数学一模保分卷04（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，而，所以. 故选：B. 2．复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因，则，. 故选：B 3．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误； 事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确； 由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确； 故选：A. 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线可知该双曲线的一条渐近线为， 由圆可知该圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为渐近线被圆所截得的弦长为，且， 所以， 故选：C 6．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为， 故为的一个周期，设为的最小正周期，则， 则， 令，则，即， 所以，化简得， 故或. 令，则，若，则， 故，矛盾，故， 而，故，故的最小正周期为，故B正确； 对于C，当时，， 此时，而在为增函数，在为减函数， 所以在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，因为为偶函数且最小正周期为， 故在上的最小值即为在上的最小值. 由C分析中的的单调性可得在上的最小值为， 而，故在上的最小值为， 所以的最小值为1，故D正确 故选：C. 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，， ，，. 故选：A. 8．在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设，作交于点，如图所示， 因为两两相互垂直，所以，， 又平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以，则为侧面与底面的夹角，即. 在中，， 因为， 所以，即. 又，所以（当且仅当时取等号）. （当且仅当时取等号）. 当三棱锥体积最小时，，设外接球的半径为， 则，解得. 所以外接球的表面积． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（   ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．这组数据的平均数是 31.7 B．这组数据的极差是 17 C．这组数据的第 75 百分位数是 36 D．这组数据的中位数和众数相同 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意可知该组数据的平均数为 ，故A错误； 对于B，该组数据最大值为，最小值为，极差为，故B正确； 对于C，易知，该组数据从小到大排列后， 第15和16个数据都位于36岁年龄组，所以C正确； 对于D，该组数据从小到大排列后，第10和11个数据为32岁，所以中位数为32岁， 众数也是32岁，故D正确. 故选：BCD 10．记为等差数列的前n项和，则（    ） A．，，成等差数列 B． C． D．，，成等差数列 【答案】AD 【详解】设等差数列的公差为， 则，， . 对于A，由， ， 则， 所以，，成等差数列，故A正确； 对于B，， 而，且的值不确定， 则与不一定相等，故B错误； 对于C，， 而，且的值不确定， 则与不一定相等，故C错误； 对于D，由，，， 所以，即， 则，，成等差数列，故D正确. 故选：AD． 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【详解】对A：作出过的截面如下图：    延长和的延长线交于点，延长和交于点， 因为为中点，所以为中点，同理为中点. 则，即为的中位线， 连接，则过点，连接，则四边形为过点的截面， 所以平面截该正方体所得的截面是四边形，故A错误； 对B：连接，，如下图：    因为为正方体，分别为，中点，所以. 又，，平面，所以平面. 所以平面，又平面，所以平面平面.故B正确； 对C：当时，（），所以点在线段上， 所以，时取等号；，时取等号. 所以，故C错误； 对D：因为，所以， 所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆周的. 所以点轨迹长度为：，故D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【详解】设直线 与曲线 的切点为 ， 对曲线 求导， 则曲线在切点的斜率为， 而切点同时在直线 上， 代入得：，将 代入上式： 得到，化简得，解得 ， 所以 故答案为：. 13．已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 【答案】19 【详解】因为数据的平均数为4，方差为2， 所以的平均数为，方差为， 所以平均数与方差的和为19. 故答案为：19. 14．如图，点D在的边BC上，，则线段AC的长为 ．    【答案】 【详解】作交于，作交于，作交于，如图所示：    因为，所以，所以, 因为，设，则， 在直角三角形中，，即， 解得（舍去），所以，. 设，则， 在直角三角形中，，即， 所以，所以， 设，则，则，得， 所以, 在直角三角形中，, 在直角三角形中，, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 15．（13分） 【解析】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 16．（15分） 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.    17．（15分） 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 17．（15分） 【解析】（1）8联中随机取出4联，有种取法， 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法， 所以这4联可以凑成甲对联的概率为. （2）的所有取值可能为0，1，2. ，，. 的分布列为 X 0 1 2 P . 18．（17分） 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 18．（17分） 【解析】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 19．（17分） 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 19．（17分） 【解析】当时，即根据上述运算法得出： 故当时，使得需要12步雹程； （2）若， 根据上述运算法进行逆推， 或； 若，则或； 当时，或； 若时，或； 当，则或； 当时，； 当时，， 故所有可能的取值集合． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A C C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．19 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减，（5分） （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，（7分） 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系， 则（2分） 故，，则直线与所成角的余弦值为： ；（5分） （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ；（8分） （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.   （15分） 17．（15分） 【解析】（1）8联中随机取出4联，有种取法， 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法， 所以这4联可以凑成甲对联的概率为.（4分） （2）的所有取值可能为0，1，2. ，，.（7分） 的分布列为 X 0 1 2 P （9分） .（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以；（6分） 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，（8分） 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0.（17分） 19．（17分） 【解析】当时，即根据上述运算法得出： 故当时，使得需要12步雹程；（6分） （2）若， 根据上述运算法进行逆推， 或；（8分） 若，则或； 当时，或； 若时，或； 当，则或； 当时，； 当时，， 故所有可能的取值集合．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 3．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 6．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（   ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．这组数据的平均数是 31.7 B．这组数据的极差是 17 C．这组数据的第 75 百分位数是 36 D．这组数据的中位数和众数相同 10．记为等差数列的前n项和，则（    ） A．，，成等差数列 B． C． D．，，成等差数列 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数 ． 13．已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 14．如图，点D在的边BC上，，则线段AC的长为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 17．（15分） 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 18．（17分） 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 19．（17分） 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 3．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 6．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的最小值为1 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（   ） 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 A．这组数据的平均数是 31.7 B．这组数据的极差是 17 C．这组数据的第 75 百分位数是 36 D．这组数据的中位数和众数相同 10．记为等差数列的前n项和，则（    ） A．，，成等差数列 B． C． D．，，成等差数列 11．如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（    ）    A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B．平面平面 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与曲线相切，则实数 ． 13．已知数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数与方差的和为 . 14．如图，点D在的边BC上，，则线段AC的长为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 17．（15分） 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 18．（17分） 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 19．（17分） 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $