7.1.1 两条直线相交 课件 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“两条直线相交”核心内容，系统呈现邻补角、对顶角的概念及性质，通过木条相交模型引导学生观察角的位置与数量关系，结合表格梳理相邻、相对角的分类，搭建从直观操作到抽象概念的学习支架，衔接小学角的认识与初中几何知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如剪刀、量角器等相交线模型），通过合作探究推导对顶角相等培养推理意识，利用教材变式题和中考题强化模型应用。例题解析注重未知角转化方法，小结结构化梳理知识，助力学生提升几何直观与推理能力，为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件 第7章 相交线与平行线 7.1.1 两条直线相交 1. 理解邻补角、对顶角的概念，能运用对顶角相等、邻补角互补的性质进行计算与说理. 2. 通过观察、试验、猜想、说理等活动，初步学会从几何图形中提出问题、发现问题、解决问题的方法. 3. 通过对对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 重点：掌握对顶角相等，邻补角互补的性质. 难点：发现两条直线相交时所形成的各类角的位置关系及数量关系. 学习目标 你能在下图中找出一些相交线吗？ 情景导入 问题 如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型. 在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？ 7.1.1 两条直线相交 教学课件幻灯片教学过程内容 幻灯片1：情境导入（3分钟） 师：同学们，在我们的生活中藏着许多数学图形的身影，大家仔细观察大屏幕上的图片（展示十字路口交通标线、窗户边框交角、剪刀开合示意图），这些图片中都出现了什么共同的数学现象呢？ 生：（观察后回答）有两条直线交叉在一起。 师：非常好！像这样两条直线交叉在一起的情况，在数学上我们称之为“两条直线相交”。今天这节课，我们就一起来深入研究“两条直线相交”的相关知识，看看其中藏着哪些有趣的数学规律。（板书课题：7.1.1 两条直线相交） 幻灯片2：探究新知一——相交线的定义与对顶角、邻补角的识别（10分钟） 师：首先，请大家拿出草稿纸和直尺，画出两条相交的直线，标注为直线AB和直线CD，交点为O。大家仔细观察自己画出的图形，思考一个问题：两条直线相交，会形成几个角呢？ 生：（动手画图后回答）4个角，分别是∠1、∠2、∠3、∠4（教师同步在黑板上画图标注角）。 师：大家观察这4个角的位置关系，我们先给它们分分类。大家看∠1和∠3，它们的顶点都是O，并且∠1的两边是OA和OC，∠3的两边是OB和OD，也就是这两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角我们叫做对顶角。大家再找一找，还有没有其他对顶角？ 生：∠2和∠4是对顶角。 师：非常准确！那再看∠1和∠2，它们的顶点也是O，并且有一条公共边OC，另一边OA和OB在同一条直线上，也就是这两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角我们叫做邻补角。大家思考一下，邻补角有什么特殊的数量关系呢？ 生：因为OA和OB在同一条直线上，形成平角，所以∠1+∠2=180°。 师：没错！邻补角的和是180°，它们不仅相邻，还互补。大家再找出图中其他的邻补角，同桌之间互相说一说。（学生交流后，教师总结邻补角：∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1都是邻补角） 幻灯片3：探究新知二——对顶角的性质（12分钟） 师：我们已经认识了对顶角和邻补角，接下来我们重点研究对顶角的性质。大家先猜想一下，对顶角之间有什么数量关系呢？是相等还是不相等？ 生：（猜想）相等。 师：那我们就通过推理来验证这个猜想。大家看，∠1和∠2是邻补角，所以∠1+∠2=180°；∠2和∠3也是邻补角，所以∠2+∠3=180°。这两个式子中都有∠2，根据“同角的补角相等”，我们可以得出什么结论呢？ 生：∠1=∠3。 师：非常棒！通过推理，我们证明了∠1=∠3，同样的方法我们也可以证明∠2=∠4。所以我们得出对顶角的性质：对顶角相等。（板书性质：对顶角相等） 师：大家再用手中的量角器量一量自己画出的对顶角，看看测量结果是否符合这个性质，验证一下我们的推理是否正确。（学生测量后反馈，进一步确认对顶角相等的性质） 师：我们来做一个小练习巩固一下。已知∠1=50°，那么∠3等于多少度？∠2等于多少度？大家说一说理由。 生：∠3=50°，因为对顶角相等；∠2=180°-50°=130°，因为邻补角互补。 师：回答得非常完整！大家已经掌握了对顶角和邻补角的核心知识，接下来我们就运用这些知识解决实际问题。 幻灯片4：巩固练习（15分钟） 师：我们来看第一题（展示题目1：如图，直线a、b相交于点O，∠1=70°，求∠2、∠3、∠4的度数）。请大家独立完成，然后举手回答。 生：∠3=∠1=70°（对顶角相等）；∠2=180°-70°=110°（邻补角互补）；∠4=∠2=110°（对顶角相等）。 师：完全正确！我们再看第二题（展示题目2：判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③邻补角互补；④互补的角是邻补角）。大家先独立思考，再小组讨论。 （学生讨论后，教师逐一分析）师：①对顶角相等，这是我们刚证明的性质，所以正确；②相等的角是对顶角，大家举个反例，比如两个直角三角形的直角，相等但不是对顶角，所以错误；③邻补角互补，这是邻补角的定义推导出来的，正确；④互补的角是邻补角，反例：两个独立的角，一个100°，一个80°，互补但不相邻，也没有公共顶点，所以错误。 师：第三题（展示题目3：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠1=30°，求∠AOC、∠AOD的度数）。大家先找出图中的对顶角和邻补角，再结合角平分线的知识解题。 （学生完成后，教师讲解）师：∠AOC和∠BOD是对顶角，所以先求∠BOD。因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠1=60°，因此∠AOC=60°；∠AOD和∠AOC是邻补角，所以∠AOD=180°-60°=120°。大家都做对了吗？有疑问的可以举手提问。 幻灯片5：课堂小结（5分钟） 师：今天这节课我们学习了两条直线相交的相关知识，大家回顾一下，我们都学了哪些内容呢？同桌之间互相梳理一下。 （学生交流后，教师引导总结）师：首先，我们认识了两条直线相交形成的两种角——对顶角和邻补角，并明确了它们的定义和位置特征；其次，我们通过推理证明了对顶角的性质：对顶角相等；最后，我们运用这些知识解决了相关的角度计算和判断问题。 师：大家要注意区分对顶角和邻补角的不同：对顶角是“相对”的角，两边互为反向延长线，数量关系是相等；邻补角是“相邻”的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，数量关系是互补。在解题时，要灵活运用这两种角的特征和性质。 师：今天的新课内容就学到这里，希望大家课后能多练习，巩固今天所学的知识，把知识学扎实。 情景导入 4 两直线相交 所形成的角 位置关系 列举 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 相邻 相对 ∠1和∠3， ∠2和∠4. ∠1和∠2， ∠2和∠3，∠3和∠4， ∠1和∠4. O B A D C 2 4 1 3 情景导入 5 1 2 4 A B C D O ∠1和∠2互补 思考：图中还有哪些邻补角？ 概念 有一条公共边 另一边互为____________ 反向延长线 邻补角 （位置相邻） （两角和是180°） ∠1 和 ∠2，∠1 和 ∠4； ∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4. 3 探究新知 1. 下列各图中，∠1 与∠2 是邻补角的是 ( ) B 总结 遇到角的辨析，需要抓住定义做题. A B C 练一练 探究新知 讨论 2：邻补角与补角有什么关系? 邻补角是补角的一种特殊情况，不仅在数量上互补，在位置上还有一条公共边，而互补的角与角的位置无关. O 讨论 3：观察图中的∠1 与∠3 有怎样的位置关系? 顶点相同，角的两边互为反向延长线. 探究新知 概念 1 3 A B C D O 有一个公共顶点 一个角的两边是另一个角的两边的____________ 反向延长线 对顶角 （位置相邻） （两角大小相等） 思考：图中还有哪些对顶角？ ∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4. 2 4 知识要点 探究新知 2. 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是 ( ) D 思路点拨：紧扣对顶角定义做题. A B C D 练一练 探究新知 3. 如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？ 练一练 探究新知 对顶角的性质 2 思考：在转动木条的过程中，它们所成的角发生了改变，而在改变过程中又有什么是不变的？ 量一量：量角器测量各个角的度数： ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 O 思考：∠1 和∠2有什么样的数量关系? ∠1和∠3又有什么样的数量关系呢? ∠1＋∠2＝180°；∠1＝∠3 探究新知 因为 ∠1 与∠2 互补， ∠3 与∠2 互补（邻补角的定义）， 所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等）. 概念 对顶角相等. 合作探究 讨论 4：∠1 和∠3 的数量关系还可以通过其他方 法得到吗?试一试. 同理 ∠2＝∠4. 探究新知 例 1 如图所示，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数. 已知角 未知角 邻补角的定义 对顶角的性质 分析： 典例精析 探究新知 解：由邻补角的定义，得 ∠2 = 180°-∠1 =180°- 40°= 140°； 由对顶角相等，得 ∠3 =∠1 = 40°， ∠4 =∠2 = 140°. 总结 几何中角度的计算，常常将未知角转化为已知角，通过列方程或简单计算求解. 探究新知 典例精析 例 2 【教材P3 练习T3 变式】 (1)若∠1 + ∠3 = 80°，求各个角的度数. (2)若∠1∶∠2 = 2∶ 7，求各个角的度数. 3 1 2 解：(1) 由对顶角相等得∠1 = ∠3 . 因为∠1 + ∠3 = 80°， 所以 ∠1 = ∠3 = 40°. 由邻补角的定义，得 ∠2 = 180° -∠1 = 180°- 40°= 140°. 探究新知 典例精析 例 2 【教材P3 练习T3 变式】 (2)若∠1∶∠2 = 2∶ 7，求各个角的度数. 3 1 2 解：(1) 因为∠1∶∠2 = 2∶ 7， 则令∠1 = 2x，∠2 = 7x. 由邻补角的定义，得∠1 + ∠2 = 180°， 所以 2x + 7x = 180°，x = 20°， 即∠1 = 40°，∠2 = 140°. 由对顶角相等得∠1 = ∠3 = 40° 探究新知 B 1. 下列各图中，∠1和∠2互为邻补角的是(　　) 考试考法 18 2. D 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　) A．①④ B．②④ C．①③ D．④ 考试考法 3. 解：∠AOE的邻补角是∠BOE， ∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD. (8分)如图，直线AB与CD相交于点O，OE是以O为顶点的一条射线． (1)写出∠AOE和∠AOC的邻补角； (2)写出图中所有的对顶角. ∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD. 考试考法 4. 144 [广州中考]如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝36°，则∠2的度数为______°. 考试考法 5. C [教材P20习题T9变式][河南中考]如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 考试考法 6. B [教材P3练习T2变式] 如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB＋∠COD＝76°，则∠AOB＝(　　) A．36° B．38° C．52° D．46° 考试考法 7. B 如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为(　　) A．70° B．80° C．90° D．100° 考试考法 8. C 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠BOD＝35°，则∠BOE的度数为(　　) A．95° B．100° C．110° D．145° 考试考法 9. B [教材P3练习T2变式]如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当∠1增大4°时，下列说法正确的是(　　) A．∠2增大4° B．∠3增大4° C．∠4增大4° D．∠4减小2° 考试考法 26 10. 解：因为∠1与∠2互为邻补角， 所以∠2＋∠1＝180°. 因为∠2＝3∠1，所以3∠1＋∠1＝180°，解得∠1＝45°.所以∠3＝∠1＝45°，∠2＝3×45°＝135°. 所以∠4＝∠2＝135°. (4分)[教材P3例1变式]如图，a，b两条直线相交．若∠2＝3∠1，求∠3，∠4的度数. 考试考法 27 11. B 下列结论错误的是(　　) A．同一个角的两个邻补角是对顶角 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．对顶角的平分线在同一条直线上 D．互为邻补角的两角一定互补，互补的两角不一定互为邻补角 考试考法 28 12. A 如图，三条直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3＝(　　) A．180° B．150° C．120° D．90° 考试考法 29 13. A 如图，一束光线AO从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中AO为入射光线，OB为折射光线，直线DE为法线，点A，O，C在同一条直线上．若∠AOD＝50°，∠BOE＝35°，则∠BOC的度数为(　　) A．15° B．16° C．17° D．18° 考试考法 14. A [邯郸期中]要测量一个古城墙墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案． 下列判断正确的是(　　) A．Ⅰ、Ⅱ都可行 B．Ⅰ、Ⅱ都不可行 C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 方案Ⅰ： ①延长AO到点C； ②测出∠COB的度数，即可得到∠AOB的度数.  方案Ⅱ： ①延长AO到点C，延长BO到点D； ②测出∠COD的度数，即可得到∠AOB的度数. 考试考法 15. (8分)如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°. (1)如图①，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数； 考试考法 (2)如图②，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数. 考试考法 33 考试考法 16. 2 3 4 2 6 12 4 12 24 (8分)下列各图中的直线都相交于一点．   (1)请观察图形并填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 直线条数       … 对顶角的对数       … 邻补角的对数       … 考试考法 对顶角共有n(n－1)对，邻补角共有2n (n－1)对． (2)若n条直线相交于一点，则共有多少对对顶角？共有多少对邻补角？ 考试考法 36 相交线 邻补角 对顶角 定义 邻补角______ 对顶角______ 定义 互补 相等 课堂小结 谢谢观看！ 解：因为∠AOM＝90°，OC平分∠AOM， 所以∠AOC＝∠AOM＝×90°＝45°. 因为∠AOC＋∠AOD＝180°， 所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°. 解：因为∠BOC＝4∠NOB，所以设∠NOB＝x°，则∠BOC＝4x°，所以∠CON＝∠COB－∠BON＝4x°－x°＝3x°. 因为OM平分∠CON，所以∠MON＝∠CON＝x°. 因为∠AOM＋∠BOM＝180°，∠AOM＝90°，所以∠BOM＝∠MON＋∠NOB＝x°＋x°＝90°，所以x＝36， 所以∠MON＝x°＝×36°＝54°. $