7.1.2 两条直线垂直 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“两条直线垂直”，涵盖垂线的概念、判定与性质、画法、基本事实及垂线段最短等核心知识。通过情景导入（观察图片、转动木条模型）引出垂直定义，结合概念辨析（垂直与相交的关系），搭建从生活实例到抽象概念的学习支架，衔接相交线知识。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如通过灌溉渠道最短问题培养应用意识，用符号语言规范推理过程。采用动手操作（画垂线步骤）和合作探究（测量线段比较），结构化总结知识要点。助力学生发展几何直观与空间观念，教师可借助丰富实例及变式题提升教学效果。

人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件 第7章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 1.理解垂线的有关概念、性质及画法； 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题. 学习目标 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情景导入 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的角∠α也会发生变化. 当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b. 情景导入 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线； 它们的交点叫作垂足. 如右图，直线AB与直线CD垂直， 记作：AB⊥CD，垂足是O；   “⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”； 而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记. C D A O B 情景导入 A B C D O 符号语言： ①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°) 垂直的判定与性质 符号语言： 7.1.2 两条直线垂直 教学课件幻灯片教学过程内容 幻灯片1：情境导入（3分钟） 师：同学们，在我们的生活中藏着许多数学图形的身影，大家仔细观察大屏幕上的图片（展示十字路口交通标线、窗户边框交角、剪刀开合示意图），这些图片中都出现了什么共同的数学现象呢？ 生：（观察后回答）有两条直线交叉在一起。 师：非常好！像这样两条直线交叉在一起的情况，在数学上我们称之为“两条直线相交”。今天这节课，我们就一起来深入研究“两条直线相交”的相关知识，看看其中藏着哪些有趣的数学规律。（板书课题：7.1.1 两条直线相交） 幻灯片2：探究新知一——相交线的定义与对顶角、邻补角的识别（10分钟） 师：首先，请大家拿出草稿纸和直尺，画出两条相交的直线，标注为直线AB和直线CD，交点为O。大家仔细观察自己画出的图形，思考一个问题：两条直线相交，会形成几个角呢？ 生：（动手画图后回答）4个角，分别是∠1、∠2、∠3、∠4（教师同步在黑板上画图标注角）。 师：大家观察这4个角的位置关系，我们先给它们分分类。大家看∠1和∠3，它们的顶点都是O，并且∠1的两边是OA和OC，∠3的两边是OB和OD，也就是这两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角我们叫做对顶角。大家再找一找，还有没有其他对顶角？ 生：∠2和∠4是对顶角。 师：非常准确！那再看∠1和∠2，它们的顶点也是O，并且有一条公共边OC，另一边OA和OB在同一条直线上，也就是这两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角我们叫做邻补角。大家思考一下，邻补角有什么特殊的数量关系呢？ 生：因为OA和OB在同一条直线上，形成平角，所以∠1+∠2=180°。 师：没错！邻补角的和是180°，它们不仅相邻，还互补。大家再找出图中其他的邻补角，同桌之间互相说一说。（学生交流后，教师总结邻补角：∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1都是邻补角） 幻灯片3：探究新知二——过一点画已知直线的垂线（12分钟） 师：了解了垂直的定义和表示后，我们学习重要操作——过一点画已知直线的垂线。大家先思考：这个“一点”有几种位置情况？ 生：（思考后回答）两种！一种是点在已知直线上，另一种是点在已知直线外。 师：非常好！接下来我们分两种情况学习画法，大家拿出三角板和直尺，跟着老师一步步操作。首先是“过直线上一点画垂线”：第一步，把三角板的一条直角边与已知直线重合；第二步，让三角板的另一条直角边紧紧靠住这个点；第三步，沿着这条靠点的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后标注垂直符号。 师：大家自己试着画一遍，同桌互相检查画法是否正确。接下来是“过直线外一点画垂线”：第一步，同样把三角板的一条直角边与已知直线重合；第二步，平移三角板，让三角板的另一条直角边与直线外的点重合；第三步，沿着这条直角边画直线，标注垂直符号。 师：大家动手画一画，注意平移时三角板不要偏移。画完后思考：过一点能画几条已知直线的垂线？ 生：（观察后）只能画一条！ 师：没错！我们得出一个重要结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“有且只有”表示“存在且唯一”，大家要理解这个结论的含义。 师：我们再补充一个知识点——垂线段最短。大家看大屏幕，直线l外有一点P，连接P与直线l上的几个点A、B、C（其中PB是垂线段），用直尺量一量PA、PB、PC的长度，发现什么？ 生：PB最短！ 幻灯片4：巩固练习（15分钟） 师：第一题：如图，直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=多少度？∠BOD呢？说明理由。请大家独立完成后举手回答。 生：∠AOC=90°，因为AB⊥CD，垂直的两条直线相交成直角；∠BOD=90°，因为对顶角相等，或者也可以根据垂直的性质直接得出。 师：回答得很完整！第二题：判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”：①两条直线垂直一定相交；②两条直线相交一定垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短。大家先独立思考，再小组讨论。 （学生讨论后）师：我们逐一分析：①垂直是相交的特殊形式，所以两条直线垂直一定相交，正确；②相交不一定成直角，所以不一定垂直，错误；③这是我们刚总结的结论，正确；④垂线段最短是我们测量验证的，正确。大家都判断对了吗？ 师：第三题：如图，过点P画直线l的垂线，并标注垂足。请大家在草稿纸上完成，老师巡视指导。（巡视后）大家注意，画垂线时三角板的直角边要与已知直线完全重合，平移要准确，最后一定要标注垂直符号和垂足。 师：第四题：如图，直线AB⊥CD于O，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数。大家先找出图中的直角，再结合角平分线的知识解题。 幻灯片5：课堂小结（5分钟） 师：今天这节课我们学习了“两条直线垂直”，大家回顾一下，都学了哪些核心内容？同桌之间互相梳理一下。 （学生交流后）师：我们一起总结：第一，垂直的定义——两条直线相交成直角时互相垂直，核心是90°；第二，垂直的表示方法，用“⊥”符号，还要记住垂线、垂足的概念；第三，过一点画已知直线垂线的方法，分点在直线上和直线外两种情况，关键是用三角板的直角边定位；第四，两个重要结论——过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短。 师：大家还要注意区分“垂直”和“相交”的关系——垂直是特殊的相交，只有相交成直角时才是垂直。在解题和画图时，要灵活运用今天学的定义、性质和结论。 师：今天的新课内容就到这里，垂直的知识在生活和后续数学学习中都很重要，希望大家课后多练习画图和解题，巩固所学知识。 思考：① 两条直线垂直和相交是什么关系? ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直. ② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： 相交和平行. ② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有 3 种：相交、平行、垂直? 想一想 思考：③ 如何判定两条射线垂直? 两条线段呢? ③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直. 将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直. 讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子. 想一想 例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°， 则 m n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD， 则∠BOD =_____°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °. O m n 1 B C A O ⊥ 90 72 162 图1 图2 典例精析 画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 垂线的画法及基本事实 2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1.放 l O 如图，已知直线 l，画 l 的垂线. A 无数条 2.靠 3.画 … l A B 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l M N 1.放 2.靠 3.移 4.画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 画 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 概念 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识要点 典例精析 A B 例 1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． P (1) A B P (2) 总结 过点画射线或线段的垂线，是指画点与射线、线段所在的直线的垂线. A B P (3) 垂线的性质及应用 3 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ l P 在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ 运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 这样的线段 PO 只有一条. (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ 合作探究 概念 垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ (5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长? (6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例. 图中 4.7 cm，实际 4700 m. 返回 B 1. 如图，已知OC⊥OA，若∠1＝25°，则∠2的度数为 (　　 ) A．55° B．65° C．75° D．155° 考试考法 20 返回 2. B 如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若 ∠AOC＝58°，则∠EOB的度数为(　　) A．29° B．32° C．45° D．58° 考试考法 返回 3. C 如图，已知直线AB，CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是(　　) A．∠BOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＋∠BOD＝180° 考试考法 返回 4. C [教材P5探究变式]下列选项中，用三角尺过点P画AB的垂线CD，放法正确的是(　　) 考试考法 返回 5. 解：画图如图所示． (4分)[教材P5例2变式]如图，已知∠AOB和一点P，过点P画∠AOB两边的垂线. 考试考法 返回 6. A 在同一平面内，经过直线l外一点画l的垂线，能画出(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 考试考法 返回 7. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 如图，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会与AE重合，否则AB与AE不重合． 请你用所学的数学知识说明道理：______________________________________________________. 考试考法 返回 8. B 如图，点P到直线AD的垂线段是(　　) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 考试考法 返回 9. 垂线段最短 在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是______________. 考试考法 28 返回 10. C [教材P6练习T2变式]下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(　　) 考试考法 29 返回 11. EO [教材P6练习T3变式] 如图，已知点O在直线AB上，EO⊥OF， EM⊥AB于点M，连接EF，则点E到OF的距离是线段______的长度. 考试考法 30 返回 12. C [教材P6练习T3变式]如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列关系式中一定成立的是(　　) A．AD＞CD B．CD＞BD C．BC＞BD D．AC＞BC 考试考法 31 返回 13. D 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 考试考法 返回 14. 30° 如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，OM分别是入射光线、反射光线和法线，AB为反射面(提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角，法线垂直于反射面)．若∠POM＝2∠POB，则∠AOQ的度数为______. 考试考法 15. 解：如图，点H即为蓄水池的位置． (8分)[教材P6思考变式]如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小； 考试考法 如图，GH即为所求．理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． (2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？画图并说明理由. 返回 考试考法 35 16. 解：因为AB，CD相交于点O， 所以∠AOC＝∠BOD＝36°. 因为OG⊥CD，所以∠COG＝90°， 即∠AOC＋∠AOG＝90°， 所以∠AOG＝90°－∠AOC＝54°. (8分)如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD，且OG平分∠AOF，∠BOD＝36°. (1)求∠AOG的度数； 考试考法 解：OC是∠AOE的平分线，理由： 因为OG是∠AOF的平分线，所以∠AOF＝2∠AOG＝108°. 又因为∠AOC＝36°， 所以∠COE＝180°－∠AOF－∠AOC＝180°－108°－36°＝36°， 所以∠AOC＝∠COE，所以OC是∠AOE的平分线． (2)OC是∠AOE的平分线吗？说明你的理由． 返回 考试考法 37 17. (12分) 按如图的方法折纸，然后回答问题：   (1)AE与EF垂直吗？为什么？ 考试考法 解：AE⊥EF.理由如下： 由折叠可知∠1＋∠3＝∠2. 又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°， 所以2∠2＝180°， 即∠2＝90°.所以AE⊥EF. 考试考法 由(1)知∠1＋∠3＝∠2＝90°， 故∠1与∠3互余． (2)∠1与∠3有何关系？ ∠1与∠AEC互补，∠3与∠BEF互补． (3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？ 返回 考试考法 40 垂线 垂线的定义 垂线 基本事实：在同一平面内，过一点_____________直线与已知直线垂直 性质:垂线段____ 垂线的画法 一放二靠三移四画 最短 有且只有一条 课堂小结 谢谢观看！ Lavf58.46.101 $