精品解析：江西省景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高二上学期12月份月考数学试卷

乐平一中2025-2026学年上学期12月份月考 高二数学试卷 命题人：余风娇 审题人：朱保军 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2. 已知，分别是平面 的法向量，则平面 的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可解决问题. 【详解】因为，， 所以，故， 所以 . 故选：B. 3. 抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的方程为，， 设点的坐标为，，， ，代入抛物线方程，得，，， 则点的坐标是. 故选：D. 4. 在高二某班级中，有4名同学要参加足球､篮球､乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有（ ） A. 12 B. 16 C. 54 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】甲同学有种报名方式，其余同学均有种报名方式， 所以不同的报名种数有种. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据排列数的性质化简求解即可. 【详解】因为， 则， 整理可得， 解得，经检验，满足题意． 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 7. 如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得平面，过点作平面，使平面平面，即可知点的轨迹为平面与平面的交线，即为 . 【详解】 如图所示，取中点，连接， ，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且， 平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点 平面， 又点 平面，且平面平面， 点 ， 即动点的轨迹为线段 ， 且， 故选：B. 8. 如图，在三棱锥 中，平面⊥平面 ，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点 ，使得直线 与平面成30°的角，则线段 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，对于点的设法，采用向量式，求得平面法向量，而后利用线面所成角向量计算公式列方程求解. 【详解】如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 设，设， 则， ， 设平面的法向量， 可得：， 令，则， 所以 直线PQ与平面成30°的角， ， ， ， ，又， 解得， 可得. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则（　　） A. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 B. 当时，曲线为双曲线，其实轴长为 C. 当时，曲线为圆 D. 曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由双曲线、椭圆、圆的性质逐项判断可得. 【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，实轴长为，故A不正确、B正确； 对于C：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故C正确；由C显然D不正确； 故选：BC 10. 如图，在三棱锥中，平面 ，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段 上的动点，则（ ） A. 若N为线段GH上的中点，则 B. 不存在点N，使得. C. 存在 ， ，使得 D. 异面直线CE与BH所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间距离公式求解判断A；利用空间向量法证明线线垂直判断B；利用空间向量的线性坐标运算列式求解判断C；利用空间向量法求解异面直线夹角余弦值判断D. 【详解】在三棱锥中，平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，由N为线段GH上的中点，则， 又，所以，正确； 对于B，由是线段 上的动点，设，则，， 由，则不存在点，使得，正确； 对于C，由，得， 则，方程无解，因此不存在 ， ，使得，错误； 对于D，，，则， 所以异面直线CE与BH所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 11. 平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 直线与点的轨迹相离 C. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】对于A，设，由可得，整理得，故A正确； 对于B，方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与点的轨迹相交，故B错误； 对于C，点在圆内，且到圆心的距离， 当直线与 垂直时，圆被直线所截得的弦长最小， 此时点到直线的距离即为， 所以弦长，故C正确； 对于D，四边形的面积， 当最小时，最小，的最小值即为点到直线的距离即， 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且与垂直，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，化简解方程即可；法二：利用转化法表示向量垂直，结合向量垂直的坐标表示，列方程，可得解. 【详解】法一：由已知，， 则，， 又与垂直， 则， 解得 ， 法二：由与垂直， 则， 又，， 则，，， 所以， 解得 ， 故答案为：. 13. 2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有________个 【答案】 【解析】 【分析】易知不在第一位，先给确定位置，再针对其他数字进行排列，再确定三个的位置，相除即可. 【详解】将七位数从左至右依次称作第一位，第二位，…，第七位， 易知不在第一位，则有个位置可以选择， 又数字中有三个， 将剩余个数字进行全排列共种排法， 所以排成不同的七位数共有种， 故答案为：. 14. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义设出焦半径，结合勾股定理列方程组，求得离心率. 【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接. 设由知且， 由椭圆的定义可知. 又所以，所以所以由椭圆的定义可知. 因为， 所以在中，由勾股定理得即.① 在中，由勾股定理得即整理得. 将代入①式得，整理得，所以离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用间接法以及排列知识求出； （2）利用捆绑法以及排列的知识解决. 【小问1详解】 将六件艺术作品展出，则展出顺序共有种， 若第一件展出的艺术作品是国画，则展出顺序共有种， 则第一件展出的艺术作品不是国画，共有种不同的安排方案； 【小问2详解】 因油画和插画的展出顺序相邻，则将其捆绑为一个整体，再将其与剩下的四件艺术作品一起排序，共有种不同的安排方案. 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.已知， ， （1）证明：平面； （2）求二面角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，求证，根据线面平行的判定定理求证； （2）以为原点建系，分别求出两个平面的法向量，根据法向量的夹角和二面角的平面角之间的关系求得. 【小问1详解】 连接，设，连接， 因是直三棱柱，则四边形为矩形，则为的中点， 因是的中点，则， 又平面，平面，则平面； 【小问2详解】 因， ，则，即 ， 则以为原点，所在直线为轴、轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令 ，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 则二面角的平面角的余弦值为. 17. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示，；并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则直接表示向量，再利用转化法可求得模长； （2）利用转化法表示向量数量积及向量夹角余弦值，进而可得异面直线夹角余弦值. 【小问1详解】 由已知， ， 又平行六面体的底面是正方形，且， 即，， 且， 则 ； 【小问2详解】 由（1）得，则， 且， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 （1）求C的方程； （2）设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】（1）； （2）直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率，点及，得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）设直线l的方程为，联立，得到两根之和，两根之积，代入计算出. 【小问1详解】 由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； 【小问2详解】 由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 19. 已知底面ABCD是正方形，平面 ，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证： ； （2）求点A到平面PCQ的距离； （3）若点M是线段PQ上的动点，当直线EF与平面ACM所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得线线垂直； （2）先求出平面 的法向量，再利用空间向量法可求得点A到平面PCQ夹角的距离； （3）先设，其中，得出向量的坐标，得到平面 的一个法向量，再利用空间向量法可得线面角的正弦是关于 的式子，结合值域计算即可求解. 【小问1详解】 因为ABCD为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、， 所以， 所以 ，所以 ． 【小问2详解】 设平面 的法向量，，， 则，取 ，可得， 所以平面 的一个法向量为，又， 则点A到平面PCQ夹角的距离为； 【小问3详解】 假设存在点，使得，其中， 则，， 设平面 的一个法向量为， 则，取 ，可得， 所以平面 的一个法向量为， 设直线与平面 所成角为 ， 由题意可得， 设，即， 当即时， 取最大值； 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年上学期12月份月考 高二数学试卷 命题人：余风娇 审题人：朱保军 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，分别是平面 的法向量，则平面 的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 3. 抛物线的焦点为，抛物线上一点在其对称轴的上方，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在高二某班级中，有4名同学要参加足球､篮球､乒乓球三项比赛的报名活动，每人仅限选择一项参加，其中甲同学无法参与足球比赛的报名，则不同的报名种数有（ ） A. 12 B. 16 C. 54 D. 81 5. 已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥 中，平面⊥平面 ，，，，点P是线段上的动点，若线段上存在点，使得直线 与平面成30°的角，则线段 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线的方程为，则（　　） A. 当时，曲线为双曲线，其焦距为 B. 当时，曲线为双曲线，其实轴长为 C. 当时，曲线为圆 D. 曲线为焦点在轴上的椭圆，则 10. 如图，在三棱锥中，平面 ，，，， ，分别为，，，的中点，是的中点， 是线段 上的动点，则（ ） A. 若N为线段GH上的中点，则 B. 不存在点N，使得. C. 存在 ， ，使得 D. 异面直线CE与BH所成角的余弦值为 11. 平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ） A. 点的轨迹的方程是 B. 直线与点的轨迹相离 C. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是 三、填空题：本题共小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且与垂直，则的值为__________ 13. 2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有________个 14. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，是上两点，，且，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为丰富广大人民群众文化生活，增强群众文化获得感、幸福感，某省开展群众美术主题创作展.若此次展览中打算安排国画、油画、水彩画、插画、漫画、素描画六件艺术作品的展出顺序. （1）若要求第一件展出的艺术作品不能是国画，则共有多少种不同的安排方案？ （2）若要求油画和插画的展出顺序相邻，则共有多少种不同的安排方案？ 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.已知， ， （1）证明：平面； （2）求二面角余弦值. 17. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示，；并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 （1）求C的方程； （2）设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 19. 已知底面ABCD是正方形，平面 ，点E、F分别为线段PB、CQ的中点. （1）求证： ； （2）求点A到平面PCQ的距离； （3）若点M是线段PQ上的动点，当直线EF与平面ACM所成角的正弦值取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $