专题5.3 二元一次方程组的应用 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建二元一次方程组应用的知识体系，梳理了列方程组解应用题的6大步骤，并将经典题型细分为方案、行程、工程等13类，用表格归纳核心公式，用✔️标记关键概念，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于题型分类与方法指导结合，如方案问题强调“可行方案”“约束条件”判定，古代问题通过《九章算术》“牛五羊二”题培养推理意识，例题覆盖生活实际与传统文化，分层练习助不同学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

二元一次方程组的应用 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 考点梳理 1、弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； 2、设未知数； 3、根据找出的两个等量关系列出方程组； 4、解方程组； 5、检验所得的解是否符合题意； 6、写出答案（包括单位)． 考点02 经典题型 考点梳理 知识点1 方案问题 1、核心定义：求满足2个未知数的双重条件（等式+实际约束），枚举正整数解得可行方案，再选最优。 2、解题2大前提 设元：设2个相关量（如两种物品数量），必须标注实际意义（正整数） 列式：等式定数量关系，不等式定约束（不超过/至少/最值） 3、3个关键概念 ✔️可行方案：满足所有方程+不等式+实际意义（x,y≥0且整数）的解 ✔️约束条件：题干里的总量、费用上限、数量下限等限制（必考不超过/不少于） ✔️最优方案：从可行方案里选符合要求的（最省钱、最多、刚好配套） 4、基础题型判定 ▶️采购/分配型：含单价、总价、总数量，约束多为费用/数量范围 ▶️配套型：含“1配n”比例，核心等式是比例关系（如y=2x） ▶️运输/任务型：含单次量、总次数、总量，等式定总任务，不等式定资源限制 【例1】某水果商为电商平台运输砂糖橘，有两种货车用于配送．如果用1辆车和2辆车载满一次可运吨；用2辆车和1辆车载满一次可运吨． (1)1辆车和1辆车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输吨砂糖橘，计划同时租用车和车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载满砂糖橘．若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及所需租金． 知识点2 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 【例2】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 知识点3 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【例3】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 知识点4 数字问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 【例4】如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点5 年龄问题 1、核心关键（永远不变）：年龄差始终相等，年龄同增同减（一年各长1岁） 2、2个必记公式 ✔️ 现在年龄差=过去年龄差=未来年龄差（最核心） ✔️ n年后年龄=现龄+n；n年前年龄=现龄−n 3、解题3步模板 设元：设两人现在年龄分别为x岁、y岁（优先设现在） 列方程：紧扣年龄差不变+时间推移列二元一次方程组 求解：解方程组，检验（年龄为正整数） 4、常见题型句式（直接套） ✔️ 甲现在比乙大m岁 → x−y=m ✔️ n年前甲的年龄是乙的k倍 → x−n = k(y−n) ✔️ n年后甲的年龄是乙的k倍 → x+n = k(y+n) 【例5】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 知识点6 分配问题 1、核心定义：把物资/物品分给对象，分完有剩余（盈）或不够分（亏），列方程组求解 2、2大核心题型&公式（必考） ✔️ 盈（有余）：总数=每组分得×组数+剩余 ✔️ 亏（不足）：总数=每组分得×组数−缺额 3、解题4步模板 设元：设分配对象数和物品总数（或两种物品数）为x、y 列方程：紧扣“分法不同，总数不变”列二元一次方程组 求解：消元解方程组 检验：结果为正整数才符合实际 4、3类高频句式（直接套） ✔️ 按A分剩m → y = ax + m ✔️ 按B分缺n → y = bx − n ✔️ 两种物品配套分 → a甲=b乙（如1配2→y=2x） 【例6】半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点7 销售、利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 【例7】某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 知识点8 和差倍分问题 1、核心定义：已知两数的和、差、倍数、比例关系，列二元一次方程组求解，是最基础题型 2、4大核心关系（必背，直接套） 和：甲+乙=总量 → x+y=m 差：甲−乙=差值（甲大）→ x−y=n 倍：甲是乙的k倍 → x=ky 分：甲占乙的几分之几/比例 → x= (a/b)y 或 x:y=a:b→bx=ay 3、常考组合句式（题眼速判） ✔️和+倍：甲+乙=m，甲是乙的k倍 → 列x+y=m，x=ky ✔️和+差：甲+乙=m，甲−乙=n → 和差公式速算：x=(m+n)/2，y=(m−n)/2 ✔️差+倍：甲−乙=n，甲是乙的k倍 → 列x−y=n，x=ky ✔️比例+和：甲:乙=a:b，和为m → 设ax、bx，列ax+bx=m更简便 4、解题3步模板 设元：直接设两数为x、y（谁少设谁更易算） 列方程：抓“和、差、倍、分”关键词，对应列二元一次方程组 求解检验：解后验证是否符合题干关系，确保为正整数（实际问题） 【例8】学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 知识点9 几何问题 1、核心本质：用几何公式找等量关系，设边长/角度等为未知数，列二元一次方程组求解 2、3大高频题型+核心公式（必背） （1）三角形类 ✔️周长：三边和=周长；等腰△两腰相等 ✔️角度：内角和180°；直角△两锐角互余(和90°) ✔️题眼：等腰、直角、周长/边长关系 （2）长方形(矩形)类（最常考） ✔️周长：2(长+宽)=周长 →2(x+y)=C ✔️面积：长×宽=面积 →xy=S ✔️题眼：周长/面积已知、边长变化后周长/面积变化 （3）线段/角的计算 ✔️线段：总长=各段和；中点分线段相等(AM=MB=½AB) ✔️角度：互余(和90°)、互补(和180°)、角平分线分角相等 3、解题4步模板 设元：设几何未知量（长x宽y、边长x边长y、角度x角度y） 列方程：根据几何公式/性质找2个等量关系，列方程组 求解：消元解方程，算出未知量 检验：结果为正数（边长/角度不能负），符合几何图形实际 【例9】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 知识点10 图表信息问题 1、核心本质：从表格、图象中提取2组等量关系，设未知数列方程组求解，考读图找信息能力 2、2大高频题型+破题关键 表格型（最常考） 找等量：横向看类别，纵向找对应数据，两组数据列两方程 常见表：价格表、用量表、工作量表，抓“总价=单价×数量”等关系 ✔️图象型（易错） 找等量：图象上2个清晰坐标点/交点，或横轴纵轴的数量关系 常见图：行程图、折线图，抓“交点表示相等”“线段对应量” 3、解题4步模板（万能） 设元：设2个未知量（对应表格/图象里的核心量，如单价、速度） 提信息：从图表中圈出2组独立、完整的对应数据 列方程：每组数据对应1个方程，组成二元一次方程组 求解验：解方程，代入图表数据验证是否符合 4、必背题眼&套式 表格题：每行1个条件，两行动列两方程 图象题：坐标(x₁,y₁)、(x₂,y₂)直接代入关系式列方程 表头/坐标轴标注是关键，先看清楚“横轴/纵轴表示什么” 【例10】学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ． x 2y y 6 知识点11 古代问题 1、核心本质：把《孙子算经》《九章算术》等古算题中的数量关系，转化为二元一次方程组求解，核心是译古为今、抓等量关系。 2、3大高频古题类型（题眼+模型） （1）鸡兔同笼（《孙子算经》） 题眼：头数和、脚数和；模型：鸡数+兔数=总头数，2×鸡数+4×兔数=总脚数 → x+y=m，2x+4y=n （2）牛羊直金/器容问题（《九章算术》） 题眼：两种物品数量与总价/总容量；模型：a甲+b乙=c，d甲+e乙=f → 5x+2y=10，2x+5y=8（牛羊题） （3）绳测井深/钱物分配（《张丘建算经》等） 题眼：两种测量/分配方式；模型：绳长折3份−井深=5，绳长折4份−井深=1 → x/3−y=5，x/4−y=1 3、解题5步模板（古题今解万能法） 译题：把古文译成现代数学语言，明确已知与所求 设元：设两个未知量为x、y（如鸡x只、兔y只） 列方程：找2个独立等量关系，列二元一次方程组 求解：代入/加减消元，算出x、y 检验：结果为正整数，符合古题实际意义（如动物只数、长度为正） 【例11】《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 知识点12 开放型问题 1、核心定义：条件/结论不全，需补条件、编问题或找多解，答案不唯一，核心是紧扣二元一次方程(组)定义来做 2、2大类必考题型+解题要点 （1）条件开放型（补条件） 题型：给结论（如解为x=2,y=1），补1个/2个条件列方程组 要点：①补方程：代入解写等式（2a+b=c）；②保证是二元一次，未知数次数1、系数≠0 模板：已知解{x=2,y=1}，补方程组→{x+y=3，x-y=1}（答案不唯一） （2）结论开放型（找多解/编问题） 题型1：给1个二元一次方程，找非负整数解（多解） 要点：定一个未知数取值（正/非负整数），求另一个，列举即可 题型2：给数量关系，编二元一次方程组应用题 要点：贴合实际（数量为正整数），包含2个等量关系 （3）解题3步万能模板 审题：明确开放类型（补条件/找解/编题），锁定核心要求 作答：补条件：贴合已知解/结论，满足二元一次定义 找多解：按“定一求一”枚举，符合实际意义 编应用题：先定2个量→设未知数→嵌2个等量关系 检验：保证方程是二元一次，解符合题干/实际 3、 必背判定准则（不跑偏） 二元一次方程：含2未知数、次数1、整式方程，系数不为0 开放题多解≠随便写，需符合“二元一次”和题干限制（如非负整数） 知识点13 其他问题 增长率问题： ． 【例13】在物理实验课上，物理老师准备了一个苹果和一个梨，让实践小组利用托盘天平对苹果和梨的质量展开了称重实验．下图是实践小组的实验图（天平处于平衡状态），根据实验图获取的信息分别求出该苹果和梨的质量． 对点提升 考向01 方案问题 【对点1】东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 24.5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 考向02 行程问题 【对点2】甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 考向03 工程问题 【对点3】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 考向04 数字问题 【对点4】小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 考向05 年龄问题 【对点5】在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 考向06 分配问题 【对点6】现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 考向07 销售、利润问题 【对点7】随着“健康饮食，绿色生活”理念的普及，某商场计划购进一批新型果汁机进行销售据了解，台型果汁机，台型果汁机的总价共计元，而台型果汁机，台型果汁机的总价共计元． (1)求，两种型号的果汁机每台进价分别为多少元 (2)若该商场计划用元购进以上两种型号的新型果汁机（两种型号的果汁机均要购买，且元全部用完），问该商场有哪几种购买方案 (3)若该商场销售台型果汁机可获利元，销售台型果汁机可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些果汁机全部售出，哪种方案获利最大最大利润是多少元 考向08 和差倍分问题 【对点8】我国是水资源相对缺乏的国家之一，水资源的人均占有量比世界人均占有量少，仅是世界人均占有量的，我国和世界水资源的人均占有量分别是多少立方米？ 考向09 几何问题 【对点9】如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为 ． 考向10 图表信息题 【对点10】已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 考向11 古代问题 【对点11】我国古代数学算书《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？”请列方程组解答这个问题． 考向12 其他问题 【对点12】某公司组织员工去三星堆参观，现有，两种客车可以租用．已知辆客车和辆客车可以坐人，辆客车和辆客车坐的人数一样多．求，两种客车分别可坐多少人？ 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 2．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有个客人，个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 5．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 7．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放，则在图2的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．将的三个顶点的横、纵坐标都乘以a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（），得到，其中，点的对应点分别为．经过上述操作后对应点与点C重合，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 10．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为和两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(　　) A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 2、 填空题 11．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形（不重叠、无空隙），比的长大1，每个小长方形的周长均为14，则图中阴影部分的面积为 ． 12．《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是 人，羊的价格是 钱． 13．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 14．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 15．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 3、 解答题 16．某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 17．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 18．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 19．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 20．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组的应用 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 考点梳理 1、弄清题意和题目中的数量关系，找到两个等量关系，明确已知量、未知量； 2、设未知数； 3、根据找出的两个等量关系列出方程组； 4、解方程组； 5、检验所得的解是否符合题意； 6、写出答案（包括单位)． 考点02 经典题型 考点梳理 知识点1 方案问题 1、核心定义：求满足2个未知数的双重条件（等式+实际约束），枚举正整数解得可行方案，再选最优。 2、解题2大前提 设元：设2个相关量（如两种物品数量），必须标注实际意义（正整数） 列式：等式定数量关系，不等式定约束（不超过/至少/最值） 3、3个关键概念 ✔️可行方案：满足所有方程+不等式+实际意义（x,y≥0且整数）的解 ✔️约束条件：题干里的总量、费用上限、数量下限等限制（必考不超过/不少于） ✔️最优方案：从可行方案里选符合要求的（最省钱、最多、刚好配套） 4、基础题型判定 ▶️采购/分配型：含单价、总价、总数量，约束多为费用/数量范围 ▶️配套型：含“1配n”比例，核心等式是比例关系（如y=2x） ▶️运输/任务型：含单次量、总次数、总量，等式定总任务，不等式定资源限制 【例1】某水果商为电商平台运输砂糖橘，有两种货车用于配送．如果用1辆车和2辆车载满一次可运吨；用2辆车和1辆车载满一次可运吨． (1)1辆车和1辆车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输吨砂糖橘，计划同时租用车和车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载满砂糖橘．若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及所需租金． 【答案】(1)1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘 (2)该水果商有2种租车方案：方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为元；方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为元；最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与方案选择问题，解题关键是通过列方程组求解货车载重量，再结合条件列出所有租车方案并计算成本． （1）设货车载重量为未知数，根据两种载重情况列二元一次方程组求解； （2）根据总运输量列二元一次方程，结合 “两种货车都租” 确定正整数解得到租车方案，再计算各方案租金选最省钱的． 【详解】（1）设1辆车载满一次可运输吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输吨砂糖橘， 根据题意得解得 答：1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘． （2）设需租用型车辆，型车辆，依题意得：，整理得：． 因为均为正整数，所以或 该水果商有2种租车方案： 方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为（元）； 方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为（元）． 因为， 所以最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元． 知识点2 行程问题 1. 关系式 速度×时间＝路程． 2. 常见问题类型 （1）相遇问题：二者路程之和等于两点间距离． （2）追及问题 ①异地同时出发，相遇时，二者路程之差的绝对值等于两点间距离； ②同地不同时出发，后者追上前者时，二者路程相等． （3）环形追及问题：二者同地同时同向而行，首次追及，二者路程之差的绝对值等于环形周长． （4）列车问题：需考虑车自身长度． （5）顺（逆）水问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 【例2】甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 知识点3 工程问题 1. 工作总量＝工作时间×工作效率． 2. 当题目与工作总量的大小、多少无关时，通常用“1”表示工作总量． 【例3】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； (2)乙队． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 知识点4 数字问题 1. 用字母表示一个两位数 用字母表示一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b＋a；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为10a＋b． 2. 变换数位后多位数的表示 （1）两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，因此用x，y表示这个四位数为100x＋y．同理，如果将x放在y的右边，那么得到一个新的四位数为100y＋x． （2）一个两位数，个位上的数字是m，十位上的数字是n，如果在它们之间添上一个零，那么用代数式表示这个三位数为100n＋m． 【例4】如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 知识点5 年龄问题 1、核心关键（永远不变）：年龄差始终相等，年龄同增同减（一年各长1岁） 2、2个必记公式 ✔️ 现在年龄差=过去年龄差=未来年龄差（最核心） ✔️ n年后年龄=现龄+n；n年前年龄=现龄−n 3、解题3步模板 设元：设两人现在年龄分别为x岁、y岁（优先设现在） 列方程：紧扣年龄差不变+时间推移列二元一次方程组 求解：解方程组，检验（年龄为正整数） 4、常见题型句式（直接套） ✔️ 甲现在比乙大m岁 → x−y=m ✔️ n年前甲的年龄是乙的k倍 → x−n = k(y−n) ✔️ n年后甲的年龄是乙的k倍 → x+n = k(y+n) 【例5】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 知识点6 分配问题 1、核心定义：把物资/物品分给对象，分完有剩余（盈）或不够分（亏），列方程组求解 2、2大核心题型&公式（必考） ✔️ 盈（有余）：总数=每组分得×组数+剩余 ✔️ 亏（不足）：总数=每组分得×组数−缺额 3、解题4步模板 设元：设分配对象数和物品总数（或两种物品数）为x、y 列方程：紧扣“分法不同，总数不变”列二元一次方程组 求解：消元解方程组 检验：结果为正整数才符合实际 4、3类高频句式（直接套） ✔️ 按A分剩m → y = ax + m ✔️ 按B分缺n → y = bx − n ✔️ 两种物品配套分 → a甲=b乙（如1配2→y=2x） 【例6】半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 知识点7 销售、利润问题 单件商品的利润＝单件商品的售价－单件商品的进价；． 例如：某产品原价为a元/件，打八折后售价为0.8a元/件． 【例7】某电动车销售公司计划购进一批电动摩托车尝试进行销售，据了解1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元． (1)求甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为多少千元； (2)若该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元 (2)该公司只有一种购买方案：购买甲型号电动摩托车4辆，乙型号电动摩托车12辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为千元，根据“1辆甲型号电动摩托车和3辆乙型号电动摩托车的进价共计45千元；4辆甲型号电动摩托车和2辆乙型号电动摩托车的进价共计110千元” 列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买甲种型号的电动摩托车辆，乙种型号的电动摩托车辆，根据“该公司计划正好用180千元购进以上两种型号的电动摩托车（两种型号的电动摩托车均购买）”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为千元， 由题意得：， 解得：， ∴甲，乙两种型号的电动摩托车每辆的进价分别为 24千元和7千元； （2）解：设购买甲种型号的电动摩托车辆，乙种型号的电动摩托车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵均为正整数， ∴， ∴该公司共有一种购买方案：购买甲种型号的电动摩托车4辆，乙种型号的电动摩托车12辆． 知识点8 和差倍分问题 1、核心定义：已知两数的和、差、倍数、比例关系，列二元一次方程组求解，是最基础题型 2、4大核心关系（必背，直接套） 和：甲+乙=总量 → x+y=m 差：甲−乙=差值（甲大）→ x−y=n 倍：甲是乙的k倍 → x=ky 分：甲占乙的几分之几/比例 → x= (a/b)y 或 x:y=a:b→bx=ay 3、常考组合句式（题眼速判） ✔️和+倍：甲+乙=m，甲是乙的k倍 → 列x+y=m，x=ky ✔️和+差：甲+乙=m，甲−乙=n → 和差公式速算：x=(m+n)/2，y=(m−n)/2 ✔️差+倍：甲−乙=n，甲是乙的k倍 → 列x−y=n，x=ky ✔️比例+和：甲:乙=a:b，和为m → 设ax、bx，列ax+bx=m更简便 4、解题3步模板 设元：直接设两数为x、y（谁少设谁更易算） 列方程：抓“和、差、倍、分”关键词，对应列二元一次方程组 求解检验：解后验证是否符合题干关系，确保为正整数（实际问题） 【例8】学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 知识点9 几何问题 1、核心本质：用几何公式找等量关系，设边长/角度等为未知数，列二元一次方程组求解 2、3大高频题型+核心公式（必背） （1）三角形类 ✔️周长：三边和=周长；等腰△两腰相等 ✔️角度：内角和180°；直角△两锐角互余(和90°) ✔️题眼：等腰、直角、周长/边长关系 （2）长方形(矩形)类（最常考） ✔️周长：2(长+宽)=周长 →2(x+y)=C ✔️面积：长×宽=面积 →xy=S ✔️题眼：周长/面积已知、边长变化后周长/面积变化 （3）线段/角的计算 ✔️线段：总长=各段和；中点分线段相等(AM=MB=½AB) ✔️角度：互余(和90°)、互补(和180°)、角平分线分角相等 3、解题4步模板 设元：设几何未知量（长x宽y、边长x边长y、角度x角度y） 列方程：根据几何公式/性质找2个等量关系，列方程组 求解：消元解方程，算出未知量 检验：结果为正数（边长/角度不能负），符合几何图形实际 【例9】用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 知识点10 图表信息问题 1、核心本质：从表格、图象中提取2组等量关系，设未知数列方程组求解，考读图找信息能力 2、2大高频题型+破题关键 表格型（最常考） 找等量：横向看类别，纵向找对应数据，两组数据列两方程 常见表：价格表、用量表、工作量表，抓“总价=单价×数量”等关系 ✔️图象型（易错） 找等量：图象上2个清晰坐标点/交点，或横轴纵轴的数量关系 常见图：行程图、折线图，抓“交点表示相等”“线段对应量” 3、解题4步模板（万能） 设元：设2个未知量（对应表格/图象里的核心量，如单价、速度） 提信息：从图表中圈出2组独立、完整的对应数据 列方程：每组数据对应1个方程，组成二元一次方程组 求解验：解方程，代入图表数据验证是否符合 4、必背题眼&套式 表格题：每行1个条件，两行动列两方程 图象题：坐标(x₁,y₁)、(x₂,y₂)直接代入关系式列方程 表头/坐标轴标注是关键，先看清楚“横轴/纵轴表示什么” 【例10】学校的幻方社团正在进行推理游戏，小华在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ． x 2y y 6 【答案】6 【分析】本题考查代数推理，方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用幻方中各行、各列及对角线上的三个数之和相等，列出方程并求解，得到x与y的关系． 【详解】解：设右下角数字为， ∵图中各行各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， 即， 则． 故答案为：6． 知识点11 古代问题 1、核心本质：把《孙子算经》《九章算术》等古算题中的数量关系，转化为二元一次方程组求解，核心是译古为今、抓等量关系。 2、3大高频古题类型（题眼+模型） （1）鸡兔同笼（《孙子算经》） 题眼：头数和、脚数和；模型：鸡数+兔数=总头数，2×鸡数+4×兔数=总脚数 → x+y=m，2x+4y=n （2）牛羊直金/器容问题（《九章算术》） 题眼：两种物品数量与总价/总容量；模型：a甲+b乙=c，d甲+e乙=f → 5x+2y=10，2x+5y=8（牛羊题） （3）绳测井深/钱物分配（《张丘建算经》等） 题眼：两种测量/分配方式；模型：绳长折3份−井深=5，绳长折4份−井深=1 → x/3−y=5，x/4−y=1 3、解题5步模板（古题今解万能法） 译题：把古文译成现代数学语言，明确已知与所求 设元：设两个未知量为x、y（如鸡x只、兔y只） 列方程：找2个独立等量关系，列二元一次方程组 求解：代入/加减消元，算出x、y 检验：结果为正整数，符合古题实际意义（如动物只数、长度为正） 【例11】《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 知识点12 开放型问题 1、核心定义：条件/结论不全，需补条件、编问题或找多解，答案不唯一，核心是紧扣二元一次方程(组)定义来做 2、2大类必考题型+解题要点 （1）条件开放型（补条件） 题型：给结论（如解为x=2,y=1），补1个/2个条件列方程组 要点：①补方程：代入解写等式（2a+b=c）；②保证是二元一次，未知数次数1、系数≠0 模板：已知解{x=2,y=1}，补方程组→{x+y=3，x-y=1}（答案不唯一） （2）结论开放型（找多解/编问题） 题型1：给1个二元一次方程，找非负整数解（多解） 要点：定一个未知数取值（正/非负整数），求另一个，列举即可 题型2：给数量关系，编二元一次方程组应用题 要点：贴合实际（数量为正整数），包含2个等量关系 （3）解题3步万能模板 审题：明确开放类型（补条件/找解/编题），锁定核心要求 作答：补条件：贴合已知解/结论，满足二元一次定义 找多解：按“定一求一”枚举，符合实际意义 编应用题：先定2个量→设未知数→嵌2个等量关系 检验：保证方程是二元一次，解符合题干/实际 3、 必背判定准则（不跑偏） 二元一次方程：含2未知数、次数1、整式方程，系数不为0 开放题多解≠随便写，需符合“二元一次”和题干限制（如非负整数） 知识点13 其他问题 增长率问题： ． 【例13】在物理实验课上，物理老师准备了一个苹果和一个梨，让实践小组利用托盘天平对苹果和梨的质量展开了称重实验．下图是实践小组的实验图（天平处于平衡状态），根据实验图获取的信息分别求出该苹果和梨的质量． 【答案】苹果和梨的质量分别为95克，105克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设设苹果和梨的质量分别为x克，y克，根据两个天平各列一个方程组成方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设苹果和梨的质量分别为x克，y克， 根据题意，得， 解得 答：苹果和梨的质量分别为95克，105克． 对点提升 考向01 方案问题 【对点1】东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 24.5 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ (2)若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】(1)每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃 (2)只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴， ∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车． 考向02 行程问题 【对点2】甲、乙两车相距，同时出发．若两车同向而行，则乙车经过可追上甲车；若两车相向而行，则经过两车相遇．求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车速度为，乙车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 通过同向而行和相向而行的两车的行驶路程关系建立方程组，求解得到两车速度． 【详解】解：设乙车速度为 ，甲车速度为 ．根据题意得： 解得： 答：甲车速度为，乙车速度为． 考向03 工程问题 【对点3】汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 考向04 数字问题 【对点4】小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 考向05 年龄问题 【对点5】在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 考向06 分配问题 【对点6】现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 【答案】双人间40间，三人间10间 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知列出方程组是解题关键． 设二人间有x间，三人间有y间，根据“二人间+三人间，二人间数三人间数”列方程组求解可得． 【详解】解：设双人间x间，三人间为y间， 由题意得， 解得， 答：双人间有40间，三人间有10间. 考向07 销售、利润问题 【对点7】随着“健康饮食，绿色生活”理念的普及，某商场计划购进一批新型果汁机进行销售据了解，台型果汁机，台型果汁机的总价共计元，而台型果汁机，台型果汁机的总价共计元． (1)求，两种型号的果汁机每台进价分别为多少元 (2)若该商场计划用元购进以上两种型号的新型果汁机（两种型号的果汁机均要购买，且元全部用完），问该商场有哪几种购买方案 (3)若该商场销售台型果汁机可获利元，销售台型果汁机可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些果汁机全部售出，哪种方案获利最大最大利润是多少元 【答案】(1)、两种型号的果汁机每台进价分别为元、元 (2)一共有三种方案：方案一：购买型果汁机台，购买型果汁机台；方案二：购买型果汁机台，购买型果汁机台；方案三：购买型果汁机台，购买型果汁机台； (3)方案一获利最大，即型果汁机台，型果汁机台；最大利润是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设、两种型号的果汁机每台进价分别为元、元，根据台型果汁机，台型果汁机的总价共计元，而台型果汁机，台型果汁机的总价共计元建立方程组求解即可； （2）设、两种型号的果汁机分别购进台、台，根据购买费用为元列出方程，求出方程的正整数解即可得到答案； （3）根据（2）所求分别计算出三种方案的利润，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设、两种型号的果汁机每台进价分别为元、元， 根据题意，得 解得 答：、两种型号的果汁机每台进价分别为元、元； （2）解：设、两种型号的果汁机分别购进台、台， 根据题意得 ， 、都是正整数， ∴是正整数， ∴一定是小于16的正整数，即b一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种方案：方案一：购买型果汁机台，购买型果汁机台； 方案二：购买型果汁机台，购买型果汁机台； 方案三：购买型果汁机台，购买型果汁机台； （3）解：∵销售台型果汁机可获利元，销售台型果汁机可获利元 方案一获利为：元， 方案二获利为：元， 方案三获利为：元， ， ∴方案一获利最大， 答：购买型果汁机台，购买型果汁机台时获利最大，最大利润是元． 考向08 和差倍分问题 【对点8】我国是水资源相对缺乏的国家之一，水资源的人均占有量比世界人均占有量少，仅是世界人均占有量的，我国和世界水资源的人均占有量分别是多少立方米？ 【答案】我国水资源的人均占有量为2200立方米，世界水资源的人均占有量为8800立方米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设我国水资源的人均占有量为x立方米，世界水资源的人均占有量为y立方米，分别根据水资源的人均占有量比世界人均占有量少，是世界人均占有量的，列出二元一次方程，组成方程组求解即可． 【详解】解：设我国水资源的人均占有量为x立方米，世界水资源的人均占有量为y立方米， ∵水资源的人均占有量比世界人均占有量少， ∴； ∵是世界人均占有量的， ∴； 即， 解得：． 答：我国水资源的人均占有量为2200立方米，世界水资源的人均占有量为8800立方米． 考向09 几何问题 【对点9】如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意，正确列出方程组，求得小长方形的长和宽． 设小长方形的长和宽分别为，，则由题意可得，求得，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为， 则由题意可得，即，解得 则小长方形的面积为， 故答案为： 考向10 图表信息题 【对点10】已知图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等．求的值，并在空白处填上符合要求的数． 3 2 y 【答案】，表格见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及有理数的加法，利用已知条件列出方程组是解题的关键． 利用已知条件列出方程组求解，然后根据表格填写数据即可． 【详解】解：∵图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等， ∴． 解得， ∴， ∴各行、各列及对角线上的3个数之和都为3， 填表如下： 3 2 5 1 0 4 考向11 古代问题 【对点11】我国古代数学算书《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？”请列方程组解答这个问题． 【答案】甜果个，花费文；苦果个，花费文 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甜果买了个，苦果买了个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再各自乘以相应的单价即可求出各自的总价． 【详解】解：设甜果买个，苦果买个， 由题意：每个甜果的价格为文，每个苦果的价格为文， 则， 解得， （文，（文， 答：甜果买了个，花了文钱，苦果买了个，花了文钱． 考向12 其他问题 【对点12】某公司组织员工去三星堆参观，现有，两种客车可以租用．已知辆客车和辆客车可以坐人，辆客车和辆客车坐的人数一样多．求，两种客车分别可坐多少人？ 【答案】种客车可坐人，种客车可坐人 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．先设种客车可坐人，种客车可坐人，再根据题意，得，最后解方程组即可． 【详解】解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐人，种客车可坐人． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解应用，解题的关键是通过方程化简分析未知数的取值特征，确定符合条件的方案数． 设男生、女生人数为、，列方程化简后，根据为非负整数确定的偶数特征，进而找出所有方案． 【详解】解：设安排男生名，女生名， 由题意得：， 化简为， 则． 为非负整数，为非负偶数，即为非负偶数． 设（为非负整数），代入得． 由得，故取0，1，2，3，4， 对应5种方案：；；；；． 故选：D． 2．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有个客人，个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意找到等量关系“若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子”，列出方程组即可． 【详解】解：设有个客人，个盘子，根据题意， 方程组为 ， 故选：B． 3．小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 4．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 5．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个，分购买A种健身器材5个和购买A种健身器材6个两种情况，列出关于的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个， 当购买A种健身器材5个时，则， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材5个时，共有3种方案； 当购买A种健身器材6个时，则， ∴ ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材6个时，共有3种方案； 综上所述，一共有种方案， 故选：C． 6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 得，解得； 将代入①，得， 解得； ∴， 故选：C． 7．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放，则在图2的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，完全平方公式在几何图形中的应用，根据图形可知大正方形的边长加上小正方形的边长的2倍等于a，大正方形的边长减去小正方形的边长的2倍等于b，据此列出方程组可求出大正方形和小正方形的边长，再根据图②中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积计算求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 由题意得，， ∴， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ， 故选：D． 8．将的三个顶点的横、纵坐标都乘以a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（），得到，其中，点的对应点分别为．经过上述操作后对应点与点C重合，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的平移，列方程组解决几何问题，解题的关键是根据题意列出方程组． 根据题意列出方程组求出未知数，然后再根据点的坐标变化和平移列出方程组求解即可． 【详解】解：根据点的坐标变化及平移可得， ，， 解得， 假设，则根据点的坐标变化和平移得， 解得， ∴点C的坐标为， 故选：A． 9．茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长． 【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为． 由得，代入得 正方形礼盒边长为（） 故选：． 10．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为和两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(　　) A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意， 得①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：B． 2、 填空题 11．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形（不重叠、无空隙），比的长大1，每个小长方形的周长均为14，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据小长方形的周长为14可列方程，解方程组可以求出小长方形的长为6，宽为1，根据小长方形在大长方形放置的位置可以求出，，根据长方形的面积公式可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意可得：， 解方程组可得：， ∴，， ∴长方形的面积是， 一个小长方形的面积是， ∴． 即图中阴影部分的面积是30． 故答案为：30． 12．《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是 人，羊的价格是 钱． 【答案】 21 150 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程组是解题关键．设合伙人数为人，羊的价格为钱，根据两种出钱情况列出方程组，利用等量关系求解合伙人数和羊的价格即可． 【详解】解：设合伙人数为人，羊的价格为钱， 根据题意，得方程组：， 将两个方程联立，得：， 移项，得：， 合并，得， 解得：， 代入，得：， 即合伙人数为21人，羊的价格为150钱， 故答案为21；150． 13．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 14．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，则大正方形的面积为 ． 【答案】34 【分析】本题考查勾股定理、二元一次方程组的应用，运用方程思想．解题关键是通过设直角三角形的直角边为未知数，结合“”和“小正方形边长”建立方程组，求出直角边后用勾股定理求大正方形面积；易错点是混淆小正方形边长与直角边的关系，导致方程列错． 首先设直角三角形的直角边，．再根据“”得；根据“小正方形边长”得．然后解方程组，求出，．最后由勾股定理求大正方形边长的平方，即大正方形的面积为34． 【详解】设直角三角形的直角边，． 已知，即； 小正方形的边长，由图形可知，小正方形的边长等于，即． 联立方程组： ， 解得，． 在中，根据勾股定理： ， 因此，大正方形的面积为． 故答案为：34． 15．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】40 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 3、 解答题 16．某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 (2)当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A纪念品x件，则，由题意得：，再利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元， 则，解得：， 答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 （2）解：设购进A纪念品x件，则， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时购进B纪念品件， 答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元． 17．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 18．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 【答案】(1)喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元． (2)m的值为2． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，可化为一元一次方程的分式方程的应用，根据题目条件找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设喜洋洋挂件的销售单价为元，根据喜洋洋挂件单价比乐融融摆件的销售单价少10元，可表示出乐融融摆件的销售单价．再根据购买3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件共花费310元，列出方程求解； （2）先分别表示出降价后喜洋洋挂件和乐融融摆件的单价，再根据乙顾客购买两种商品的数量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设喜洋洋挂件的销售单价为元，则乐融融摆件的销售单价为元．根据题意，得 ， 解得， ， 答：喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元； （2）降价后喜洋洋挂件的单价为元，乐融融摆件的单价为元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：的值为2． 19．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 20．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子 (2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为元；②A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼（答案不唯一） 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，方案问题(二元一次方程组的应用)等知识，解题关键是理解题意，找准等量关系列出方程． （1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $