专题05 一元一次方程（期末复习课件，知识必备+21大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材人教版

这是一份初中数学七年级上学期期末复习课件，聚焦一元一次方程专题，包含考情分析、必备知识梳理（概念、性质、解法）、重难点题型突破（方程定义、解、参数问题等）及分层验收练习，为学生提供系统复习的学习支架。 资料特色突出，融合新课标核心素养，通过配套问题、行程问题等实际情境引导学生用数学眼光观察现实世界，借助解题步骤推理培养数学思维，以方程模型解决实际问题提升数学语言表达能力。典例与变式结合，分层练习助力巩固，能帮助学生夯实基础，也为教师教学提供系统资源。七年级学生需适应初中学习节奏，此资料可助其巩固知识，培养逻辑思维与应用能力。

专题05 一元一次方程 七年级数学上学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 知识点01 一元一次方程的相关概念 只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的概念： 解方程： 求方程的解得过程叫做解方程. 一元一次方程的标准形式： ax+b=0（a、b是常数，且a≠0） 方程的解： 能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 【易错易混】 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 1） 3） 2） 方程的解是通过解方程求得的. 方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点02 等式的性质 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 等式的性质1： 等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 即：如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2： 等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即：如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3： 如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4： 如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 知识点03 一元一次方程的解法 通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x = . 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 基本思路： 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】 知识点05 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 审 设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量 设 根据题中相等关系，列出方程； 列 解所列出的方程； 解 检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 验 写出答案，包括单位 答 8 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 易｜错｜点｜拨 题型一 方程的定义 1．方程：含有未知数的等式叫作方程； 2．方程必备的两个条件： ①是等式；②含有未知数； 3．方程一定是等式，等式不一定是方程. 题型一 方程的定义 【典例1】（24-25七年级下•福建泉州•期末）下列选项中，是方程的是（ ） A． B． C． D． 解：A、 是方程，故此选项符合题意； B、是代数式，不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C、 是等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、表示不等关系，不是方程，故此选项不符合题意． A 题型一 方程的定义 【变式1】（24-25七年级上•河北邯郸•期末） 在① ； ② ； ③； ④ ； ⑤ 中， 方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解： ① ，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ② ，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④ ，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤ ，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； C 易｜错｜点｜拨 题型二 方 程 的 解 1．方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2．方程的解是通过解方程求得的. 3．方程的解可能不止一个 4．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 题型二 方程的解 【典例1】（24-25七年级下•山西临汾•期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（ ） 2 3 解：原方程 可化简为 ，解得 （ ）． 当 时， ，与 一致，正确． 当 时， ，但表中 ，矛盾，错误． 当时， ，与 一致，正确． 当时，，与 一致，正确． 综上，错误的解为选项B． B 题型二 方程的解 【变式1】（24-25七年级上•辽宁大连•期末）下列方程中，解为 的是（ ） A． B． C． D． 解： A.将 代入的左边和右边， 得左边 ， 右 ，∵左边 右边， ∴不是方程的解， ∴A不符合题意； B B.将代入的左边和右边，得左边， 右边， ∵左边 右边， ∴是方程 的解， ∴B符合题意； C.将 代入 的左边和右边 得左边 ， 右边 ， ∵左边 右边， ∴ 不是方程 的解， ∴C不符合题意； D.将 代入 的左边和右边， 得左边 ， 右边 ， ∵左边 右边， ∴不是方程 的解， ∴D不符合题意； 15 题型二 方程的解 【变式2】（24-25八年级下·上海青浦·期末）如果关于x 的方程 ax=b无解，那么实数a 、 b满足的条件是 ． 方程无解，可得系数为零，常数不为零 解：当时， 方程的左边=0 ，方程的右边≠0 ， ∴关于x的方程ax = b 无解． 易｜错｜点｜拨 题型三 已知方程的解求参数 要将方程的解代入原方程，再求出参数的值； 【典例1】（24-25九年级上•广东惠州•期末）若 是方程 的解，则的值为（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 题型一 已知方程的解求参数 解：∵ 是方程 的解， 可得： ， ∴ ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为 1得：． A 题型一 已知方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级上•陕西安康•期末）已知 是关于x的方程的解，那么a的值为（ ） A． B．2 C． D． 解：把代入关于x的方程 得： ， D 【变式2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知x=-2 是关于x 的方程a(x+3) =a+x的解，求 的值． 题型一 已知方程的解求参数 解：把 x=-2 代入方程a(x+3) =a+x 得： (-2+3) a =a － 2， 解得：a =， ∴ 易｜错｜点｜拨 题型四 一元一次方程的概念 1、一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 2、一个方程须同时满足： ①只含有一个未知数； ②未知数的次数都是1； ③等号两边都是整式， 这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 题型四 一元一次方程的概念 【典例1】（24-25七年级上•海南省直辖县级单位•期末）下列属于一元一次方程的是（　 ） A． B． 2𝑥+6=7 C． D． 解： A． 含有2个未知数，不是一元一次方程； B． 2𝑥+6=7是一元一次方程； C． 等号左边不是整式，不是一元一次方程； D． 未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； B 题型四 一元一次方程的概念 【变式1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末） 方程 是一元一次方程，则 的值为（ ） A．8 B．8 C． 16 D．16 解： 是关于x的一元一次方程， ． D 易｜错｜点｜拨 题型五 一元一次方程的解 将解代入原一元一次方程中，可得到原方程是成立的，一定要检验答案的正确性； 题型五 一元一次方程的解 【典例1】（24-25七年级上•陕西延安•期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 （ ） A． x ＝3 B． x ＝ 2 C． x ＝－1 D． x ＝ －2 解：∵ 是关于x的一元一次方程， ∴ ，解得 ， ∴原方程可化为 ，解方程得 ； B 题型五 一元一次方程的解 【变式1】（24-25七年级上•山西太原•期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程 的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 解： 由表可知： ， 题型五 一元一次方程的解 【变式2】若 是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． （1）解：∵ 是关于的一元一次方程， ∴ 且， 解得： ，则这个一元一次方程为 ． （2）解：把 代入 ， 得 ，故 是方程的解． 易｜错｜点｜拨 题型六 等式的性质 1、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 2、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若a=b，b=c，则 a=c，； （2）等式的对称性：若a=b，则b=a. 题型六 等式的性质 【典例1】（25-26七年级上•全国•期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解： A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去， 得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘， 得，此选项不符合题意； C、若，≠0 ，根据等式性质2，等式两边同时除以 ， 得 ，此选项不符合题意； D、若，当=0时，等式两边不能同时除以， 此时不一定等于，此选项符合题意； D 题型六 等式的性质 【变式1】（24-25七年级上•浙江台州•期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … －1 0 1 2 ．．． … －8 －2 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 解：因为， 从表格中可知当 时， ， 此时， 即当 时， ， ∴关于的方程 的解为． 30 易｜错｜点｜拨 题型七 解一元一次方程 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 题型七 解一元一次方程 【典例1】（24-25七年级下•全国•期末） 如果 是方程 的解，则 ． 解：把 代入方程 ， 得： ， 解得： ． 题型七 解一元一次方程 【变式1】（25-26七年级上•贵州•期末）解方程： (1) ； (2) ． （2）解： 去分母，得 ： ． 去括号，得： ． 移项，得 ． 合并同类项，得： ． 方程的两边都除以 ，得： （1）解： 移项，得： ． 合并同类项，得 ： ． 方程的两边都除以 ， 得： 题型七 解一元一次方程 【变式2】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1) (2) （1）解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）解：整理得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 去分母得： 34 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【典例1】（24-25七年级上•陕西西安•期末）若关于的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数的和为（ ）． A．10 B．-4 C．4 D．6 D 解：整理方程得： ， ∵方程的解为整数， ∴为整数， ∴是4的因数 ∵4的因数有 ， ∴当时， ； 当时，； 当时， ， 当 时， ； 当时， ； 满足条件的整数， ． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”． 例如： 的解为： ， 的解为 ， 所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是 ，则关于y的一元一次方程 的解是 ； ②若关于x的一元一次方程 与 互为“阳光方程”， 则关于y的一元一次方程 的解是 ． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 （1）解：关于x的一元一次方程 的解为： ， 方程 的解为： ， ∵关于x的一元一次方程与 是“阳光方程”， ∴ 解得： ； 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”． 例如： 的解为： ， 的解为 ， 所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”． (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程 的解是 ， 则关于y的一元一次方程 的解是 ； （ 2）解：①∵关于x的一元一次方程 的解是， ∵ ∴，解得： ， ∴关于y的一元一次方程 的解是：； ∴ 38 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级上•辽宁沈阳•期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”． (2)直接填空： ②若关于x的一元一次方程 与 互为“阳光方程”， 则关于y的一元一次方程 的解是 ． ② ，∴ ，∴， ∵关于x的一元一次方程 与 互为“阳光方程”， ∴方程的解为： ， 解得： ． 39 题型九 一元一次方程解的关系 【典例1】（24-25七年级上•江西南昌•期末） 已知关于x的一元一次方程 的解为， 那么关于y的一元一次方程 的解为（ ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 解：对于方程 ， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为 ∴ ． ∵ ， ∴ ． B 题型九 一元一次方程解的关系 【变式1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的所有解的其中一个解，且 ， 满足 ，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”． 例如：一元一次方程 的解是 ，方程 的所有解是 或，当 时， ，以 为一元一次方程 的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：① ，② ，以上哪个方程是一元一次方程 的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程 是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出 的值． 【变式1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的所有解的其中一个解，且 ， 满足 ，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”． 例如：一元一次方程 的解是 ，方程 的所有解是 或，当 时， ，以 为一元一次方程 的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：① ，② ，以上哪个方程是一元一次方程 的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． 题型九 一元一次方程解的关系 （1）解：一元一次方程的解是 ， 方程 的解是， ∵ ， ∴ ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程 的解是 或 ， 当 时， ，②是“景元方程”，符合题意 ② 【变式1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的所有解的其中一个解，且 ， 满足 ，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”． (2)若关于y的方程 是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； 题型九 一元一次方程解的关系 （2）解： ∵方程 ， 即 或 ， 解得 或 ， ∴方程 的解为: 或 ， 一元一次方程 的解为: ， 若 ， ， 则， 解得 ， 若 ， 则 ， 解得 ， 综上，a的值是95或97； 【变式1】（24-25七年级上•湖南株洲•期末）新定义：若 是关于x的一元一次方程的解， 是关于y的所有解的其中一个解，且 ， 满足 ，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”． (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出 的值． 题型九 一元一次方程解的关系 （3）解：方程， 解得 ， ∵ ， 分母m不能为0， ∴，即 ， ，∴ 易｜错｜点｜拨 题型十 绝对值方程 解绝对值方程时，要注意去绝对值符号有两种情况，要进行分类讨论； 题型十 绝对值方程 【典例1】（24-25七年级上•山东滨州•期末） 解方程： ． 解：①当 时，解得； ②当 时，解得 ． 所以原方程的解是 或． (1)解方程： ； (2)解方程： ； (3)探究：当b分别为何值时,方程 ， ①无解； ②只有一个解； ③有两个解． 解：（1） ， 解得: 或 ； （2） ， 或 ， 解方程:， 得: ， 解方程: ， 得: ， ∴原方程的解为或； 题型十 绝对值方程 【典例1】（24-25七年级上•山东滨州•期末） 解方程： ． 解：①当 时，解得； ②当 时，解得 ． 所以原方程的解是 或． (1)解方程： ； (2)解方程： ； (3)探究：当b分别为何值时,方程 ， ①无解； ②只有一个解； ③有两个解． 解：（3）∵ ， ∴当 时，方程无解； 当 时，方程只有一个解； 解得： 当时，方程有两个解． 解得：或 题型十 绝对值方程 【变式1】（24-25七年级上•湖北武汉•期末）对于任意有理数，规定： 当 时， ；当时，． (1)填空： ______， ______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数 ，且异号，满足 ， 请直接写出之间可能存在的数量关系：______． （1）解：由题意得： ． 4 1 （2） ∵ ， ∴当 时，即 ， ∴ ， 解得： ， 当 ，则， ∴ ， 解得：（ 不符合题意） 综上， 或－2； 题型十 绝对值方程 【变式1】（24-25七年级上•湖北武汉•期末）对于任意有理数，规定： 当 时， ；当时，． (3)若两个有理数 ，且异号，满足 ， 请直接写出之间可能存在的数量关系： ． （3） 异号， 或 ， 当 时， 两个有理数 ， 满足 ， ， 若 时， 则 ， ， ； 若 时，则 ， ， （ 不符合题意舍去） 当 时 两个有理数 ，满足 ， ， 若 时，， ； 若 时， ，（不符合题意舍去） 综上： ． 49 易｜错｜点｜拨 题型十一 配套问题 寻找相等关系的方法： 抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 题型十一 配套问题 【典例1】（24-25七年级上•广东广州•期末）某班共有学生 48人，其中男生人数比女生人数的2 倍少9 人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13 个或盒底22 个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． （1）解：设该班女生的人数为x ，则男生的人数为 人， 由题意得： ， 解得： ， 答：该班女生的人数为 19； 题型十一 配套问题 【典例1】（24-25七年级上•广东广州•期末）某班共有学生 48人，其中男生人数比女生人数的2 倍少9 人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身13 个或盒底22 个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2 个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． （2）设有名男生去支援女生，由（1）可知， 男生人数为 （人）， 由题意得： ， 解得： ， 答：有3 名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 研究方法： 如图2，每张白板纸有 ①，② ，③ 三种剪裁方法， 其中第 ①种裁法：得到2个侧面与4个底面； 第② 种裁法：得到4个侧面； 第③ 种裁法：得到3个侧面与2个底面． 问题解决： 数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法 ①裁剪的白板纸有a张，按裁法 ②裁剪的白板纸有b张． (1)按第 ③种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； 题型十一 配套问题 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 题型十一 配套问题   裁法 ① 裁法 ② 裁法③ 侧面个数 2a ______ ______ 底面个数 4a ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： ①当 b=2a时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ ②小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法 ①和裁法 ③都至少需要裁5刀，裁法 ②至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． (2)用含a，b的代数式填表： 题型十一 配套问题 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 问题解决： 数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法 ①裁剪的白板纸有a张，按裁法 ②裁剪的白板纸有b张． (1)按第 ③种方法裁剪的白板纸有 张（用含a，b的式子表示） （1）解：根据题意可得第③种方法裁剪的白板纸： ， 题型十一 配套问题 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． （2）解：根据题意可得， 裁法②侧面个数为4b ，底面个数为0， 裁法③侧面个数为， 底面个数为 ；   裁法 ① 裁法 ② 裁法③ 侧面个数 2a ______ ______ 底面个数 4a ______ ______ (2)用含a，b的代数式填表： 4b 0 题型十一 配套问题 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： ①当 b=2a时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 解：①侧面数共有： 个， 底面数共有： 个， 侧面和底面恰好配套， ， 解得： ， ， 答：按裁法①裁20张，按裁法②裁40张，按裁法③裁40张； 题型十一 配套问题 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： ②小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法 ①和裁法 ③都至少需要裁5刀，裁法 ②至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 解：②由侧面和底面恰好配套可知， ， 整理可得，又根据题意可知， 易｜错｜点｜拨 工 程 问 题 题型十二 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【典例1】（24-25七年级上•甘肃武威•期末）某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果由两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？ 解：设要x天可以铺好，依题意，得 解得： 答：要 天可以铺好． 工 程 问 题 题型十二 题型十二 工 程 问 题 【变式1】（24-25七年级上•甘肃平凉•期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ （1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得， ， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解：设甲工程队施工了y周，由题意得， ， 解得： ， 答：甲工程队施工了1周． 易｜错｜点｜拨 1、利润率=利润÷进价×100% 2、标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 3、实际售价＝标价×打折率 4、利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 题型十三 销售盈亏问题 题型十三 销售盈亏问题 【典例1】（24-25七年级上•辽宁铁岭•期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ （1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是 （元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得： ， 解得 ， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 题型十三 销售盈亏问题 【变式1】（25-26七年级上•全国•期末）在国画技法学习活动上，学校以班级为单位提前购买了一批宣纸，毛笔，墨棒，砚台等绘画工具．以下是七年级申请报销时各班班长收集到的素材，请结合素材回答问题： 七年级（1）班购买墨棒和砚台共100个，每名学生领2个墨棒，每两名学生共领1个砚台，正好领完． 素材二：七年级（3）班购买的宣纸和毛笔的数量之和为145． 素材三：年级主任在打印订单时，打印机漏墨，墨水遮盖了部分数据，采购毛笔和宣纸的订单如表： 【问题解决】 问题一：七年级（1）班共有多少名学生？ 问题二：七年级（3）班购买了宣纸和毛笔各多少？ 题型十三 销售盈亏问题 【变式1】（25-26七年级上•全国•期末）在国画技法学习活动上，学校以班级为单位提前购买了一批宣纸，毛笔，墨棒，砚台等绘画工具．以下是七年级申请报销时各班班长收集到的素材，请结合素材回答问题： 七年级（1）班购买墨棒和砚台共100个，每名学生领2个墨棒，每两名学生共领1个砚台，正好领完． 【问题解决】 问题一：七年级（1）班共有多少名学生？ 解：设七年级（1）班共有x名学生，则墨棒有 个，砚台有 个，根据题意得： ， 解得， 答：七年级（1）班共有40名学生； 题型十三 销售盈亏问题 【变式1】（25-26七年级上•全国•期末） 素材二：七年级（3）班购买的宣纸和毛笔的数量之和为145． 素材三：年级主任在打印订单时，打印机漏墨，墨水遮盖了部分数据，采购毛笔和宣纸的订单如表： 【问题解决】 问题二：七年级（3）班购买了宣纸和毛笔各多少？ 由素材二得，七年级（2）班比七年级（1）班多购买5张宣纸，多花费30元， （元/张）， 所以每张宣纸6元， 设每支毛笔a元，根据题意得： ， 解得：， 所以每支毛笔20元， 结合素材二，设七年级（3）班购买了毛笔m支， 则购买了宣纸 张， 根据题意得： ， 解得： ， （张）． 答：七年级（3）班购买了毛笔45支，宣纸100张． 题型十四 方案选择问题 【典例1】（25-26七年级上•北京•期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案， 方案一：每千克25元，由基地送货上门； 方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ （1）解：设食品加工厂购买 x千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得： ， 解得： ， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． 题型十四 方案选择问题 【典例1】（25-26七年级上•北京•期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案， 方案一：每千克25元，由基地送货上门； 方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ （2）解： 食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一： （元）， 方案二： （元） ∵ ， ∴方案二更省钱． 题型十四 方案选择问题 【变式1】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价成人：每张 35元 学生：按成人票五折优`6惠 团体票（ 16人以上含 16人）： 按成人票6折优惠 大人门票是每张35 元，学生门票是5折优惠，我们一共 12人，共需350 元 爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的 12个家长共20 人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． （1）解：设成人人数为x人，则学生人数为 人，由题中所给的票价单可得： ， 解得：， 学生人数为 人，成人人数为8人， 题型十四 方案选择问题 【变式1】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价成人：每张 35元 学生：按成人票五折优`6惠 团体票（ 16人以上含 16人）： 按成人票6折优惠 大人门票是每张35 元，学生门票是5折优惠，我们一共 12人，共需350 元 爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的 12个家长共20 人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． （2）解：如果买团体票，按 人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． 题型十四 方案选择问题 【变式1】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价成人：每张 35元 学生：按成人票五折优`6惠 团体票（ 16人以上含 16人）： 按成人票6折优惠 大人门票是每张35 元，学生门票是5折优惠，我们一共 12人，共需350 元 爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的 12个家长共20 人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用： （元）， ②若购买团体票，费用： （元）， ③20 人全部买团体票，费用： （元）， ∵ ， 最省的购票方案为：买 16人的团体票，再买4张学生票． 71 题型十五 几 何 问 题 【典例1】（24-25七年级上•江西抚州•期末）我们知道， 是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为 ． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b， 则a　 　 0，b　 　 0， 　 　 0； (2)若 ，则　 　 ； (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简： ． 题型十五 几 何 问 题 【典例1】（24-25七年级上•江西抚州•期末）我们知道， 是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为 ． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b， 则a　 　 0，b　 　 0， 　 　 0； （1）解：由数轴可知， ， ， (2)若 ，则　 　 ； （2）解： 表示到 2的距离， 表示到 的距离， 当时， 原式变形为 ， 解得 ， 或3． 当 时， 原式变形为 ， 该方程无解， 当时， 原式变形为， 解得 ， 综上所述 或3， 题型十五 几 何 问 题 解：由数轴可知 ∴ ∴ ． 【典例1】（24-25七年级上•江西抚州•期末）我们知道， 是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为 ． (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简： ． 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA 上运动，用含t的式子表示 AP、CQ ，并求当QA=AP 时t的值； (2)如图②，若点Q在线段CA 上运动，当t为何值时， 的面积等于 面积的 ； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA 上运动，用含t的式子表示 AP、CQ ，并求当QA=AP 时t的值； （1）解：点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动． ∴， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 即秒时，； 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (2)如图②，若点Q在线段CA 上运动，当t为何值时， 的面积等于 面积的 ； （2）解：当在线段上时， ， 则 ， ∵△的面积等于面积的 ， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 即秒时， △的面积等于△面积的 ； 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当 时， 在线段上运动，在线段上运动， ， 则， ， ， ∴ ， 解得； 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． ②当 时， 在线段上运动， 在线段上运动，， 则 ， ， ∴ ， 解得； 题型十五 几 何 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林长春•期末）如图，在 中， ，点P从点A开始以 的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以 的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． ③当 时，在线段上运动， 在线段上运动时， 则 ， ， ， 解得 ， 不合题意舍去 综上所述，为4或 时， ． 【典例1】（24-25七年级上•广东广州•期末）已知数轴上，点A表示的数是 ，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（ ） A． B． C． 或 8 D． 或 8 解： ∵点A表示的数是 ， 点B在点A的右侧8个单位长度处， ∴点B表示的数是 当运动时间为t秒时， 点M表示的数为 ， 点N表示的数为， 题型十六 动 点 问 题 解得： 或 ， ∴运动时间t的值为 或 8 根据题意得： ， 即 或 ， C 题型十六 动点问题 【变式1】（24-25七年级下•吉林四平•期末）如图，在中， ．点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，停止运动．点运动的时间为秒． (1)点返回点时，共耗时______秒； (2)当=5时，求的长； (3)求的面积（用含的代数式表示）； (4)当把周长分成相等的两部分时，直接写出的值． （1）解：点从点运动到点C 所需时间为 ： 秒， 点从点 C返回点所需时间为： 秒， （秒）， 即点返回点时，共耗时6秒； 6 （2）解：由（1）可知， 当 时，点正在由 C运动到， ； 题型十六 动 点 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林四平•期末）如图，在中， ．点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，停止运动．点运动的时间为秒． (3)求的面积（用含的代数式表示）； (4)当把周长分成相等的两部分时，直接写出的值． （3）解：当 时，点从点运动到点 C ，此时， 则 的面积 ； 当时，点从点C 返回点， 此时， 则 的面积 ； 综上可知，当 时， ； 当 时，； 题型十六 动 点 问 题 【变式1】（24-25七年级下•吉林四平•期末）如图，在中， ．点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，停止运动．点运动的时间为秒． (4)当把周长分成相等的两部分时，直接写出的值． （4）解：当把周长分成相等的两部分时， 则有， 当 时，点从点运动到点，此时， 则 ，解得； 当 时，点从点返回点，此时 ， 则 ，解得 ， 综上可知，当把周长分成相等的两部分时，的值为 或 ． 易｜错｜点｜拨 1基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． 2、寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 题型十七 和差倍分问题 题型十七 和差倍分问题 【典例1】（24-25七年级上•河北邢台•期末）一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工共同搬运298箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱．已知徒手搬运工每小时搬运x 箱货物． (1)用含x 的代数式表示叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数． (2)若他们仅用半小时就把这298箱货物全部搬运完毕，求两人每小时各搬运货物的箱数． 解：（1）∵徒手搬运工每小时搬运x 箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱， ∴叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数为： ； （2）根据题意得： ， 解得： ， ∴ ， 答：徒手搬运工每小时搬运96箱货物，叉车驾驶员每小时搬运500箱货物． 86 题型十七 和差倍分问题 【变式1】（24-25七年级上•重庆渝中•期末）某校七年级四班共有学生45 人，其中男生比女生人数的 多10 人．劳技课上，老师组织同学们自己动手制作便携式收纳盒，要求每名学生做盒身6 个或盒底8 个． (1)七年级四班男生和女生各多少人？ (2)原计划男生做盒身，女生做盒底，每个盒身匹配 2个盒底，那么同学们做出的盒身与盒底不能完全配套，老师决定调一部分男生去支援女生，使制作的盒身与盒底刚好配套．调去支援的男生有多少人？ （1）解：设女生人数为x人， 则男生人数为 人， 根据题意可得： ， 解得： ， ， 答：七年级四班有男生24人，女生21人． 题型十七 和差倍分问题 【变式1】（24-25七年级上•重庆渝中•期末）某校七年级四班共有学生45 人，其中男生比女生人数的 多10 人．劳技课上，老师组织同学们自己动手制作便携式收纳盒，要求每名学生做盒身6 个或盒底8 个． (1)七年级四班男生和女生各多少人？ (2)原计划男生做盒身，女生做盒底，每个盒身匹配 2个盒底，那么同学们做出的盒身与盒底不能完全配套，老师决定调一部分男生去支援女生，使制作的盒身与盒底刚好配套．调去支援的男生有多少人？ （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型十七 和差倍分问题 【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的 ，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的 ． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处 的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ （1）解： （人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； 题型十七 和差倍分问题 【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的 ，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的 ． (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ （2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； 题型十七 和差倍分问题 【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的 ，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的 ． (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处 的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人，由题意可得： 答：参加清冰雪劳动的居民有72人． 题型十八 水电费问题 【典例1】（25-26七年级上•甘肃•期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按 元缴纳；超过部分则按每度 元缴纳． (1)某户 月份用电 度，共交电费 元，求． （2）解：设6月份共用电x度，则 ， 解得： ， （元）， (2)若该户 6月份的电费平均每度 元，求 6月份共用电多少度？应交电费多少元？ （1）解：根据题意可得： 经验算：若，则 ， ∴ ，即有超过的部分， ∴ ， 解得： ； 答：月份共用电180度，应交电费108元． 题型十八 水电费问题 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示．   户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 题型十八 水电费问题 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示．   户年用水量/立方米 水价 （元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ （1）解：由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯， （元）， （2）解：设小亮家2023年共使用自来水立方米， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴小亮家的用水量在第二阶梯． 则 ， 解得 ， 答：小亮家2023年共使用自来水190立方米． 94 题型十八 水电费问题 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示．   户年用水量/立方米 水价 （元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? （3）解：因为2024年比2023年节约用水60立方米， 所以2024年用水130立方米， （元）， 答：小亮家2024年比2023年缴费金额少249元． 易｜错｜点｜拨 1、三个基本量间的关系：路程=速度×时间 2、基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发： 前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． 题型十九 行程问题 易｜错｜点｜拨 ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3、解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 题型十九 行程问题 题型十九 行程问题 【典例1】（24-25七年级上•浙江杭州•期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ （1）解：设乙的速度为 x，则甲的速度为， 根据题意得： ， 解得： ， ∴ ， 答：乙的速度为每分钟 米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得： ， 解得： 答：经过8 分钟两人恰好第五次相遇． 题型十九 行程问题 【变式1】（24-25七年级上•山西运城•期末）甲、乙两地相距 360千米，A 、B 两车分别从甲乙两地开出， A 车每小时行驶 72千米， B 车每小时行驶48 千米． (1)若两车相向而行， A车提前 1小时出发，求B 车出发后几小时两车相遇？ (2)若A 、 B两车同向而行， B车在前， A 车在后， A 车先行 2小时，求B 车出发几小时后两车相距24 千米？ （1）解：设 B车出发后 x 小时相遇由题意可得： 解得： 答： B 车出发后 小时相遇 （2）解：设B 车出发y 小时后两车相距24 千米 ① 解得：（小时） ② 解得： （小时） 答： B 车出发 8小时或 10小时后两车相距24 千米 题型十九 行程问题 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）小明、小亮两人相距5km ，小明先出发0.5h ，小亮再出发，小明在后，小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8km/h ，小亮的速度是 8km/h ，小明出发后几小时追上小亮？ 解：设小明出发后小时追上小亮，依题意得： ， 解得： ． 答：小明出发后 1小时追上小亮． 小明 小亮 相遇点 小明先出发0.5h 小明（-0.5）h走的路程 小亮（-0.5）h走的路程 题型二十 日 历 问 题 【典例1】（24-25七年级上•四川成都•期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． （1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是 ， ∴七个数的和是： ； 题型二十 日 历 问 题 【典例1】（24-25七年级上•四川成都•期末）如图是2023年一月份的日历： (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是，根据题意得： ， 解得 ， 此时最大的数是， 而日历中没有32， ∴ “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； 题型二十 日 历 问 题 【典例1】（24-25七年级上•四川成都•期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． （3）解： ∵ 年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， ∴当， 即 时，框出的七个数的和的最大， 最大为 ， 140 题型二十 日历问题           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【变式1】（24-25七年级上•贵州贵阳•期末）下表是某月的日历图． 如图所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为x (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由 104 题型二十 日历问题           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【变式1】（24-25七年级上•贵州贵阳•期末）下表是某月的日历图． (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由 （2）解：存在这样的x，使得 理由如下： 根据题意， ， ∵ ， ∴ ， 经检验， 符合题意， 此时 ， ∴a的值为11，b的值为18，c的值为 12． 解得， 105 题型二十 日历问题 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若a=6,，则d= ．若d= x ，则a= ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足a+c=5k(k为正整数 ) ，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． （1）解：根据题意得：若a=6 ， 则d=a+8=6+8=14 ， 若d= x ，则 a= x-8． 14 x-8 （2）解：小明的说法不对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得： a+b+c+d=107 ， 即a+a+1+a+2+ a+8=107， 解得： a=24 ， d=a+8=32＞31 ，不符合题意， 假设不成立，即小明的说法不对； 题型二十 日历问题 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若a=6,，则d= ．若d= x ，则a= ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足a+c=5k(k为正整数 ) ，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 14 x-8 （3）解：图中符合a+c=5k(k为正整数 ) 即 b-1+b+1=5k ,则b是5的倍数， 且不靠边的位置，则仅有3个“T ”字形框， 其中d 的值分别为17，22，27， 17+22+27=66． 66 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上•山西朔州•期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程 的解为___ ，方程的解为___，故这两个方程为“美好方程”． ▲ ■ 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上•山西朔州•期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值． 1）解： ， 解得 ； ，解得， 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程 的解为___ ，方程的解为___ ， 故这两个方程为“美好方程”． ▲ ■ （2）解： ，可得； ，可得 ， ∵关于x的方程 与方程 是“美好方程”， ∴ ，解得． 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【变式1】（24-25七年级上•江苏常州•期末）定义：若 ，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与 是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若， ，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若 ，且m与n是关于2的关联数，求x的值． （1）解： ∵ 设5与 m是关于2的关联数， ∴ ， ∴ ， ∵设n 与 是关于2的关联数， ， 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【变式1】（24-25七年级上•江苏常州•期末）定义：若 ，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与 是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若， ，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若 ，且m与n是关于2的关联数，求x的值． （2）解： a与 b是关于2的关联数，理由如下： ， ∴ a与 b 是关于2的关联数； 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【变式1】（24-25七年级上•江苏常州•期末）定义：若 ，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与 是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若， ，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若 ，且m与n是关于2的关联数，求x的值． （3）解： ∵m与n 是关于2的关联数， ， ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ，得， 当时， ，得， 综上所述，或 ． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（ ） A．2或0 B．0 C．2或-2 D．2 解：∵方程是关于x的一元一次方程 ∴且 ∴ D 期末基础通关练 2．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若 ，下列等式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 解：A.根据等式的基本性质，等式两边应该同加或同减去一个整式，等式仍成立，故该选项错误，不符合题意； B. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明，所以该选项错误，不符合题意； C. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明 ，所以该选项错误，不符合题意； D.不论c位何值， ，该选项正确，符合题意； D 期末基础通关练 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？”题目大意是：“今有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，会多11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，求买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”则物价是 钱．（钱是古代货币的一种计量单位） 解：设物价是x钱，根据题意得： 解得： ∴物价是70钱． 70 物价 人均出钱 出钱总数 人数 第一种 第二种 期末基础通关练 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1) (2) （1）解： 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 去分母，得 去括号，得 期末重难突破练 5．（24-25七年级上·全国·期末）在“六一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，设去了个成人，则根据图中的信息，下面所列方程中正确的是（　　） B． D． A． C． A 期末重难突破练 6．下面是解方程的部分步骤： ①由 ，变形得 ； ②由 ，变形得 ； ③由 ， 变形得 ； ④由 ，变形得 ， 其中变形正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 期末重难突破练 7．已知关于x的方程 （a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 解：把 代入方程，得 整理得： ∵k为任意值，方程的解总是 ∴ ∴ ∴ 120 期末综合拓展练 8．（24-25七年级上·全国·期末）夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则 的值为（ ） ∴ m   2n -2 n 8 0     A．4 B．5 C．6 D．7 解：由题意， ∴ ∵ B 期末综合拓展练 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知： 关于 的一元一次方程 的解是， 关于的一元一次方程 的解是 ． ∵的解是 解：∵ ∴ ∴ 即 ∴ 期末综合拓展练 10．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以4.5 元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． (1)求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3% 的损耗，第二次购进的水果有 5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ （1）解：设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了 千克苹果， 由题意得 解得 答：第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果； ∴ 期末综合拓展练 10．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以4.5 元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． (1)求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有3% 的损耗，第二次购进的水果有 5%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ （2）解：设该水果店每千克售价应定为m元，由题意得 ， 解得 答：该水果店每千克售价应定为8元． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $