精品解析：河南省青桐鸣2026届高三上学期12月联考数学试题（A卷）

青桐鸣大联考（高三） 数学（A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合，然后根据集合交集运算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2. 复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义、复数的加法以及复数的模长公式可化简得出的值. 【详解】因，则，故， 所以. 故选：D. 3. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由命题为真分别求出的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】由知，在上有解， 所以； 因为的对称轴方程为，由知，， 因为不能推出，， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：B 4. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别为线段BC，CD的中点，则（ ） A B. 5 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量表示与数量积运算即可得答案. 【详解】由题可知，， ， 所以， 故选：C 5. 函数的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算的值，结合函数对称性的定义可得出结果. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 又因为 ， 所以，故函数的对称中心为. 故选：D. 6. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质结合勾股定理求出关系后计算离心率. 【详解】设，则，， 易得，故， 故在中，，故． 故选：D 7. 已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 8. 在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析过A，C，D三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【详解】由题意，是边长为2的正三角形，设过A，C，D三点的球心为，半径为， 则球中过A，C，D三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径， 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接，过作，交于N。 则为正四棱锥的高，， 由知，平面, 且，即球心到截面的距离， 所以过截面圆的半径为， 所以球被平面BCDE所截截面的面积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于，两点，为实数，则下列正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若上恰有4个点到直线l的距离为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，求出圆心和半径，求出直线恒过定点，的最大值为直径；选项B，直线与垂直时的弦长最小；选项C，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用计算求解；选项D，由上恰有4个点到直线l的距离为，得到圆心到直线的距离，计算求解. 【详解】选项A，，圆心为，半径为， ，恒过定点， ，在内， 的最大值为直径，故选项A正确； 选项B，当直线与垂直时，最小，， ，故选项B错误； 选项C，变形为， 则圆心到直线的距离为， ，，， ，故选项C错误； 选项D，上恰有4个点到直线l的距离为， 圆心到直线的距离，，故选项D正确. 故选：AD. 10. 已知正方体的棱长为，、分别为线段、的中点，则下列正确的有（ ） A. 与互为异面直线 B. C. 过有且仅有一个平面与平面平行 D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】连接、、、、，证明出，可判断A选项；证明出，结合，可判断B选项；取线段的中点，连接、，证明出平面平面，可判断C选项；延长至点，使得，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，可得出，结合锥体体积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以，则， 故、、、四点共面，所以与共面，A错； 对于B选项，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，故，B对； 对于C选项，取线段的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，、平面，故平面平面， 所以过有且仅有一个平面与平面平行，C对； 对于D选项，延长至点，使得， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数，的零点个数为，为实数，则下列正确的有（ ） A. 当时， B. 当时， C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，数形结合可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断CD选项. 【详解】因为函数，函数的图象如下图所示： 当时，由可得， 当时，由可得；当时，由，可得. 综上所述，当时，，A对； 对于B选项，当时，令，则有两解、，且，， 方程有两解，方程有两解，故当时，，B错； 令，则， 当时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，C错； 当时，， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，D对. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，代入抛物线方程中，利用点差法得出的表达式，结合中点公式以及直线两点的斜率公式计算即可. 【详解】设， 因为两点在抛物线上， 所以，① ，② ②①得：， 即， 由题意知， 又的中点坐标为，所以， 所以， 此时，抛物线方程为，直线与抛物线的交点为， 点在抛物线内，直线和抛物线相交. 故答案为：1. 13. 已知，，则________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】通过已知条件得出或，然后根据进行分析得出，代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 或， ①当时，， 由，所以不存在整数满足题意， ②当时，， 由，当时， 所以， 故答案为：. 14. 已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，，，，其前项的和为，则时的最大值为______. 参考公式： 【答案】 【解析】 【分析】将数列表示为三角数阵的形式，计算出前行所有数的总和，以及时对应项数，即可得解. 【详解】将数列写成以下形式： 第行所有数的和为， 前行所有数之和为， 当时，， 若再加上第行第一个数，总和为， 加上第行前两个数，则总和大于， 故的最大值为. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知的内角，，的对边分别为，，，，为的中点，为上一点，平分. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，由结合两角和的正弦与二倍角公式化简可得，进而可得是直角三角形，计算即可求解； （2）设，由题意可得，化简可得，由结合同角三角函数基本关系可得，，利用两角和差正弦化简可得，再利用正切二倍角公式化简即可求解. 小问1详解】 由正弦定理可得，即， 因为，则 ， 因为，所以，故上式化简可得， 因为，所以，即（负值不符合题意舍去） 所以（不符合题意舍去），， 即是直角三角形，故， 所以的面积为； 【小问2详解】 设，则，因为，所以， 因为为的中点，平分， 所以，即， 因为，则， 因为，， 所以，， 则， 即， 化简可得，所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明出平面，可得出，利用勾股定理得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）由结合等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 因为，，，所以，故， 取的中点，连接，如图所示： 因为，故， 又因为，即，故四边形为平行四边形，所以且， 因为，故，即， 所以， 因为，所以，故， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，故，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为，则， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，故， 因为平面，平面，所以，故， 由得，解得， 故点到平面的距离为. 17. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交该椭圆于、两点，且，为坐标原点，当的面积最大时，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由对称性可知，直线过轴上的定点，分析可知，直线不与轴重合，设该直线方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合与韦达定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合对勾函数的单调性求出面积的最大值及其的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由对称性可知，直线过轴上的定点，易知点， 若直线与轴重合，与矛盾， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 因为， 则 ， 即， 因为直线不过点，则，故， 即直线的方程为， 所以 ， 令， 则， 由对勾函数的单调性可知， 函数在上为增函数， 故当时， 即当时，取最大值，且其最大值为， 故当的面积最大时，直线的方程为. 18. 已知函数有两个零点，函数. （1）求的取值范围； （2）证明：； （3）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，极限思想，即可求解； （2）求导，分别讨论当，，时，确定与的大小，从而证得结论； （3）不妨设，则，，结合（2）中不等式可得，由可得，从而得，同理可得，从而结合两个不等式可证得结论 【小问1详解】 ，， 当时，，在上递增，至多一个零点； 所以，且时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 须有，所以． 又时，；时，， 所以有两个零点，的取值范围为； 【小问2详解】 证明：， 当时，，成立； 当时，则恒成立，所以在递增，， 则时，恒成立，故恒成立； 当时，则恒成立，所以在递增，， 则时，恒成立，故恒成立； 综上，恒成立； 【小问3详解】 证明：由（1）得是函数的极值点，不妨设，则，， 由（2）可得，即， 由，可得， 即，整理得①， 同理，由，可得：②， 则②-①可得：， 故可得，即. 19. 已知数列满足： （1）求的值. （2）已知 （i）求 （ii）若，求出满足条件的n的最大值. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推关系式，当，时，即可得的值； （2）（i）由递推关系式结合累乘法求解的通项公式，利用裂项求和法即可得；（ii）根据，结合不等式放缩与等比数列求和公式，从而得满足条件的n的最大值.. 【小问1详解】 当时，，故， 当时，，故， 【小问2详解】 （i）当时，由，可知， 故， 当时，，满足上式， 综上，； （ii）， 其中， 故， 所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青桐鸣大联考（高三） 数学（A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 复数满足：，为虚数单位，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别为线段BC，CD中点，则（ ） A. B. 5 C. D. 13 5. 函数对称中心是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数的一条对称轴是，且在上单调，则ω的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在正四棱锥中，，过A，C，D三点的球的体积最小时，球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于，两点，为实数，则下列正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若上恰有4个点到直线l的距离为，则 10. 已知正方体的棱长为，、分别为线段、的中点，则下列正确的有（ ） A. 与互为异面直线 B. C. 过有且仅有一个平面与平面平行 D. 三棱锥的体积为 11. 已知函数，的零点个数为，为实数，则下列正确的有（ ） A. 当时， B. 当时， C. 上单调递增 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知斜率为的直线交抛物线于两点，的中点坐标为，则________. 13. 已知，，则________ 14. 已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，，，，其前项的和为，则时的最大值为______. 参考公式： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知的内角，，的对边分别为，，，，为的中点，为上一点，平分. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面距离． 17. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交该椭圆于、两点，且，为坐标原点，当的面积最大时，求的方程. 18. 已知函数有两个零点，函数. （1）求的取值范围； （2）证明：； （3）证明： 19. 已知数列满足： （1）求的值. （2）已知 （i）求 （ii）若，求出满足条件的n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $