第八章成对数据的统计分析讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义以“变量间相关关系-回归分析-独立性检验”为主线构建统计案例知识体系，通过知识框架图系统梳理相关关系定义、散点图等基础概念，对比表格归纳正/负相关特征与残差分析方法，思维导图呈现线性回归模型构建逻辑，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“思考探究+当堂检测”的分层设计，如结合残差产生原因分析培养数学思维，通过K²统计量计算实例提升数据处理能力，助力学生用数学语言表达统计规律，既支持基础薄弱学生巩固概念，也为优秀学生提供深化空间，便于教师实施精准复习教学。

统计案例 变量间的相关关系 1、相关关系的定义： 变量间确实存在关系，但又不具有函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有_______________的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。两个变量之间的关系分为_______________和__________________。 2、散点图： 将样本中____个数据点__________________________描在平面直角坐标系中得到的图形。 3、正相关和负相关： （1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也____________________。 （2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也____________________。 两个变量的线性相关 1、最小二乘法： 设的一组观察值为且回归直线方程为，当取值时，的观察值为，差刻画了实际观察值与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常用离差的平方和，即 ____________________________________作为总偏差，并使之达到______________，这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，由于平方又叫二乘方，所以这种使“______________________”的方法，叫做最小二乘法。 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 回归直线方程： （1）回归直线必过 。 （2）设回归方程为，则有 ， 其中，， 是回归方程的斜率，是截距。 线性回归模型 线性回归模型为y＝bx＋a＋e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量． 思考：在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，e产生的原因主要有哪几种？ [提示]随机误差产生的原因主要有以下几种： (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差． 残差的概念 对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，实际值减去估计值为相应于点(xi，yi)的残差． 刻画回归效果的方式 残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图 残差 图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 残差 平方和 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 相关 指数R2 R2＝1－______，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示模型的拟合效果越好 与列联表相关的概念 (1)分类变量：变量的不同“__值__”表示个体所属的__不同类别__，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表： ①列出__两个__分类变量的__频数表__，称为列联表． ②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 　　Y X　　　 y1 y2 总计 x1 a b __a＋b__ x2 c d __c＋d__ 总计 __a＋c__ __b＋d__ a＋b＋c＋d 等高条形图 等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否__相互影响__，常用等高条形图展示列表数据的__频率特征__． 独立性检验的基本思想 (1)定义：利用随机变量__K2__来判断“两个分类变量__有关系__”的方法称为独立性检验． (2)公式：K2＝____，其中n＝__a＋b＋c＋d__． (3)独立性检验的具体做法： ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定__临界值__k0． ②利用公式计算随机变量K2的__观测值__k． ③如果__k≥k0__，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在__犯错误的概率__不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中__没有发现足够证据__支持结论“X与Y有关系”． 变量间的相关关系，回归分析 独立性检验 作业 当堂检测 学科网（北京）股份有限公司 $