24.4一元二次方程的应用 课时3（教学课件）-2025--2026学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，围绕传播问题（如单循环比赛、流感传染）和销售问题（如路灯定价、冰箱利润）展开，通过探究问题导入，衔接前序方程解法知识，构建从数学解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于以现实情境为载体，通过归纳总结传播类问题（传染、握手等）和销售利润关系，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理等量关系的能力。如流感传染问题提炼(1+x)^n模型，课堂小结明确易错点，助力学生提升建模能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二十四章 一元二次方程 24.4　一元二次方程的应用 第3课时　销售问题及传播问题 1 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 学 习 目 标 1 2 会用一元二次方程的方法解决营销问题及传播问题.（重点、难点） 进一步培养化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 知识讲解 传播问题与一元二次方程 探究 问题：某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢? 分析：设应邀请x支球队参加比赛. (1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛 　　　　场.  (2)用含x的代数式表示比赛的总场数为　　　　，于是可得方 程　　 　　.  (3)解这个方程并检验结果. 28 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x -1)支球队各赛一场. 根据题意可得=28, 化简得x 2- x =56, 解得x 1=8, x 2=-7(不合题意,舍去), 答:应邀请8支球队参加比赛 知识讲解 注意：不要忽视传染源A的二次传染 第一轮传染后患流感的人数：1+x 第二轮传染后患流感人数：1+x+x（x+1） 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 例1 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 我们把传染源记作A，则其传染示意图如下： 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 x1=10, x2=-12(不合题意,舍去) . 解方程,得 答:平均一个人传染了10个人. 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得 即(1+x)2=121， 注意:列一元二次方程解应用题要注意检验方程的根是否符合题意，要把不符合题意的根舍去. 1+x+x（x+1）=121， 知识讲解 思考 如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 已知两轮传染后患流感的人数为：121人 第三轮新增的患流感人数为：121×10人 三轮传染后患流感的人数为：121+ 121×10=1331（人） 方法一： 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 第一轮传染后患流感的人数：1+x=(1+x)1 第二轮传染后患流感人数：1+x+x（x+1）=(1+x)2 第三轮传染后患流感人数：1+x+x（x+1）+x[1+x+x（x+1）]=(1+x)3 答案：三轮传染后的人数是:121(1+x)=121(1+10)=1331(人)或 (1+x)3=(1+10)3=1331(人) . 方法二： 知识讲解 传播类问题 数量关系： 第一轮传染后的量=传染前的量× （1+传染速度） 第二轮传染后的量=第一轮传染后的量× （1+传染速度）=传染前的量× （1+传染速度）2 握手问题 送照片问题 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2 甲送乙照片与乙送甲照片是两张照片，故总数不要除以2 传染问题 比赛问题 甲和乙比赛与乙和甲比赛在同一次进行，所以总数要除以2 归纳总结 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 销售问题与一元二次方程 某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3 200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516 000元,则该顾客实际购买了多少个路灯? 探究 知识讲解 (1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为　 　　元.  (2)若顾客一次性购买路灯用去516 000元,则所买路灯数量　　　　80个.  (3)设该顾客购买这种路灯x(x )个,路灯数超出80个的数量是　　　　 个,每个路灯可降价　　　 元,则每个路灯的单价是　　　　元.  (4)题目中的等量关系是　　 　　.  (5)根据等量关系可列方程 　　 　 　.  (6)解方程,并检验根是否都符合题意. 思路： 320 000 大于 4 000-8(x-80) 路灯的单价×数量=总花费 4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 解:因为4 000×80=320 000<516 000,所以该顾客购买路灯数量超过80个. 设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4 000-8(x-80)]元/个. 根据题意,得x [4 000-8(x-80)]=516 000. 整理,得x2-580x+64 500=0. 解这个方程,得x1=150, x2=430. 当x=430时,4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200(元),低于3 200元，不合题意,舍去. 答:该顾客实际购买了150个路灯. 例2 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现，当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 - x）元，每台冰箱的销售利润为（2900- x -2500）元，平均每天销售冰箱的数量为 台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决. 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得 整理,得 x2 - 300x + 22500 = 0. 解这个方程,得 x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 知识讲解 ★利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 归纳总结 知识讲解 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 随堂训练 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是( ) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 C B 3.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10台，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少台？ 解:设台灯的售价因定为 x 元.根据题意，得 （x - 30）[600 - 10 (x - 40) ] =10000. 整理,得 x2 - 130x + 4000 = 0 . 解得 x1 = 50 , x2= 80. 当x = 50 时 , 应进台灯600- 10（50 - 40）=500 （台）. 当x = 80 时 , 应进台灯600- 10（80 - 40）=200 （台）. 随堂训练 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 解：由题意，得n(n－1)＝45. 解得n1＝10，n2＝－9(舍去)． 答：n的值为10. 5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？ 4．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值． 解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意，得x(x－1)＝78. 解得x1＝13，x2＝－12(舍去)． 答：有13家公司出席了这次交易会． 随堂训练 6.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一:打九折销售；方案二:不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 随堂训练 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如量化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决极差相关问题时，模块化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要自动化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何信息化，这是解决相关问题的基本功。 解：（1）设平均每次下调的百分率为x. 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%. (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400（元）； 方案二所需费用为3.2×5000－200×5=15000（元）. ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 随堂训练 课堂小结 1.单循环赛问题中的等量关系: 比赛总场数=x(x-1)÷2(x为球队个数). 易错点是列方程时忽略除以2. 2.利润问题中的等量关系: 利润= (售价-进价)×销售量. 3.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意. $