4.3等比数列单元过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3等比数列单元过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．在等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．3 C．或6 D．或3 2．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 3．已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 4．（2023高考·天津）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 5.已知数列中，且满足，则（   ） A． B． C． D． 6．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 7．设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．数列满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是从第二项开始的等比数列 D．不是等比数列 10．已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 11．已知数列满足，（），则下列结论正确的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．的前项和 三、填空题 12．在等比数列中，，，则 ． 13．（2025高考·全国1）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 14．已知等比数列单调递减，其前项和为，则当取得最大值时， 。 四、解答题 15．已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 16．已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18．记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19．已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 (1)求数列 的通项公式； (2)求数列的前n项和 . 解析 一、单选题 1．在等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．3 C．或6 D．或3 答案：C 分析：由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 解析：数列为等比数列，且，，又， 所以，即，解得或．故选：C． 2．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 答案：C 分析：利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 解析：是等比数列，设公比为，， 是方程的两根，，同号，且， ，解得，又 ，故C正确．故选：C． 3．已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据条件可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果. 解析：由得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴， ∴的前5项的乘积为． 故选：C． 4．（2023高考·天津）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 答案：C 分析：由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 解析：当时，，所以，即， 当时，，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 5.已知数列中，且满足，则（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：由递推关系可得，可得数列是等比数列，求出通项公式得解. 解析：由，得，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， ，得，. 故选：B. 6．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 答案：D 分析：本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 解析：因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时，故数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：D 7．设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 答案：B 分析：设正项等比数列的公比为，将转化成，再结合基本不等式即可求解. 解析：由题可设正项等比数列的公比为， 则， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B 8．已知等比数列的公比为，前项和为．若，，则（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由等比数列求和公式求得，进而逐项判断即可. 解析：因为，， 所以．由题意，得，解得，则或． 因为，所以． 当时，，解得，，满足，， 所以，； 当时，，解得，，满足，， 所以，． 故A，B，D错误，C正确．故选：C． 二、多选题 9．数列满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是从第二项开始的等比数列 D．不是等比数列 答案：BCD 分析：A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项代入等比数列的通项公式，结合已知条件得知. 解析：因为，令，，所以，故A选项错误； 由于，则，， 则，所以，而，， 所以是从第二项开始的等比数列，故C、D选项正确； 当时， ,故B选项正确； 故选：BCD 10．已知数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，且，，.若的前项和为，则下列选项可能正确的是（    ） A． B．为最大项 C． D．数列，，的公差为64 答案：AC 分析：根据前三项成等比数列、后三项成等差数列，设后三项的公差为，根据题意将表示成关于d的方程，解出d，分情况逐项讨论即可． 解析：设后三项的公差为，因为，则，， 由，得， 由前三项成等比数列，公比，所以， 结合，可得，解得或， 当时，数列为； 当时，数列为； 对于A，当时，，故A正确； 对于B，两种情况的最大项分别是112和180，均不是，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，公差为16或，均不是64，故D错误．故选：AC． 11．已知数列满足，（），则下列结论正确的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．的前项和 答案：ABC 分析：由，取倒数，得到，得到是以4为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可. 解析：∵，∴，∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则，∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C正确； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．在等比数列中，，，则 ． 答案： 分析：根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 解析：设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 13．（2025高考·全国1）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 答案： 分析：法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 解析：法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为，所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为， 因为， 又，所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 14．已知等比数列单调递减，其前项和为，则当取得最大值时， 答案：3 分析：由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 解析：，设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值，故答案为：3 四、解答题 15．已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 分析：（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 解析：（1）设等比数列的公比为，，由，得， 整理得，即. 又，则，解得或. 由题知，所以，所以数列的通项公式. （2）由题知，令，得，故. 16．已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 分析：（1）根据等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用等差求和公式即可得解. 解析：（1）又， 故，故，因此 （2）， 由于，故为等差数列，且公差为2， 故 17．已知等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 分析：（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 解析：（1）设的公比为，由，得， 由，得，解得所以. （2）由，得， 所以. 18．记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 分析：（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 解析：（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即，则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 19．已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 (1)求数列 的通项公式； (2)求数列的前n项和 . 分析：（1）由等差、等比数列的通项公式即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 解析：（1）由，得， 所以，， 所以； （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $