15.3.1等腰三角形同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.1等腰三角形同步练习 一、单选题 1．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 3．中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．如图，在中，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，的平分线交边于点D，则的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点D在边上，点E在边上，，若，则的面积为（   ）    A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 10．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 11．如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 12．已知为等腰三角形，且，则 ． 13．如图，在中，点D在边上，，，则 ． 14．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 15．如图，，，分别是的中线和角平分线．，则 ． 16．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 17．如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为 18．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 19．如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 20．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 21．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 三、解答题 22．如图：是等腰的高，，求证： 23．如图，中，，，、分别为线段的垂直平分线段，点为垂足． (1) °； (2)求的度数． 24．如图，已知，，和交于点O．求证： (1)； (2)为等腰三角形． 25．如图，已知中，，D是的中点，于E，于F．求证： (1)； (2)． 26．如下图，中，，点D在BC边上，且．求的度数． 27．如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 28．在学习了全等三角形和三角形的中线、角平分线、高后，思无涯学习小组通过进一步研究发现：等腰三角形中底边上的中线也是底边上的高，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： 如图，在中，点是的中点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证： ． 证明：在中，点是的中点， ①___________， 又， ， 是等腰三角形， 在和中， ， ， ③___________， 又， ④___________， ． 进一步思考，等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线有何关系?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ⑤___________． 29．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 30．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A．                    B．                    C．                    D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，由等边得等角求解即可． 由可得为等腰三角形，再根据顶角可求解底角即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴为等腰三角形， 又∵， 所以． 故选：C ． 2．D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 3．B 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先求出，再根据等腰三角形性质求出结论即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键．由三角形内角和定理可得，进而由角平分线的定义即得，得到，进而得到． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定义，对顶角相等．掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，证明，，可得是等腰直角三角形，继而证明，则，可得，即可解答． 【详解】解：过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，如图    ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的作法与性质、等边对等角等知识点，掌握中垂线的作法是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：为的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故选C． 9．C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 10．4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 11． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据的度数判断是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，， ∴为顶角， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，先由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】根据，得到是等腰三角形，是的中线，运用等腰三角形底角相等和“三线合一”的性质即可求出，再运用角平分线的性质求解即可． 【详解】 是等腰三角形， 是的中线， 是等腰顶角平分线， 是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、“三线合一”和角平分线的性质；熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 16．3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．/50度 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，先根据垂直平分线的性质可得，即可求得的度数，从而可以求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 19． 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 20．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 21．6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 22．证明见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质、角平分线的性质及等腰三角形性质，根据等腰三角形性质先证明，，即可证明从而得出结论． 【详解】证明：，是等腰的高， ， ， ， 在和中， ， ， ． 23．(1)100 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接根据三角形内角和定理，进行列式计算即可作答． （2）先结合线段垂直平分线的性质，得，则，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：100； （2）解：∵、分别为线段的垂直平分线段，点为垂足． ∴， ∴，， 由（1）得， ∴． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定，得出答案即可． 【详解】（1）证明：在和中, ， ； （2）证明：∵， ∴， ， 即为等腰三角形． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，然后根据角平分线的性质即可得证； （2）根据定理证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴平分， ∵，， ∴； （2）解：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 26． 【分析】先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于的一元一次方程，求出x的值即可. 【详解】解：设 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以， 解得 所以． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键． 27．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，而，，即可根据“”证明，得，所以； （2）由平分，得，而，，即可根据“”证明，得，即可由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）证明： ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 且， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． （等角对等边）． （2）证明：平分， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 又 （等腰三角形三线合一）． 28．(1)见解析 (2)；；；；等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 【分析】本题考查基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：在中，点是的中点， ①， 又， ， 是等腰三角形， 在和中， ， ， ③， 又， ④， ． 进一步思考，等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线有何关系？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：⑤等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 故答案为：；；；；等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 29．(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 30．【问题情境】（1）C；（2）；【初步运用】见解析；【拓展提升】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解； 初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明； 拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】问题情境： 解：（1）是的中线， ， 在和中， ∴， ∴由已知和作图得到，依据是， 故选：C； （2）由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：； 初步运用： 证明：延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 拓展提升： 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $