第24讲：等差数列的前N项和及其性质【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦等差数列前n项和的核心知识点，系统梳理定义、两大求和公式（倒序相加法与代入转化法推导及适用场景）、函数特征（一次或二次函数形式）及六大性质（片段和、奇偶项和等），衔接通项公式形成“定义-公式-性质-应用”学习支架，为数列综合问题奠基。 资料特色在于大数据易错辨析（如公式适用场景混淆）、7大题型分类（含答题模板与名师点评）及概念比较表格，培养学生抽象能力与推理意识。课中助教师系统授课，课后通过小试牛刀与重点记忆，帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第24讲：等差数列的前N项和及其性质】 总览 题型梳理 一、教材基础知识全梳理 （一）核心定义与求和公式 1.等差数列前n项和的定义：设等差数列{}的首项为，公差为，其前n项和表示数列前n项的累加和，即. 2.两大核心求和公式（网络名师高频强调，必考基础）： （1）公式一： 推导方法：倒序相加法（核心推导思路，需理解记忆）. 推导过程：设①；将其倒序可得②；①+②得，故. 适用场景：已知首项、末项和项数n时，优先选用. （2）公式二： 推导方法：代入转化法（由通项公式代入公式一推导得出）. 适用场景：已知首项、公差和项数n时，优先选用. 3.公式的统一转化：将代入公式一，可直接得到公式二，两大公式本质等价，共涉及、、n、、五个量，已知任意三个量可通过解方程组求出其余两个（“知三求二”核心思想，网络名师高频强调）. （二）前n项和的函数特征 1.公式的函数转化：将整理可得，令，，则（A、B为常数）. 2.不同公差下的函数性质： （1）当时（常数列）：，，是关于n的一次函数，其图象是直线上横坐标为正整数的孤立点； （2）当时：，是关于n的常数项为0的二次函数，其图象是抛物线上横坐标为正整数的孤立点，抛物线开口方向由决定：时开口向上，有最小值；时开口向下，有最大值. （三）前n项和的核心性质（网络名师教学重点，解题高频工具） 1.片段和性质：等差数列中，连续相等项数的和仍成等差数列，即，，，…成等差数列，且新公差为（m为连续项数）. 2.奇偶项和性质：设为前n项中奇数项的和，为偶数项的和： （1）若项数n为偶数（）：，，； （2）若项数n为奇数（）：（为中间项），，. 3.前n项和与通项的关系：（），（注意时的验证，避免漏解）. 4.比值性质：若两个等差数列{}、{}的前n项和分别为、，则（核心二级结论，网络名师高频推荐）. 5.特殊和性质：若（），则；若，（），则. 6.数列{}的性质：若{}是等差数列，则数列{}也是等差数列，其首项为，公差为. 二、易错辨析（大数据统计网络名师高频纠错点） （一）公式使用误区 1.易错点1：混淆求和公式的适用场景，盲目代入导致计算复杂. 辨析：已知、、n用更简便；已知、、n用更直接，优先结合等差数列性质（如）简化计算. 2.易错点2：忽略“知三求二”中方程组的整体代换思想，强行求解单个量导致运算繁琐. 辨析：当已知条件不足直接求、时，可通过整体代换（如、）求解，避免冗余计算. （二）函数特征理解偏差 1.易错点1：认为“等差数列前n项和一定是二次函数”. 辨析：当（常数列）时，是一次函数，只有时，才是常数项为0的二次函数；反之，若数列前n项和（），则该数列不是等差数列（首项后的项成等差，首项不满足）. 2.易错点2：求最值时，忽略n为正整数的限制，直接取二次函数对称轴的横坐标. 辨析：二次函数对称轴为，若对称轴不是正整数，需取距离对称轴最近的正整数作为n；若对称轴是正整数，则该n对应的即为最值. （三）性质应用错误 1.易错点1：片段和性质中，误将“，，”当作等差数列. 辨析：正确结论是“，，”成等差数列，新公差为，而非原公差. 2.易错点2：使用时，未验证的情况，导致通项公式不完整. 辨析：与的关系需分（）和（）两步推导，最终需验证时是否满足的表达式，再统一通项. 3.易错点3：奇偶项和性质中，混淆项数为奇数和偶数时的结论. 辨析：项数为奇数时，中间项是关键（）；项数为偶数时，差值为（k为项数的一半），需先判断项数奇偶性再代入性质. 三、概念比较（明晰易混淆概念） （一）等差数列通项公式与前n项和公式的函数差异 对比维度 通项公式 前n项和公式 函数类型 时为常数函数，时为一次函数（） 时为一次函数，时为常数项为0的二次函数（） 图象特征 直线上的孤立点 抛物线（）或直线（）上的孤立点 核心参数 首项、公差 首项、公差、项数n （二）等差数列前n项和与一般数列前n项和的区别 1.等差数列前n项和：具有明确的函数形式（），且满足片段和、奇偶项和等特殊性质，可通过“知三求二”快速求解. 2.一般数列前n项和：无固定函数形式，不具备等差数列的特殊性质，求解需结合数列通项特征（如分组求和、裂项相消等），且与的关系（，）适用于所有数列，但需验证. 四、重点内容记忆+常考结论（网络名师提炼高频考点） （一）必背重点内容 1.两大求和公式： （1）（倒序相加法推导，核心记忆）； （2）（代入转化推导，灵活应用）. 2.核心思想：“知三求二”（五个量、、n、、的关联求解）、整体代换（简化运算的关键）. 3.函数特征核心：时是常数项为0的二次函数，时是一次函数；最值由的符号和n的正整数性决定. 4.关键性质：片段和成等差（新公差）、奇偶项和性质（分奇偶项数）、. （二）常考结论（直接应用可提速解题） 1.若等差数列{}的前n项和为，且（），则当时（为偶数），取得最值；若为奇数，则时，取得最值. 2.等差数列中，若，，则的最大值出现在最后一个正项对应的n；若，$d>0$，则的最小值出现在最后一个负项对应的n（可通过解不等式组或求解n）. 3.若数列{}是等差数列，则原数列{}一定是等差数列（充要条件）. 4.等差数列前n项和的最值计算两种快捷方法： （1）函数法：对配方，结合求最值； （2）临界项法：找到正负项的分界点n，在该n处取得最值. 5.片段和拓展：（可由求和公式推导，直接应用于含m、n的和的求解）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：“知三求二”基本量计算】 【解题策略】 答题模板：1.定位已知量：明确题目给出的等差数列五个核心量（、、、、）中的三个；2.精准选公式：①已知、、，选用；②已知、、，选用；3.建立方程求解：将已知量代入公式，通过解方程或方程组得出未知量；4.验证结果：将求得的量代入通项公式或求和公式，验证计算准确性. 名师点评：该题型是等差数列前n项和的基础核心题型，解题关键在于熟练掌握“知三求二”的核心思想。无需盲目求解单个量，遇到多条件时可采用整体代换（如、）简化运算，减少计算失误，提升解题效率. （25-26高二上·云南曲靖·月考）已知是等差数列的前项和，，则 ．经典例题例题 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式求出，利用等差数列的前项和的公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. （25-26高二上·福建厦门·月考）等差数列的前项和为，且满足，则 .小试牛刀1 【答案】6 【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式计算出首项和公差，进而求出即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 由题意知，，解得， 故. 故答案为：6. （25-26高三上·福建龙岩·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ）小试牛刀2 A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则； 故选B （2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式，求出数列的首项和公差，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 【题型2：由前n项和求通项】 【解题策略】 答题模板：1.求首项：当时，，直接代入表达式计算；2.求时的通项：利用关系式，代入和的表达式，化简得出通项形式；3.验证连续性：将代入时的通项表达式，若满足则统一写出通项公式，不满足则分段表示（）；4.确认等差数列属性：验证化简后的通项是否符合的一次函数形式. 名师点评：该题型的高频易错点是忽略的验证步骤，导致通项公式不完整。需注意：若为（常数项为0的二次函数），则对应的数列一定是等差数列，可直接通过、快速求解通项. 【多选题】（25-26高三上·云南昆明·月考）已知数列的前n项和，当时，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先应用已知化简得出结合等差数列定义及等差数列通项公式得出，，再计算判断选项. 【详解】由时，，可得，整理得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 即，， 则当时，， 所以 故选：AD． （2025高三·全国·专题练习）已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用代入已知条件求得即得，然后再求出． 【详解】在数列中，①，又 ②，， 所以①除以②得． 又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 则，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 故答案为：． （24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得. 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： （24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 小试牛刀3 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 【题型3：片段和性质的应用】 【解题策略】 答题模板：1.识别片段和特征：明确题目中“连续相等项数的和”，确定连续项数，区分、、等片段和；2.应用核心性质：等差数列的片段和、、、…仍成等差数列，且新公差为，核心关系式为；3.代入求解：将已知的片段和代入性质关系式，解出未知的片段和或原数列的、；4.拓展延伸：若需求（为正整数），可通过累加对应片段和得出结果. 名师点评：该题型的关键是准确记忆片段和的性质，避免误将、、直接当作等差数列。解题时可先标注各片段和对应的项数范围，再代入性质公式，同时注意新公差与原公差的区别（新公差为），减少性质应用错误. （25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）经典例题例题 A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）小试牛刀1 A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D （25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. （25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 .小试牛刀3 【答案】56 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 【题型4：奇偶项和性质的应用】 【解题策略】 答题模板：1.判断项数奇偶性：先确定数列前项的项数是奇数（，为正整数）还是偶数（）；2.代入对应性质公式：①项数为偶数（）：、、；②项数为奇数（）：（为中间项）、、；3.结合已知条件求解：将题目中的已知量（如、、、）代入公式，解出未知量；4.验证合理性：根据数列的单调性或公差符号，验证结果是否符合实际意义. 名师点评：该题型的核心是“先判奇偶，再用性质”，易错点是混淆奇偶项数对应的性质公式。解题时可先通过项数的奇偶性确定中间项（若存在），再结合性质公式求解，中间项是项数为奇数时的解题关键，可快速关联与通项的关系. （25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ．经典例题例题 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 （25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ）小试牛刀1 A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B （25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． （2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ）小试牛刀3 A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 【题型5：比值性质的应用（两等差数列前n项和之比）】 【解题策略】 答题模板：1.明确已知条件：确定两个等差数列{}、{}的前项和分别为、，明确题目给出的的表达式或相关条件；2.应用核心比值性质：若求，直接套用结论；若求（），先分别求出、，再计算比值；3.代入化简：将、的表达式代入比值，化简得出结果；4.验证特殊值：可代入、等特殊值，验证比值结果的正确性. 名师点评：该题型是等差数列性质的高频综合题型，核心结论的推导基础是“等差数列前项和与中间项的关系”（）。解题时无需分别求两个数列的和，直接利用比值性质可大幅简化运算，避免复杂方程组求解. （25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. （25-26高三上·福建泉州·月考）已知等差数列､的前项和分别为､，若，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】已知，由于等差数列的前项和是关于的二次函数（且常数项为0），形式为，因此可设，(k为非零常数），用、分别算出，，，最后代入计算. 【详解】由于等差数列的前项和是关于的二次函数（且常数项为0），形式为， 因此可设，，(k为非零常数) ； ； 。 故答案为： （25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. （25-26高三上·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 【题型6：求等差数列前n项和的最值】 【解题策略】 答题模板：方法一函数法：1.转化为二次函数形式：（，）；2.分析二次函数单调性：①若（），抛物线开口向上，有最小值，最小值对应对称轴附近的正整数；②若（），抛物线开口向下，有最大值，最大值对应对称轴附近的正整数；3.确定最值对应的：若对称轴是正整数，则该对应的即为最值；若不是正整数，取距离对称轴最近的两个正整数，分别计算并比较大小，得出最值；4.计算最值：将确定的代入表达式，求出最值. 方法二临界项法：1.分析数列项的正负性：①求最大值（，数列递减）：找到最后一个正项（或非负项）对应的，即解不等式组；②求最小值（，数列递增）：找到最后一个负项（或非正项）对应的，即解不等式组；2.确定最值对应的：解出不等式组的正整数解，该对应的即为最值；3.计算最值：代入公式计算，若不等式组无整数解，说明最值在处. 名师点评：求最值是高频考点，两种方法各有优势：函数法适用于已知和，可快速转化为二次函数的情况，核心是注意为正整数的限制；临界项法更直观，核心是找到正负项的分界点，避免二次函数配方的繁琐运算。解题时可根据已知条件灵活选择方法，若数列项的正负性易判断，优先用临界项法. （25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B．30 C． D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． （24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，；小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. （2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ．小试牛刀2 【答案】14或15 【分析】方法1：根据等差数列的前项和公式将展开，判断公差的正负，然后解不等式组即可求得结果；方法2：根据等差数列的前项和公式将展开，得到，然后代入中得到关于n的二次函数，进而可求得结果. 【详解】方法1： 由，得，即． 由可知，解不等式组 即得． 又，故当或时，最大． 方法2：由，可得，所以． 由并结合对应的二次函数的图象知，当或时，最大． 方法3：由，得，即． 由可知，故当或时，最大． 故答案为：14或15. （2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，求得，再由恒成立的不等式建立不等式组求解. 【详解】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得 . 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 【题型7：特殊和性质的应用（、且）】 【解题策略】 答题模板：1.识别特殊条件类型：①若（）：直接应用结论；推导思路：由，可得，化简得，因，故，则；②若且（）：应用结论；推导思路：列出方程组，两式相减化简得，则；2.代入结论求解：根据题目条件，直接代入对应结论求出或其他未知量；3.验证推导：若题目要求证明结论，可按照上述推导思路展开，核心是利用的二次函数性质化简方程组. 名师点评：该题型属于创新综合题型，核心是掌握的二次函数本质，避免盲目求解和。记住核心结论可快速解题，但需理解结论的推导过程，避免在需要证明的题目中直接套用结论。解题时注意的条件是结论成立的前提. （2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ）经典例题例题 A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 【多选题】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ）小试牛刀1 A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 【多选题】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀2 A． B．当时，的最大值为或 C． D．当时， 【答案】ABD 【分析】由及前n项和公式可得，对于A，由即可判断；对于B，当时，数列单调递减，又，可知在或时取得最大值，即可判断，对于C，由即可判断，对于D，由，可得． 【详解】根据题意可得， 即． 对于A， ； 对于B，， ，，等差数列单调递减， 当时，的最大值为或，故B正确； 对于C，，且公差不为0， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确． 故选：ABD． 【多选题】（25-26高三上·河北·期中）设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的前项和的性质和等差中项的性质，结合已知条件，分析出数列的首项、公差以及特定项的值，逐一分析各选项即可. 【详解】对于AB：因为存在最小值，且，所以，，故AB正确； 对于C：因为， 所以，所以，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：ABD. 【题型8：数列{}的相关问题】 【解题策略】 答题模板：1.明确核心性质：若{}是等差数列，则数列{}也是等差数列，其首项为，公差为；反之，若{}是等差数列，则{}也是等差数列（充要条件）；2.转化问题：将关于{}的问题（如求通项、公差、前k项和）转化为等差数列的常规问题；3.求解计算：利用等差数列的通项公式或前k项和公式，代入{}的首项和公差，求出未知量；4.还原结论：将{}的求解结果还原为关于{}或的结论. 名师点评：该题型是等差数列前n项和的拓展题型，核心是掌握{}与{}的等差关系。解题时可先证明{}是等差数列（利用等差数列的定义），再转化为常规题型求解，避免直接处理 （2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ）经典例题例题 A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. （24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. （24-25高二上·山西晋城·月考）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 .小试牛刀2 【答案】70 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 （24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【分析】第n环天石心块数为，上层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进而求得答案. 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高一上·重庆·期末）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 【答案】ABC 【分析】根据已知条件可得是以为首项，为公差的等差数列，利用通项公式求出，，根据二次函数性质可判断选项B，利用与的关系可求得，即可判断选项A，根据等差数列前项和的公式和性质即可判断选项CD. 【详解】由，， 可得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 对于函数，开口向下，其对称轴为， 所以对于，当或时，取得最大值，B正确； 则 ， 又，符合上式， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 所以，，成等差数列， 又，， 所以， 所以，，成等差数列，且公差为，D错； 又当时，， 所以数列的前项和是 ， 又，， 所以数列的前项和为，C正确. 故选：ABC 6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 7．（24-25高二上·天津滨海新·期末）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 【答案】AC 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 8．（23-24高三上·江苏镇江·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为 ， ， 当时，有， 得 ， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据 ， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 【答案】 【分析】由等差数列性质得到 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 12．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·山西太原·月考）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质得，再利用等差中项有，最后利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】正项等差数列中，， . 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知为等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. 【答案】(1)； (2)1670. 【分析】（1）应用等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）知时，时，再应用分组求和及等差数列的前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即，解得， 所以. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，则；当时，，则； 所以 . 16．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 17．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本量计算可得，即可写出通项公式； （2）根据等差数列前项和公式得，由可得关于的不等式，解不等式即可得出结论. 【详解】（1）因为数列是公差为3的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， 由得， 整理得，解得， 由于，所以的最大值为5． 18．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解； （2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【第24讲：等差数列的前N项和及其性质】 总览 题型梳理 一、教材基础知识全梳理 （一）核心定义与求和公式 1.等差数列前n项和的定义：设等差数列{}的首项为，公差为，其前n项和表示数列前n项的累加和，即. 2.两大核心求和公式（网络名师高频强调，必考基础）： （1）公式一： 推导方法：倒序相加法（核心推导思路，需理解记忆）. 推导过程：设①；将其倒序可得②；①+②得，故. 适用场景：已知首项、末项和项数n时，优先选用. （2）公式二： 推导方法：代入转化法（由通项公式代入公式一推导得出）. 适用场景：已知首项、公差和项数n时，优先选用. 3.公式的统一转化：将代入公式一，可直接得到公式二，两大公式本质等价，共涉及、、n、、五个量，已知任意三个量可通过解方程组求出其余两个（“知三求二”核心思想，网络名师高频强调）. （二）前n项和的函数特征 1.公式的函数转化：将整理可得，令，，则（A、B为常数）. 2.不同公差下的函数性质： （1）当时（常数列）：，，是关于n的一次函数，其图象是直线上横坐标为正整数的孤立点； （2）当时：，是关于n的常数项为0的二次函数，其图象是抛物线上横坐标为正整数的孤立点，抛物线开口方向由决定：时开口向上，有最小值；时开口向下，有最大值. （三）前n项和的核心性质（网络名师教学重点，解题高频工具） 1.片段和性质：等差数列中，连续相等项数的和仍成等差数列，即，，，…成等差数列，且新公差为（m为连续项数）. 2.奇偶项和性质：设为前n项中奇数项的和，为偶数项的和： （1）若项数n为偶数（）：，，； （2）若项数n为奇数（）：（为中间项），，. 3.前n项和与通项的关系：（），（注意时的验证，避免漏解）. 4.比值性质：若两个等差数列{}、{}的前n项和分别为、，则（核心二级结论，网络名师高频推荐）. 5.特殊和性质：若（），则；若，（），则. 6.数列{}的性质：若{}是等差数列，则数列{}也是等差数列，其首项为，公差为. 二、易错辨析（大数据统计网络名师高频纠错点） （一）公式使用误区 1.易错点1：混淆求和公式的适用场景，盲目代入导致计算复杂. 辨析：已知、、n用更简便；已知、、n用更直接，优先结合等差数列性质（如）简化计算. 2.易错点2：忽略“知三求二”中方程组的整体代换思想，强行求解单个量导致运算繁琐. 辨析：当已知条件不足直接求、时，可通过整体代换（如、）求解，避免冗余计算. （二）函数特征理解偏差 1.易错点1：认为“等差数列前n项和一定是二次函数”. 辨析：当（常数列）时，是一次函数，只有时，才是常数项为0的二次函数；反之，若数列前n项和（），则该数列不是等差数列（首项后的项成等差，首项不满足）. 2.易错点2：求最值时，忽略n为正整数的限制，直接取二次函数对称轴的横坐标. 辨析：二次函数对称轴为，若对称轴不是正整数，需取距离对称轴最近的正整数作为n；若对称轴是正整数，则该n对应的即为最值. （三）性质应用错误 1.易错点1：片段和性质中，误将“，，”当作等差数列. 辨析：正确结论是“，，”成等差数列，新公差为，而非原公差. 2.易错点2：使用时，未验证的情况，导致通项公式不完整. 辨析：与的关系需分（）和（）两步推导，最终需验证时是否满足的表达式，再统一通项. 3.易错点3：奇偶项和性质中，混淆项数为奇数和偶数时的结论. 辨析：项数为奇数时，中间项是关键（）；项数为偶数时，差值为（k为项数的一半），需先判断项数奇偶性再代入性质. 三、概念比较（明晰易混淆概念） （一）等差数列通项公式与前n项和公式的函数差异 对比维度 通项公式 前n项和公式 函数类型 时为常数函数，时为一次函数（） 时为一次函数，时为常数项为0的二次函数（） 图象特征 直线上的孤立点 抛物线（）或直线（）上的孤立点 核心参数 首项、公差 首项、公差、项数n （二）等差数列前n项和与一般数列前n项和的区别 1.等差数列前n项和：具有明确的函数形式（），且满足片段和、奇偶项和等特殊性质，可通过“知三求二”快速求解. 2.一般数列前n项和：无固定函数形式，不具备等差数列的特殊性质，求解需结合数列通项特征（如分组求和、裂项相消等），且与的关系（，）适用于所有数列，但需验证. 四、重点内容记忆+常考结论（网络名师提炼高频考点） （一）必背重点内容 1.两大求和公式： （1）（倒序相加法推导，核心记忆）； （2）（代入转化推导，灵活应用）. 2.核心思想：“知三求二”（五个量、、n、、的关联求解）、整体代换（简化运算的关键）. 3.函数特征核心：时是常数项为0的二次函数，时是一次函数；最值由的符号和n的正整数性决定. 4.关键性质：片段和成等差（新公差）、奇偶项和性质（分奇偶项数）、. （二）常考结论（直接应用可提速解题） 1.若等差数列{}的前n项和为，且（），则当时（为偶数），取得最值；若为奇数，则时，取得最值. 2.等差数列中，若，，则的最大值出现在最后一个正项对应的n；若，$d>0$，则的最小值出现在最后一个负项对应的n（可通过解不等式组或求解n）. 3.若数列{}是等差数列，则原数列{}一定是等差数列（充要条件）. 4.等差数列前n项和的最值计算两种快捷方法： （1）函数法：对配方，结合求最值； （2）临界项法：找到正负项的分界点n，在该n处取得最值. 5.片段和拓展：（可由求和公式推导，直接应用于含m、n的和的求解）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：“知三求二”基本量计算】 【解题策略】 答题模板：1.定位已知量：明确题目给出的等差数列五个核心量（、、、、）中的三个；2.精准选公式：①已知、、，选用；②已知、、，选用；3.建立方程求解：将已知量代入公式，通过解方程或方程组得出未知量；4.验证结果：将求得的量代入通项公式或求和公式，验证计算准确性. 名师点评：该题型是等差数列前n项和的基础核心题型，解题关键在于熟练掌握“知三求二”的核心思想。无需盲目求解单个量，遇到多条件时可采用整体代换（如、）简化运算，减少计算失误，提升解题效率. （25-26高二上·云南曲靖·月考）已知是等差数列的前项和，，则 ．经典例题例题 （25-26高二上·福建厦门·月考）等差数列的前项和为，且满足，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·福建龙岩·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ）小试牛刀2 A．27 B．28 C．29 D．30 （2025·四川遂宁·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由前n项和求通项】 【解题策略】 答题模板：1.求首项：当时，，直接代入表达式计算；2.求时的通项：利用关系式，代入和的表达式，化简得出通项形式；3.验证连续性：将代入时的通项表达式，若满足则统一写出通项公式，不满足则分段表示（）；4.确认等差数列属性：验证化简后的通项是否符合的一次函数形式. 名师点评：该题型的高频易错点是忽略的验证步骤，导致通项公式不完整。需注意：若为（常数项为0的二次函数），则对应的数列一定是等差数列，可直接通过、快速求解通项. 【多选题】（25-26高三上·云南昆明·月考）已知数列的前n项和，当时，，则（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为 ．小试牛刀1 （24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．小试牛刀2 （24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 小试牛刀3 【题型3：片段和性质的应用】 【解题策略】 答题模板：1.识别片段和特征：明确题目中“连续相等项数的和”，确定连续项数，区分、、等片段和；2.应用核心性质：等差数列的片段和、、、…仍成等差数列，且新公差为，核心关系式为；3.代入求解：将已知的片段和代入性质关系式，解出未知的片段和或原数列的、；4.拓展延伸：若需求（为正整数），可通过累加对应片段和得出结果. 名师点评：该题型的关键是准确记忆片段和的性质，避免误将、、直接当作等差数列。解题时可先标注各片段和对应的项数范围，再代入性质公式，同时注意新公差与原公差的区别（新公差为），减少性质应用错误. （25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）经典例题例题 A． B． C． D．与有关 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）小试牛刀1 A．51 B．57 C．63 D．66 （25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 .小试牛刀3 【题型4：奇偶项和性质的应用】 【解题策略】 答题模板：1.判断项数奇偶性：先确定数列前项的项数是奇数（，为正整数）还是偶数（）；2.代入对应性质公式：①项数为偶数（）：、、；②项数为奇数（）：（为中间项）、、；3.结合已知条件求解：将题目中的已知量（如、、、）代入公式，解出未知量；4.验证合理性：根据数列的单调性或公差符号，验证结果是否符合实际意义. 名师点评：该题型的核心是“先判奇偶，再用性质”，易错点是混淆奇偶项数对应的性质公式。解题时可先通过项数的奇偶性确定中间项（若存在），再结合性质公式求解，中间项是项数为奇数时的解题关键，可快速关联与通项的关系. （25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ．经典例题例题 （25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ）小试牛刀1 A．10 B．19 C．21 D．29 （25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ）小试牛刀3 A．31 B．30 C．29 D．28 【题型5：比值性质的应用（两等差数列前n项和之比）】 【解题策略】 答题模板：1.明确已知条件：确定两个等差数列{}、{}的前项和分别为、，明确题目给出的的表达式或相关条件；2.应用核心比值性质：若求，直接套用结论；若求（），先分别求出、，再计算比值；3.代入化简：将、的表达式代入比值，化简得出结果；4.验证特殊值：可代入、等特殊值，验证比值结果的正确性. 名师点评：该题型是等差数列性质的高频综合题型，核心结论的推导基础是“等差数列前项和与中间项的关系”（）。解题时无需分别求两个数列的和，直接利用比值性质可大幅简化运算，避免复杂方程组求解. （25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·福建泉州·月考）已知等差数列､的前项和分别为､，若，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山东·开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型6：求等差数列前n项和的最值】 【解题策略】 答题模板：方法一函数法：1.转化为二次函数形式：（，）；2.分析二次函数单调性：①若（），抛物线开口向上，有最小值，最小值对应对称轴附近的正整数；②若（），抛物线开口向下，有最大值，最大值对应对称轴附近的正整数；3.确定最值对应的：若对称轴是正整数，则该对应的即为最值；若不是正整数，取距离对称轴最近的两个正整数，分别计算并比较大小，得出最值；4.计算最值：将确定的代入表达式，求出最值. 方法二临界项法：1.分析数列项的正负性：①求最大值（，数列递减）：找到最后一个正项（或非负项）对应的，即解不等式组；②求最小值（，数列递增）：找到最后一个负项（或非正项）对应的，即解不等式组；2.确定最值对应的：解出不等式组的正整数解，该对应的即为最值；3.计算最值：代入公式计算，若不等式组无整数解，说明最值在处. 名师点评：求最值是高频考点，两种方法各有优势：函数法适用于已知和，可快速转化为二次函数的情况，核心是注意为正整数的限制；临界项法更直观，核心是找到正负项的分界点，避免二次函数配方的繁琐运算。解题时可根据已知条件灵活选择方法，若数列项的正负性易判断，优先用临界项法. （25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ）经典例题例题 A． B．30 C． D．18 （24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，；小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. （2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ．小试牛刀2 （2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ．小试牛刀3 【题型7：特殊和性质的应用（、且）】 【解题策略】 答题模板：1.识别特殊条件类型：①若（）：直接应用结论；推导思路：由，可得，化简得，因，故，则；②若且（）：应用结论；推导思路：列出方程组，两式相减化简得，则；2.代入结论求解：根据题目条件，直接代入对应结论求出或其他未知量；3.验证推导：若题目要求证明结论，可按照上述推导思路展开，核心是利用的二次函数性质化简方程组. 名师点评：该题型属于创新综合题型，核心是掌握的二次函数本质，避免盲目求解和。记住核心结论可快速解题，但需理解结论的推导过程，避免在需要证明的题目中直接套用结论。解题时注意的条件是结论成立的前提. （2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ）经典例题例题 A．12 B．13 C．14 D．25 【多选题】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ）小试牛刀1 A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【多选题】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ）小试牛刀2 A． B．当时，的最大值为或 C． D．当时， 【多选题】（25-26高三上·河北·期中）设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：数列{}的相关问题】 【解题策略】 答题模板：1.明确核心性质：若{}是等差数列，则数列{}也是等差数列，其首项为，公差为；反之，若{}是等差数列，则{}也是等差数列（充要条件）；2.转化问题：将关于{}的问题（如求通项、公差、前k项和）转化为等差数列的常规问题；3.求解计算：利用等差数列的通项公式或前k项和公式，代入{}的首项和公差，求出未知量；4.还原结论：将{}的求解结果还原为关于{}或的结论. 名师点评：该题型是等差数列前n项和的拓展题型，核心是掌握{}与{}的等差关系。解题时可先证明{}是等差数列（利用等差数列的定义），再转化为常规题型求解，避免直接处理 （2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ）经典例题例题 A．49 B．50 C．51 D．52 （24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 .小试牛刀1 （24-25高二上·山西晋城·月考）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 .小试牛刀2 （24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ）小试牛刀3 A．1 B．2 C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为（    ） A．5 B．4 C．3 D． 3．（24-25高二下·陕西渭南·期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 5．（24-25高一上·重庆·期末）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 6．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 7．（24-25高二上·天津滨海新·期末）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 8．（23-24高三上·江苏镇江·月考）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 10．（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 12．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 13．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 14．（24-25高二上·山西太原·月考）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为 . 四、解答题 15．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知为等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. 16．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 17．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知数列是公差为3的等差数列，满足． (1)求的通项公式； (2)设的前项和为，若，求的最大值． 18．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $