精品解析：湖南省雅礼教育集团2025-2026学年九年级上学期第三次阶段检测数学试题

2025年下学期九年级第三次阶段性检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某校九年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， 99 B. 99， 99 C. ， 98 D. ， 98 6. 如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是( ) A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 8. 如图，直线a，b，c被直线所截，交点分别为点A，C， E和点B， D， F，已知，且，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 18 9. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为___________． 12. 因式分解：________． 13. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 14. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 15. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 16. 小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图， 在中，， 分别以点A 和点B为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N， 作直线， 分别交于点D、点 E， 连接． （1）若的周长是，， 求的长； （2）若， 求的度数． 20. 第十五届全运会落幕，湖南正式接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．某校响应湖南省中小学生全员文体活动号召，学生对全运会湖南优势项目表现出浓厚兴趣．为精准开展校园体育活动，学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A、B、C、D开展调查，随机抽取部分学生统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为___________人；扇形统计图中 B 类项目所占圆心角为___________度； （2）补全条形统计图； （3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，请用列表法求出恰好抽到关注A、B两类项目各 1人的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）观察图象，直接写出关于x的不等式的解集． 22. 脐橙、冰糖橙是湖南秋冬的特色应季水果，富含维生素C、膳食纤维，有开胃消食、补充营养的作用．某水果店试销这两种水果，已知每箱脐橙的售价比冰糖橙的售价少5元，销售6箱脐橙的总价比销售5箱冰糖橙的总价多15元． （1）问脐橙与冰糖橙每箱的售价各是多少元？ （2）若脐橙每箱的进价为32元，冰糖橙每箱的进价为36元．现水果店购进两种水果共40箱，计划所花资金不高于1380元，设购进脐橙a箱，销售这两种水果的利润为w元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润w最大，最大利润是多少？ 23. 如图， 在平行四边形中， 对角线与相交于点O， ，过点B作交于点 E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m，则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数．请根据该约定，解答下列问题： （1）求正比例函数与二次函数的定积系数m； （2）若点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数为关于的“定积函数”，当时，求代数式的值； （3）若一次函数与二次函数（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为和，且，满足 ①求m的值； ②如图，已知O为坐标原点，若M为函数的图象上位于第四象限的一个动点，连接、、，且交于点C，过点M作交于点N，记的面积依次为，，，求的取值范围． 25. 如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级第三次阶段性检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方的运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A、和不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：B． 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 5. 某校九年级开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有30名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 99 98 97 人数 6 9 12 3 则这30名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. ， 99 B. 99， 99 C. ， 98 D. ， 98 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，理解众数和中位数的定义是解题的关键．众数为出现次数最多的数据，中位数为第15和第16个数据的平均值，按此计算即可． 【详解】解：∵ 98分出现12次，次数最多， ∴ 众数为98， ∵ 总数据30个，中位数需取第15和第16个数据的平均值， 累积人数：97分3人（第位），98分12人（第位），99分9人（第位）， ∴ 第15位数据为98分，第16位数据为99分， ∴ 中位数 ． 故选：D 6. 如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是( ) A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，随增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析是解题关键． 【详解】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意； B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意； C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意； D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，直线a，b，c被直线所截，交点分别为点A，C， E和点B， D， F，已知，且，，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据即可求解． 【详解】解：，直线a，b，c被直线所截， ，即， 解得， 故选：A． 9. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 10. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 13. 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】首先求出摸到的红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球， ∴摸到红球的频率是． ∵袋子中有红球、白球共20个， ∴这个袋子中红球约有（个）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 15. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 16. 小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可． 【详解】解：原式， ． 18. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，              所以不等式组的解为． 19. 如图， 在中，， 分别以点A 和点B为圆心， 大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N， 作直线， 分别交于点D、点 E， 连接． （1）若的周长是，， 求的长； （2）若， 求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等边对等角等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长得到，即可求出的长； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由得到，再根据角的和差即可得到的度数． 【小问1详解】 解：由作法可知是的垂直平分线， ， 的周长是，， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， . 20. 第十五届全运会落幕，湖南正式接过会旗，全运会进入“湖南周期”，体育湘军在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．某校响应湖南省中小学生全员文体活动号召，学生对全运会湖南优势项目表现出浓厚兴趣．为精准开展校园体育活动，学校体育组针对4类全运会湖南热门优势项目A、B、C、D开展调查，随机抽取部分学生统计，绘制成两幅不完整的统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为___________人；扇形统计图中 B 类项目所占圆心角为___________度； （2）补全条形统计图； （3）学校从关注热度较高的学生中选拔出4名“校园体育推广员”，其中3人关注A类项目，1人关注B类项目，现从这4人中随机选择2人在校体育节开幕式上分享运动心得，请用列表法求出恰好抽到关注A、B两类项目各 1人的概率． 【答案】（1）200，108 （2） 补全条形统计图如图． （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用、概率的计算，解题的关键是从图表中提取有效信息，利用统计量的关系和列举法求解． （1）通过D类的人数与占比求总人数，再由B类人数与总人数的比求圆心角； （2）计算B类人数后补全条形图； （3）画树状图列举所有可能结果，计算符合条件的概率． 【小问1详解】 解：总人数：由D类人数40人，占比20%，得人； B类人数：人， B类圆心角：． 故答案为：200；108． 【小问2详解】 解：B类人数为60人，在条形图中B类对应的高度画为60， 【小问3详解】 解：画树状图如下， 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用两类项目各1人的结果有6种， 恰好抽到使用两类项目各1人的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，且与y轴交于点C． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）观察图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． （1）把代入求出m的值，再求出点A的坐标，最后运用待系数法求解一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据交点坐标，结合函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：将代入， 得 解得， 反比例函数的解析式为， 将代入，得：， ， 将代入一次函数解析式， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可得，的解集为或． 22. 脐橙、冰糖橙是湖南秋冬的特色应季水果，富含维生素C、膳食纤维，有开胃消食、补充营养的作用．某水果店试销这两种水果，已知每箱脐橙的售价比冰糖橙的售价少5元，销售6箱脐橙的总价比销售5箱冰糖橙的总价多15元． （1）问脐橙与冰糖橙每箱的售价各是多少元？ （2）若脐橙每箱的进价为32元，冰糖橙每箱的进价为36元．现水果店购进两种水果共40箱，计划所花资金不高于1380元，设购进脐橙a箱，销售这两种水果的利润为w元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）脐橙每箱的售价为40元，冰糖橙每箱的售价为45元 （2）当购进脐橙15箱，冰糖橙25箱时，利润最大，最大利润是345元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设脐橙每箱的售价为元，冰糖橙每箱的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解． （2）根据题意列出一次函数关系式，根据计划所花资金不高于1380元，得出进而结合一次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设脐橙每箱的售价为元，冰糖橙每箱的售价为y元 由题意可得：， 解得， 答：脐橙每箱的售价为40元，冰糖橙每箱的售价为45元； 【小问2详解】 由题意可得， ， 计划所花资金不高于1380元， ， 解得 随的增大而减小， 当时，此时，， 答：当购进脐橙15箱，冰糖橙25箱时，利润最大，最大利润是345元. 23. 如图， 在平行四边形中， 对角线与相交于点O， ，过点B作交于点 E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先证明四边形是菱形，根据菱形的性质得，再根据同角的余角相等得，即可证明； （2）先由勾股定理求得，再由，根据相似三角形的性质列比例式代值求解即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是菱形， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 24. 我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m，则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数．请根据该约定，解答下列问题： （1）求正比例函数与二次函数的定积系数m； （2）若点在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数为关于的“定积函数”，当时，求代数式的值； （3）若一次函数与二次函数（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为和，且，满足 ①求m的值； ②如图，已知O为坐标原点，若M为函数的图象上位于第四象限的一个动点，连接、、，且交于点C，过点M作交于点N，记的面积依次为，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查函数的图象交点，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，二次函数的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）联立正比例函数与二次函数，求解两函数图象的交点坐标，即可求解； （2）令，得，根据根与系数的关系得到，因此根据“定积函数”定义得到，从而，将所求式子运用分式的加减进行求解即可； （3）①令，得，因此，根据得到，即可求出m的值； ②由得到图象与轴的交点坐标为，设，由，得到，因此．过点作轴交直线于点，则，求出，因此，即可解答． 【小问1详解】 解：解方程组，得或， ∴正比例函数与二次函数的图象的交点为，， ． 【小问2详解】 令，得， ∴， ∵反比例函数与一次函数为关于的“定积函数”， ∴，即， ∵点在反比例函数（k为非零常数）的图象上， ∴， ． 【小问3详解】 ①令，得 ， ， ． ， ∴，解得． ②， ， 的图象与轴的交点坐标为， 设， ∵， ， ， 过点作轴交直线于点，则， 由得直线与轴的交点坐标为， ∴， ， ， ， ． 25. 如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， 又， ， 即且是的半径， 是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，再由直径所对的角是直角有，由，可得，最后根据切线的判定定理求解即可； （2）在中，根据勾股定理可得，由可证得，根据相似三角形的性质有，即，设，，可得，由此求解即可； （3）连接，设，根据圆的性质，平行线的判定与相似三角形的判定可证得，由则有，，，，因此，在中，根据勾股定理可得，最后联立两式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 且， ， ， 设，， 则， ， 解得， ； 【小问3详解】 连接，设， 是的直径， 又， ， ， ，则，，，， ① 在中，， ② 将②代入①式得． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的性质与判定，切线的判定定理等，灵活运用相关知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $