第26章 二次函数（高效培优讲义）数学华东师大版2024九年级下册

该初中数学二次函数单元复习讲义以考点为脉络构建知识体系，通过表格对比二次函数开口方向、对称轴等性质，用思维导图梳理三种表达式的转化关系，系统呈现概念、图象性质、实际应用等核心内容，突出重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，12类题型涵盖基础定义到综合探究，如实际应用中利润模型题引导学生用数学眼光观察现实问题，存在性问题培养数学思维的推理能力。方法技巧总结如“左加右减”平移法则，助力学生掌握解题策略，教师可据此实施精准复习，提升学生自主探究与知识应用能力。

第26章 二次函数 教学目标 1.系统掌握二次函数的概念、三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及图象核心性质（开口方向、对称轴、顶点）。 2.能灵活运用待定系数法求解析式，结合判别式分析抛物线与x轴的交点问题。 3.会用二次函数解决实际问题中的最值、建模问题，渗透数形结合思想。 4.能处理二次函数与一元二次方程、几何图形的简单综合应用。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性）。 （2）三种表达式的灵活转化与待定系数法的应用。 （3）二次函数在实际问题中的最值求解。 （4）抛物线与x轴交点个数的判断（结合判别式）。 2.难点 （1）二次函数三种表达式的灵活选择与转化。 （2）实际问题中函数模型的建立及自变量取值范围的确定。 （3）数形结合思想在综合题（与几何、方程结合）中的应用。 （4）参数变化引发的分类讨论（如开口方向、交点位置变化）。 考点01二次函数的概念及定义 1.定义：一般地，形如(、、是常数，且)的函数，叫作二次函数。 2.核心条件(三者缺一不可)： 解析式为整式； 化简后自变量的最高次数为2； 二次项系数(、可为任意实数)。 3.各部分名称：二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 4.自变量取值范围：一般情况为全体实数；实际问题中需使问题有意义(如长度、面积为正)。 考点02二次函数的三种表达式 1.一般式：() 适用条件：已知函数图象上任意三个点的坐标。 2.顶点式：() 适用条件：已知抛物线顶点坐标、对称轴或最大(小)值； 特殊情况：顶点在原点时，、，表达式为。 3.交点式(两根式)：() 适用条件：已知抛物线与轴的两个交点坐标、； 注意：交点式可转化为一般式，需满足(抛物线与轴有交点)。 考点03二次函数的图象与性质 1.图象特征：抛物线(轴对称图形，对称轴为直线或)。 2.核心性质(分和两种情况)： 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线(一般式)；(顶点式) 同左 顶点坐标 (一般式)；(顶点式) 同左 增减性 对称轴左侧()：随增大而减小；对称轴右侧()：随增大而增大 对称轴左侧()：随增大而增大；对称轴右侧()：随增大而减小 最值 当时， 当时， 3.特殊形式的图象性质(补充)： ：顶点，对称轴轴； ：顶点，对称轴轴(由上下平移得到)； ：顶点，对称轴(由左右平移得到)。 考点04二次函数的图象变换 1.平移变换(核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，不变)： 顶点式平移：； 示例：。 2.对称变换(解析式变化规则)： 关于轴对称：；； 关于轴对称：；； 关于顶点对称：(顶点不变，开口方向相反)。 考点05二次函数与系数、、的关系(图象特征判定) 1.a的作用：决定开口方向和开口大小(开口向上，开口向下；越大，开口越小)。 2.b的作用(结合)：决定对称轴位置(“左同右异”)： 对称轴在轴左侧：、同号； 对称轴在轴右侧：、异号； 对称轴为轴：。 3.c的作用：决定抛物线与轴的交点位置： 交点在轴正半轴：； 交点在轴负半轴：； 交点在原点：。 4.判别式的作用：决定抛物线与轴的交点个数： ：与轴有两个不相等的交点； ：与轴有一个交点(顶点在轴上)； ：与轴无交点。 5.特殊点的函数值： =1时，(判断图象过的位置)； 时，(判断图象过的位置)。 考点06二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.与一元二次方程的关系： 抛物线与轴交点的横坐标=方程的根； 根的情况与的对应关系：同考点05中的判定； 韦达定理结合：若交点为、，则，(交点式推导)。 2.与一元二次不等式的关系 3.求方程近似解：通过画出抛物线，确定交点横坐标所在整数区间，再逐步逼近估算。 考点07二次函数的最值问题 1.代数求法： 配方法：将一般式化为顶点式，直接读取最值； 公式法：当时，。 2.实际问题中的最值(关键：结合自变量取值范围)： 若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值为； 若顶点横坐标不在取值范围内，则最值在自变量取值范围的端点处取得(需代入计算比较)。 考点08二次函数的实际应用 1.常见模型： 利润问题：利润=(售价-进价)×销售量，设售价为，建立利润关于的二次函数； 几何图形最值：如矩形面积最值(给定周长或边长关系)、抛物线形建筑/运动轨迹(如拱桥、跳水、喷泉)； 其他模型：增长率问题、最优方案选择等。 2.解题步骤： 审题意：明确已知量、变量及数量关系； 建坐标系/设变量：设自变量，表示因变量； 列函数表达式：根据数量关系列出二次函数解析式(注意自变量取值范围)； 求最值/解决问题：用配方法或公式法求最值，验证结果是否符合实际。 考点09二次函数综合题 1.与一次函数的综合： 交点问题：联立与，求解方程组得交点坐标(判定交点个数)； 图象判断：根据、、与、的符号，判断函数图象的合理性(如抛物线开口向上，一次函数斜率为正)。 2.存在性问题： 等腰三角形存在性：设动点坐标，根据等腰三角形两边相等列方程(分三种情况：腰为、、)； 直角三角形存在性：利用勾股定理或斜率乘积为-1(垂直)列方程； 平行四边形/矩形/菱形存在性：利用对边平行且相等、对角线互相平分等性质，结合坐标平移或中点公式求解。 3.面积问题： 抛物线上一点与直线构成的三角形面积：利用“铅垂高×水平宽÷2”公式(如）； 不规则图形面积：分割为三角形或矩形，用坐标法计算。 题型01二次函数的定义与系数判断 方法技巧： 1.紧扣定义三要素：①解析式为整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数a≠0（b、c无限制）。 2.确定系数前需将解析式化为一般式，再识别二次项系数、一次项系数、常数项。 【典例1】.（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【变式1】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是 ． 【变式3】.（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02用待定系数法求二次函数解析式 方法技巧： 1.已知三点坐标：设一般式，代入列三元一次方程组求解。 2.已知顶点或最值：设顶点式，顶点在原点时，简化为。 3.已知与x轴交点、：设交点式，代入第三点求。 【典例1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点坐标是且经过点，求该抛物线的解析式． 【变式1】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）顶点坐标为的抛物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ． 【变式2】.（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【变式3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 题型03二次函数图象的基本性质(开口、对称轴、顶点) 方法技巧： 1.开口方向：→向上，→向下；越大，开口越小。 2.对称轴：一般式；顶点式；交点式；两点、对称→。 3.顶点坐标：公式法；配方法转化为顶点式直接读取。 【典例1】.（25-26九年级上·广东广州·月考）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【变式1】.（25-26九年级上·浙江宁波·月考）将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】..（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）若点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式3】.（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)求此抛物线与轴的交点坐标． 题型04二次函数图象的平移规律 方法技巧： 1.核心法则：左加右减自变量，上加下减常数项(仅针对顶点式)。 2.平移后值不变(形状不变)，先化为顶点式，再按“上下平移→左右平移”或反之操作，如(右移个单位，上移个单位)。 【典例1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江金华·期中）把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【变式2】.（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】.（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 题型05二次函数与系数、、及判别式的关系 方法技巧： 1.定开口：→向上，→向下； 2.定对称轴：“左同右异”(对称轴在轴左侧→、同号；右侧→、异号)； 3.定与轴交点：→交正半轴，→过原点，→交负半轴； 4.定与轴交点：→两交点，→一交点，→无交点。 【典例1】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】.（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【变式2】.（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ． 【变式3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论①：  ②  ③  ④当时， 其中正确的结论有 （填序号）． 题型06二次函数的最值求解 方法技巧： 1.无自变量限制：→最小值()；→最大值。 2.有自变量范围()： 顶点在范围内→顶点处取最值； 顶点在范围外→根据增减性，在端点或处取最值。 3.实际问题需结合题意，确保自变量取值符合实际意义。 【典例1】.（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【变式1】.（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有 个． 【变式2】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【变式3】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求的最大值与最小值之差； (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 题型07二次函数与一次函数图象综合判断 方法技巧： 1.先由其中一个函数图象确定、、(或、)的符号，如二次函数开口定，对称轴定，与轴交点定； 2.再验证另一个函数图象是否与系数符号一致，排除矛盾选项(重点关注斜率、截距与、、的关联)。 【典例1】.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数的解析式是 (1)将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； (2)结合函数图象，直接写出时x的取值范围； (3)当时，求y的取值范围； (4)若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 【变式1】.（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    【变式3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 题型08二次函数与一元二次方程、不等式的关系 方法技巧： 1.方程的根→二次函数与轴交点横坐标，根的情况由判断； 2.不等式：→或；→；→全体实数； 3.不等式：→；→无解(时不等号方向反转)。 【典例1】.（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【变式1】.（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 【变式2】.（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】.（22-23九年级下·湖南长沙·阶段练习）【定义】对于函数图象上的任意一点，我们把称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题： (1)①点的“雅和”为________；（直接写出答案） ②一次函数的“礼值”为________；（直接写出答案） (2)二次函数交轴于点，交轴于点，点与点的雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为，求，的值； (3)如图所示，二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，求的取值范围． 题型09利用二次函数性质比较函数值大小 方法技巧： 1.先确定对称轴，判断各点在对称轴左侧或右侧； 2.开口向上：点到对称轴距离越远，函数值越大； 3.开口向下：点到对称轴距离越远，函数值越小； 4.对称点转化：将不在同一侧的点转化为对称点，再比较距离。 【典例1】.（2025·福建漳州·三模）已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【变式2】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数）． (1)当时，，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，二次函数（是常数）与轴交点的横坐标为，设，比较与的大小关系； (3)若点在二次函数（是常数）的图像上，、为正实数，令，求的取值范围． 题型10二次函数的实际应用 方法技巧： 1.建模步骤：①审题设变量(自变量，因变量)；②找等量关系列函数表达式；③确定自变量实际取值范围；④求最值或对应值。 2.常见模型： 利润问题：利润，转化为二次函数求最值； 抛物线运动：建立平面直角坐标系，设顶点式简化计算，结合实际场景确定定义域。 【典例1】.（25-26九年级上·广东广州·月考）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米． (1)求小明传球的抛物线的函数解析式． (2)抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离． (3)在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？ 【变式1】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价为y（元/千克），当时，；当时，．销量z（千克）与x的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为W（元）． (1)______，______； (2)求出第x天的销售额W与x之间的函数关系式； (3)求在试销售的30天中，哪一天的销售额最高？最高销售额是多少元？ 【变式2】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【变式3】.（25-26九年级上·山西吕梁·月考）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成，矩形的边米，米，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点M正好在抛物线上，支撑轴，米．某工人师傅能刷到的最大垂直高度是米． ①若他站在木板上的点Q处，，问此刻他能刷到大门顶部吗？ ②求工人师傅利用木板之后，仍不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的取值范围． 题型11二次函数中的存在性问题 方法技巧： 1.等腰三角形：分三种情况(、、)，利用距离公式列方程，排除不合题意的解； 2.直角三角形：分三种情况(、、)，利用勾股定理或斜率乘积为列方程； 3.平行四边形：①定边为边→平移定边找顶点；②定边为对角线→利用中点坐标公式，结合抛物线解析式求解。 【典例1】.（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【变式1】.（25-26九年级上·广东广州·期中）已知直线经过点，与轴交于点． (1)用含有的式子表示； (2)过点的抛物线与轴交点为，其顶点为． 当为何值时，顶点到达最高处？ 当时，该抛物线上是否存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式2】.（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】.（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 题型12二次函数综合最值问题 方法技巧： 1.含参数二次函数：将参数视为常数，分析对称轴与自变量范围的位置关系，分类讨论参数取值对最值的影响； 2.动态最值（如线段和最小、距离最小）： 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”转化； 结合二次函数对称性，将线段和转化为单一线段，再求最值。 【典例1】.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【变式1】.（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； (3)点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 【变式2】.（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【变式3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)连接，点是（1）中抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，是否存在，使的面积等于的面积？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 教学目标 1.系统掌握二次函数的概念、三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及图象核心性质（开口方向、对称轴、顶点）。 2.能灵活运用待定系数法求解析式，结合判别式分析抛物线与x轴的交点问题。 3.会用二次函数解决实际问题中的最值、建模问题，渗透数形结合思想。 4.能处理二次函数与一元二次方程、几何图形的简单综合应用。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性）。 （2）三种表达式的灵活转化与待定系数法的应用。 （3）二次函数在实际问题中的最值求解。 （4）抛物线与x轴交点个数的判断（结合判别式）。 2.难点 （1）二次函数三种表达式的灵活选择与转化。 （2）实际问题中函数模型的建立及自变量取值范围的确定。 （3）数形结合思想在综合题（与几何、方程结合）中的应用。 （4）参数变化引发的分类讨论（如开口方向、交点位置变化）。 考点01二次函数的概念及定义 1.定义：一般地，形如(、、是常数，且)的函数，叫作二次函数。 2.核心条件(三者缺一不可)： 解析式为整式； 化简后自变量的最高次数为2； 二次项系数(、可为任意实数)。 3.各部分名称：二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 4.自变量取值范围：一般情况为全体实数；实际问题中需使问题有意义(如长度、面积为正)。 考点02二次函数的三种表达式 1.一般式：() 适用条件：已知函数图象上任意三个点的坐标。 2.顶点式：() 适用条件：已知抛物线顶点坐标、对称轴或最大(小)值； 特殊情况：顶点在原点时，、，表达式为。 3.交点式(两根式)：() 适用条件：已知抛物线与轴的两个交点坐标、； 注意：交点式可转化为一般式，需满足(抛物线与轴有交点)。 考点03二次函数的图象与性质 1.图象特征：抛物线(轴对称图形，对称轴为直线或)。 2.核心性质(分和两种情况)： 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线(一般式)；(顶点式) 同左 顶点坐标 (一般式)；(顶点式) 同左 增减性 对称轴左侧()：随增大而减小；对称轴右侧()：随增大而增大 对称轴左侧()：随增大而增大；对称轴右侧()：随增大而减小 最值 当时， 当时， 3.特殊形式的图象性质(补充)： ：顶点，对称轴轴； ：顶点，对称轴轴(由上下平移得到)； ：顶点，对称轴(由左右平移得到)。 考点04二次函数的图象变换 1.平移变换(核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，不变)： 顶点式平移：； 示例：。 2.对称变换(解析式变化规则)： 关于轴对称：；； 关于轴对称：；； 关于顶点对称：(顶点不变，开口方向相反)。 考点05二次函数与系数、、的关系(图象特征判定) 1.a的作用：决定开口方向和开口大小(开口向上，开口向下；越大，开口越小)。 2.b的作用(结合)：决定对称轴位置(“左同右异”)： 对称轴在轴左侧：、同号； 对称轴在轴右侧：、异号； 对称轴为轴：。 3.c的作用：决定抛物线与轴的交点位置： 交点在轴正半轴：； 交点在轴负半轴：； 交点在原点：。 4.判别式的作用：决定抛物线与轴的交点个数： ：与轴有两个不相等的交点； ：与轴有一个交点(顶点在轴上)； ：与轴无交点。 5.特殊点的函数值： =1时，(判断图象过的位置)； 时，(判断图象过的位置)。 考点06二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.与一元二次方程的关系： 抛物线与轴交点的横坐标=方程的根； 根的情况与的对应关系：同考点05中的判定； 韦达定理结合：若交点为、，则，(交点式推导)。 2.与一元二次不等式的关系 3.求方程近似解：通过画出抛物线，确定交点横坐标所在整数区间，再逐步逼近估算。 考点07二次函数的最值问题 1.代数求法： 配方法：将一般式化为顶点式，直接读取最值； 公式法：当时，。 2.实际问题中的最值(关键：结合自变量取值范围)： 若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值为； 若顶点横坐标不在取值范围内，则最值在自变量取值范围的端点处取得(需代入计算比较)。 考点08二次函数的实际应用 1.常见模型： 利润问题：利润=(售价-进价)×销售量，设售价为，建立利润关于的二次函数； 几何图形最值：如矩形面积最值(给定周长或边长关系)、抛物线形建筑/运动轨迹(如拱桥、跳水、喷泉)； 其他模型：增长率问题、最优方案选择等。 2.解题步骤： 审题意：明确已知量、变量及数量关系； 建坐标系/设变量：设自变量，表示因变量； 列函数表达式：根据数量关系列出二次函数解析式(注意自变量取值范围)； 求最值/解决问题：用配方法或公式法求最值，验证结果是否符合实际。 考点09二次函数综合题 1.与一次函数的综合： 交点问题：联立与，求解方程组得交点坐标(判定交点个数)； 图象判断：根据、、与、的符号，判断函数图象的合理性(如抛物线开口向上，一次函数斜率为正)。 2.存在性问题： 等腰三角形存在性：设动点坐标，根据等腰三角形两边相等列方程(分三种情况：腰为、、)； 直角三角形存在性：利用勾股定理或斜率乘积为-1(垂直)列方程； 平行四边形/矩形/菱形存在性：利用对边平行且相等、对角线互相平分等性质，结合坐标平移或中点公式求解。 3.面积问题： 抛物线上一点与直线构成的三角形面积：利用“铅垂高×水平宽÷2”公式(如）； 不规则图形面积：分割为三角形或矩形，用坐标法计算。 题型01二次函数的定义与系数判断 方法技巧： 1.紧扣定义三要素：①解析式为整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数a≠0（b、c无限制）。 2.确定系数前需将解析式化为一般式，再识别二次项系数、一次项系数、常数项。 【典例1】.（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫作x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫作是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）二次函数化简后，其一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解： ， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 【变式3】.（2025·上海普陀·一模）下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 题型02用待定系数法求二次函数解析式 方法技巧： 1.已知三点坐标：设一般式，代入列三元一次方程组求解。 2.已知顶点或最值：设顶点式，顶点在原点时，简化为。 3.已知与x轴交点、：设交点式，代入第三点求。 【典例1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点坐标是且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，解析式通常可设为、等形式，选择适当的二次函数解析式的形式是解题关键．根据顶点坐标设解析式为，然后把点代入求出a的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是且经过点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 【变式1】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）顶点坐标为的抛物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 【变式2】.（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； 抛物线的关系式为． 【变式3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数表达式，根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，代入， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 题型03二次函数图象的基本性质(开口、对称轴、顶点) 方法技巧： 1.开口方向：→向上，→向下；越大，开口越小。 2.对称轴：一般式；顶点式；交点式；两点、对称→。 3.顶点坐标：公式法；配方法转化为顶点式直接读取。 【典例1】.（25-26九年级上·广东广州·月考）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江宁波·月考）将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键． 根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【详解】将二次函数的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位， 所得函数图象的表达式是． 故选：B． 【变式2】.（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）若点，都在二次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和开口方向，则可推出对称轴越远，函数值越大，据此求出两个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，都在二次函数的图像上，且， ∴， 故选：C． 【变式3】.（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)求此抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)点不在此抛物线上 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质． （1）把代入解析式求的值即可判断； （2）把代入解析式求的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点不在此抛物线上； （2）当时，， ∴此抛物线与轴的交点坐标为． 题型04二次函数图象的平移规律 方法技巧： 1.核心法则：左加右减自变量，上加下减常数项(仅针对顶点式)。 2.平移后值不变(形状不变)，先化为顶点式，再按“上下平移→左右平移”或反之操作，如(右移个单位，上移个单位)。 【典例1】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，函数表达式为 , 再将抛物线向下平移2个单位，函数表达式为． 故选：D． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江金华·期中）把抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 本题考查抛物线的平移变换，根据函数图像平移的规则“左加右减”，向右平移1个单位，需将原解析式中的替换为，即可求解． 【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位， 得到的抛物线解析式为 ． 故答案为：． 【变式2】.（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据平移不改变函数开口方向及大小判断即可． 【详解】解：A.，开口方向改变，无法由平移得到； B.，开口大小改变，无法由平移得到； C.，二次函数无法由平移得到一次函数； D.，开口方向及大小均未改变，可以由抛物线平移得到； 故选：D. 【变式3】.（25-26九年级上·江苏苏州·期中）将二次函数的图像先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的图像对应的二次函数的表达式为，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像的平移，准确应用平移规则是解题关键． 根据函数图像平移规则“上加下减，左加右减”，先向上平移，再向左平移，得到新函数表达式，从而求出a和b的值． 【详解】∵ 向上平移3个单位， ∴ ， ∵ 再向左平移1个单位， ∴ ， ∴ , ， ∴ ． 故选：D． 题型05二次函数与系数、、及判别式的关系 方法技巧： 1.定开口：→向上，→向下； 2.定对称轴：“左同右异”(对称轴在轴左侧→、同号；右侧→、异号)； 3.定与轴交点：→交正半轴，→过原点，→交负半轴； 4.定与轴交点：→两交点，→一交点，→无交点。 【典例1】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象与对称轴可以判断选项A和B的正误；根据当时的函数值大于0，可以判断选项C的正误，根据当时的函数值小于0，抛物线的对称性可以判断选项D的正误，从而得解． 【详解】∵抛物线开口向下 ∴ ∵对称轴是， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵时，，故C不符合题意； ∵时，， ∵ ∴，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】.（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】.（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由对称轴及对称轴公式可判断结论②；由抛物线与轴的交点可判断结论④；抛物线的对称轴直线，过点，可判断出另一个交点为，即可判断结论③；由对称轴和当时，的值，即可判断结论④． 【详解】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴， ，，， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故②正确； 抛物线的对称轴直线，过点， 另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 当时，， ， ， ，即，故④正确． 故答案为：②③④． 【变式3】.（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论①：  ②  ③  ④当时， 其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， 则， ∵对称轴位于x轴的右侧， 则． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， 则． ∴．故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵图象过点，即时，， ∴， 而， ∴， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴．故③正确； ④∵图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点为， 因为抛物线开口向下， 则当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④， 故答案为：①②③④． 题型06二次函数的最值求解 方法技巧： 1.无自变量限制：→最小值()；→最大值。 2.有自变量范围()： 顶点在范围内→顶点处取最值； 顶点在范围外→根据增减性，在端点或处取最值。 3. 实际问题需结合题意，确保自变量取值符合实际意义。 【典例1】.（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 【变式1】.（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于，则满足条件的整数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由二次函数图象与性质求出二次函数的最大值与最小值，再由函数的最大值与最小值的差不大于，列不等式求解，最后由取整数即可得到答案． 【详解】解： ， 二次函数的图象开口向上， 二次函数图象的对称轴， 当时，二次函数有最小值为； 当时，；当时，； ， ，即， 则二次函数有最大值为； 函数的最大值与最小值的差不大于， ， 解得， ， 则满足条件的整数有，共有个， 故答案为：． 【变式2】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求的值； (2)若点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求的值； (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据，，利用待定系数法求出的值，由此即可得； （2）先根据点坐标的平移可得点平移后的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得； （3）先求出当时的函数值与当时的函数值相等，据此分三种情况：①，②和③，再利用二次函数的增减性求出最大值与最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：把，代入二次函数得：， 解得， 则． （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 将点向上平移2个单位长度，再向左平移个单位长度后所得到的点的坐标为，即， ∵点恰好落在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1. （3）解：当时，， 当时，， 将二次函数化成顶点式为， ∴二次函数的对称轴为直线；当时，， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ①当时，在内，随的增大而减小， 则此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得，与题设不符，舍去； ②当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值8；当时，取得最小值， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； ③当时， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时当时，取得最大值；当时，取得最小值， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（不符合，舍去）； 综上，的取值范围为． 【变式3】.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求的最大值与最小值之差； (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值； （2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在内求出最大值，从而可求得的最大值与最小值之差； （3）分、且、三种情况讨论，分别求出的值． 【详解】（1）解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：； （2）∵函数，， ∴函数的解析式为， ， 二次项系数为， 所以抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值2， 当时，在内， 取，则， 取，则， 所以二次函数的最小值为2，最大值为， 所以的最大值与最小值之差为； （3）①当时， 仅当时，取得最小值，此时； 仅当时，取最大值，此时； 所以， 解得：， ， 不符合； ②当且时，即，此时最小值为2， 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， ， 不符合， 所以此时； 当取得最大值时， 即时，， 所以， 此时最大值为， 所以， 解得：或， 因为， 所以不符合， 所以此时； ③当时，即， 仅当，取得最小值， 此时， 仅当，取得最大值， 此时， 所以， 解得：， 因为， 所以不符合， 综上所述，的值为或． 题型07二次函数与一次函数图象综合判断 方法技巧： 1.先由其中一个函数图象确定、、(或、)的符号，如二次函数开口定，对称轴定，与轴交点定； 2.再验证另一个函数图象是否与系数符号一致，排除矛盾选项(重点关注斜率、截距与、、的关联)。 【典例1】.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数的解析式是 (1)将二次函数化成的形式，并求出该函数图象与x轴和y轴的交点坐标；同时在平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象（不需要列表）； (2)结合函数图象，直接写出时x的取值范围； (3)当时，求y的取值范围； (4)若一次函数的图象经过和两点，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与轴，轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象． （2）结合函数图象，可得时x的取值范围． （3）结合二次函数图象可得当时，y的取值范围． （4）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得：，， 当时，则， ∴与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为． 画图如下： ． （2）解：结合函数图象，时x的取值范围为：或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线：，顶点坐标为， ∴函数最小值为， 当时，， 当时，y的取值范围为． （4）解：如图， ∴不等式的解集为：． 【变式1】.（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数图象，可知，从而推出的图象． 【详解】解：根据题意，可知的图象开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴， ∴，， ∴其图象过第一，二，三象限， 故选：D． 【变式2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． 探究1（1）下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． 探究2（2）小亮在研究抛物线时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． 探究3（3）如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于y轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点A，B在x轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由．    【答案】（1）①③； （2）； （3）水位超过了警戒线，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确理解新定义． （1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （3）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【详解】解：（1）①设直线上任意一点为， 由题意得，，解得， ∴“相反点”为，故①正确； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确， 故答案为：①③； （2）把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； （3）水位超过了警戒线． 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 【变式3】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式的关系，熟记性质并利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）把点，的坐标代入一次函数计算即可求出，，再把点、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的的取值范围即可； （3）把二次函数解析式整理成顶点式形式，求出最小值，再计算出两个端点值即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 、，代入中， ，解得：； ； （2）解：由图可知：时，． （3）解：， 顶点坐标为， 在上最小值为：， 当时，， 当时，， 故当时，求的取值范围为：． 题型08二次函数与一元二次方程、不等式的关系 方法技巧： 1.方程的根→二次函数与轴交点横坐标，根的情况由判断； 2.不等式：→或；→；→全体实数； 3.不等式：→；→无解(时不等号方向反转)。 【典例1 】.（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 【变式1】.（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令，求得A，B的坐标，即得答案； （2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案； （3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，， ； （2）解：把的坐标代入，得， 解得， ， 令， 解得，， 观察图象可知，当时，； （3）解：二次函数的图象的顶点坐标， 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 【变式2】.（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 【变式3】.（22-23九年级下·湖南长沙·阶段练习）【定义】对于函数图象上的任意一点，我们把称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题： (1)①点的“雅和”为________；（直接写出答案） ②一次函数的“礼值”为________；（直接写出答案） (2)二次函数交轴于点，交轴于点，点与点的雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为，求，的值； (3)如图所示，二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①根据新定义计算即可求解； ②先计算，设“雅和”为，根据一次函数的性质求得在的最小值即可求解． （2）根据题意得出，，且，将点代入解析式得，①，根据此二次函数的“礼值”为，求得最小值，建立方程即可求解； （3）二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，即上，得出，结合函数图象，得出二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，抛物线的顶点在直线的下方，其二次函数图象当时，，对称轴右侧当时，，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：①点的“雅和”为， 故答案为：． ②∵一次函数的上的点为：，设“雅和”为， 则， ∵，，随的增大而增大 ∴当时，取得最小值，最小值为， 根据定义可得，一次函数的“礼值”为， 故答案为：． （2）解：二次函数交轴于点，交轴于点，点与点的“雅和”相等， ∴，，且 将点代入解析式得，，即① 设此函数的“雅和”为，则， 又∵此二次函数的“礼值”为， ∴的最小值为，即，即 解得： 则； （3）解：∵二次函数顶点为即， ∵二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，即上， ∴，即 ∵四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点， ∴时， 时， ∵二次函数的图象与矩形的边有四个交点， 则抛物线的顶点在直线的下方，其二次函数图象当时，，对称轴右侧当时，，如图所示 ∴ 由①得：，又， ∴， 解得：， ②， 解得：， ③， 由， 解得：或（舍去，抛物线的左侧过点）， ∵，抛物线开口向上， ∴的解集为：或， 综上所述，不等式的解集为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型09利用二次函数性质比较函数值大小 方法技巧： 1.先确定对称轴，判断各点在对称轴左侧或右侧； 2.开口向上：点到对称轴距离越远，函数值越大； 3.开口向下：点到对称轴距离越远，函数值越小； 4.对称点转化：将不在同一侧的点转化为对称点，再比较距离。 【典例1】.（2025·福建漳州·三模）已知抛物线过点，若点在对称轴右侧，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；抛物线开口向上，对称轴为直线，点C在对称轴上为顶点，y值最小；点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，且点B离对称轴更远，故y值最大；然后问题可求解． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为直线，且开口向上， ∴点在对称轴上，为顶点，故最小， ∵点在对称轴右侧， ∴，即， ∴点的横坐标，故在对称轴左侧， ∵点离对称轴的距离为 点离对称轴的距离为， ∵， ∴点离对称轴更远，故； 综上，； 故选D． 【变式1】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．由于二次函数开口向上，对称轴为，点在对称轴上，点和点分别位于对称轴两侧，通过比较横坐标与对称轴的距离或直接计算函数值，可判断大小关系． 【详解】解：二次函数的，开口向上，对称轴为， 点在对称轴上，点和点的横坐标与对称轴的距离分别为和， ∴距离越大函数值越大，故最小，次之，最大，即． 故选：A． 【变式2】.（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．先分析二次函数的图像性质，然后根据点到对称轴的距离来判断函数值大小即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴处函数值最大，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴． 故选：A． 【变式3】.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数）． (1)当时，，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，二次函数（是常数）与轴交点的横坐标为，设，比较与的大小关系； (3)若点在二次函数（是常数）的图像上，、为正实数，令，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）当时，得到，解方程即可； （2）在（1）的条件下，当时，，则，根据题意得到，再整体代入，最后判断与的大小关系即可； （3）把点代入，得到，由0，得到， ，最后根据、为正实数，得到，且关于的方程有正数解，，据此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， 整理得， ， 解得或； （2）解：在（1）的条件下，当时，， ∴， ∵二次函数（是常数）与轴交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数与轴交点的横坐标都小于3，即， ∴； （3）解：∵点在二次函数， ∴， ∴， ∵， ∴，，， 整理得， ∵、为正实数， ∴，且关于的方程有正数解，， ∴，解得， 由和，解得， 综上所述，的取值范围为． 题型10二次函数的实际应用 方法技巧： 1.建模步骤：①审题设变量(自变量，因变量)；②找等量关系列函数表达式；③确定自变量实际取值范围；④求最值或对应值。 2.常见模型： 利润问题：利润，转化为二次函数求最值； 抛物线运动：建立平面直角坐标系，设顶点式简化计算，结合实际场景确定定义域。 【典例1】.（25-26九年级上·广东广州·月考）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米． (1)求小明传球的抛物线的函数解析式． (2)抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离． (3)在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)5米 (3) 【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质． （1）根据题意得到抛物线的顶点为，且过点，运用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线：，求出点F的坐标为，再把点代入抛物线，求出k的值，得到抛物线的解析式为，令，可求出点G的坐标，根据点F，G的坐标即可求解； （3）由抛物线可得篮球反弹后的最大高度为米，小于米，当时，，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是． 【详解】（1）解：当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵小明传出球时球的起点处高度为2米， ∴抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线：，令，则， 解得，， ∴点F的坐标为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴点G的坐标为， ∴， ∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为5米． （3）解：对于抛物线，顶点坐标为， ∴篮球反弹后的最大高度为米，小于米． 当时，， 解得， ∴当时，， ∴小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是． 【变式1】.（25-26九年级上·广东东莞·期中）某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价为y（元/千克），当时，；当时，．销量z（千克）与x的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为W（元）． (1)______，______； (2)求出第x天的销售额W与x之间的函数关系式； (3)求在试销售的30天中，哪一天的销售额最高？最高销售额是多少元？ 【答案】(1)， (2) (3)第天的销售额最高，最高销售额是元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能正确理解题意是关键． （1）依据待定系数法，计算即可得解； （2）依据题意，当时，由（1）得，从而计算可得；再由当时，，进而可以得解； （3）依据题意，分和两种情况进行判断即可计算得解． 【详解】（1）解：由题意把；代入， 可得， 解得， 故答案为：，； （2）解：由题意，当时，由（1）得， ． 当时，． ； （3）解：由题意，当时，． ， 当时，取最大值为400元． 当时，令， ， 当时，取最大值为元， 故第天的销售额最高，最高销售额是元． 【变式2】.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形花圃面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据矩形的性质，用代数式表示即可； （2）根据题意，列式子，运用二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设矩形花圃面积为， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为． 【变式3】.（25-26九年级上·山西吕梁·月考）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成，矩形的边米，米，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点M正好在抛物线上，支撑轴，米．某工人师傅能刷到的最大垂直高度是米． ①若他站在木板上的点Q处，，问此刻他能刷到大门顶部吗？ ②求工人师傅利用木板之后，仍不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①他不能刷到大门顶部；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）①可求出点N的坐标，进而可求出点M的坐标，过点Q作轴于E，证明，可推出，则，求出当时，二次函数的函数值即可得到答案；②求出直线的解析式为， 设点G是直线上方抛物线上一点，过点G作轴，交于H，设点G的横坐标为m，则点G的纵坐标为，点H的坐标为，可求出，只需要求出时，m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵米， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵米， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，过点Q作轴于E，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴他不能刷到大门顶部． ②设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 如图所示，设点G是直线上方抛物线上一点，过点G作轴，交于H， 设点G的横坐标为m，则点G的纵坐标为，点H的坐标为， ∴ ， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大； 当时，解得或， ∴当时，的长一定大于， ∴当时，工人师傅利用木板之后，仍不能刷到大门顶部． 题型11二次函数中的存在性问题 方法技巧： 1.等腰三角形：分三种情况(、、)，利用距离公式列方程，排除不合题意的解； 2.直角三角形：分三种情况(、、)，利用勾股定理或斜率乘积为列方程； 3.平行四边形：①定边为边→平移定边找顶点；②定边为对角线→利用中点坐标公式，结合抛物线解析式求解。 【典例1】.（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)存在， (3)点E坐标为或或或 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点 ，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点 ， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵ 和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式1】.（25-26九年级上·广东广州·期中）已知直线经过点，与轴交于点． (1)用含有的式子表示； (2)过点的抛物线与轴交点为，其顶点为． 当为何值时，顶点到达最高处？ 当时，该抛物线上是否存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，即顶点到达最高处；顶点的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据一次函数的性质即可求解； （）由抛物线，其顶点的坐标为，又抛物线经过点，则有，然后通过二次函数的性质即可求解； 由（）知直线，令，可得，求出，，由平行四边形性质可得，，即点到点的平移方式与点到点的平移方式相同，因为，，所以的水平距离为，垂直距离为，又，则点的横坐标为，纵坐标为，即，代入得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴ ∴； （2）解：对于抛物线，其顶点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴， ， ∴顶点的纵坐标为， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，有最大值，即顶点到达最高处； 由（）知直线，令，可得， ∴， 由抛物线，令可得， 又∵， ∴，即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即点到点的平移方式与点到点的平移方式相同， ∵，， ∴的水平距离为，垂直距离为， 即点到点的平移方式是向右平移1个单位长度，向上平移个单位长度， 也即点到点的平移方式是向右平移1个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∴ ， ， 解得， 当时，， ∴顶点的坐标为． 【变式2】.（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式3】.（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 题型12二次函数综合最值问题 方法技巧： 1.含参数二次函数：将参数视为常数，分析对称轴与自变量范围的位置关系，分类讨论参数取值对最值的影响； 2.动态最值（如线段和最小、距离最小）： 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”转化； 结合二次函数对称性，将线段和转化为单一线段，再求最值。 【典例1】.（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：抛物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 【变式1】.（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； (3)点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合思想解决问题． （1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得出，连接交对称轴于点P即为所求，再由待定系数法确定直线所在直线的函数解析式为，即可确定点P的坐标； （3）根据题意得出，设，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； （2）解：由（1）得， 令， ∴， 解得：， ∴， 连接交对称轴于点P即为所求， ∵D、C关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴，此时最小， 设直线所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线所在直线的函数解析式为， 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （3）解： ，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或． 【变式2】.（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)连接，点是（1）中抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，是否存在，使的面积等于的面积？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）抛物线的对称轴为直线，由题意可得点、关于对称轴对称，连接，连接交对称轴于点，连接，由轴对称的性质可得，此时的周长最小，求出直线的解析式为，再计算出当时，的值即可得解； （3）求出，得到，从而可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，求出，得到，由三角形的面积公式可得，结合的面积等于的面积，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，故， 设抛物线的解析式为， 将、、代入抛物线解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意可得点、关于对称轴对称， 如图，连接，连接交对称轴于点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长，即此时的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，故； （3）解：存在， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 此时， 即． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，二次函数综合—面积问题，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $