选：B. 【点睛】 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，满足， 由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为. 故选C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系. 【详解】，，， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题. 4. 函数的图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特殊点函数值即可判断. 【详解】因为， 结合图象只有D符合， 故选：D 5. 下列说法正确的是（    ） A. 两个角的终边相同，则它们的大小相等 B. 若角为第二象限角，则是第四象限角 C. 第一象限角都是锐角 D. 终边在直线上的角的集合是 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例即可判断选项A，C；根据角与角终边的对称性即可判断选项B；写出终边在直线上的角的集合即可判断选项D. 【详解】角与角的终边相同，但它们的大小不相等，故选项A不正确； 因为角与角的终边关于轴对称，所以当角为第二象限角时，角是第三象限角，故选项B不正确； 第一象限角不都是锐角，比如角为第一象限角，但它不是锐角，故选项C不正确； 若终边在直线上的角在第二象限，则集合是； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是 ，故选项D正确. 故选：D. 6. 已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数在上单调递增，则可根据单调性列不等式，即可得实数a的取值范围. 【详解】解：函数满足对任意，都有 成立， 则函数在上单调递增，所以，解得. 故选：B. 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据商数关系将变形为，再将代入计算即可. 【详解】因为，所以可知， 所以将的分子分母同时除以得到 ， 将代入上式可得. 故选：B 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间. 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. 9. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 10. 已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与函数的图象可得结果. 【详解】令可得， 作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，函数与函数的图象有个交点， 此时，函数有个零点.因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了函数的零点，属于基础题. 二、填空题 11. _______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用诱导公式可得答案. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知函数的图象过定点，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意，令对数的真数等于1，求出定点坐标，从而得出的值，从而得出结果. 【详解】解：由题可知，函数的图象过定点， 令，得， 此时， 函数的图象过定点， ，则. 故答案为：4. 13. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 14. 已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 【答案】弧度 【解析】 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 15. 若方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由可得出，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由可得出， 令，当时，， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 16. 已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对任意恒成立得出，再结合复合函数的单调性得出即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因为在上单调递减，则，故， 故，即； 因为函数在上单调递增，且在上单调递减， 则在上单调递减， 则，即， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 17. （1）求值：； （2）已知，且，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算的性质和换底公式即可求解； （2）利用指数对数互化求出，再利用换底公式和对数的运算性质即可求出答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由得，， ，即， 因为，所以. 18. 已知，． （1）求值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系，再结合同角三角函数关系式，即可求解； （2）根据（1）的结果求的值，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 ， 得； 【小问2详解】 ，且，得， ，， 所以，， 联立，得，， 则. 19. 已知奇函数. （1）求的值. （2）利用函数定义证明函数单调递增. （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 由(1)可知，定义域为， 设，且，则 ， 因为，所以，即， 而，所以，即， 所以函数单调递增； （3） 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的定义，列式化简即可求的值； (2)利用单调性的定义进行证明； (3)利用函数的单调性与奇偶性将不等式进行变形，转化为对恒成立问题进行求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是奇函数且在上单调递增，所以不等式 ，对恒成立， 当时，不等式化简为，符合题意； 当时，，即. 综上，实数的取值范围为. 20. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若对于恒成立，求m的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的运算化简函数，令，得到，解得的取值范围，然后求得的取值范围； （2）由对数的运算整理不等式，令并通过的取值范围，求得的取值范围.将不等式分离常数都得到，构造函数并通过函数的单调性求得不等式右边的最大值，从而求得的最小值. 【小问1详解】 ， 令，则， ，即，则，∴或， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴或. 【小问2详解】 ， 即，∴恒成立， 令，∵，∴， 则恒成立 令函数， ∵在上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增， ∴， ∴. 即m的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $