精品解析：云南省宣威市第一中学2025-2026学年高二上学期教学质量监测（三）数学试题

2025~2026学年高二年级教学质量监测卷（三） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解指数不等式，求出，由对数函数定义域得到，根据交集，可得答案. 【详解】集合， 由得，故，. 故选：D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方，复数除法的运算求解即可. 【详解】， ，. 故选：C. 3. 从小到大排列的一组数据：，若这组数据的第50百分位数与平均数相同，则的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】求出第50百分位数和平均数，由第50百分位数和平均数相等得到等式计算求解. 【详解】共6个数，第50百分位数是， 平均数为， 这组数据的第50百分位数与平均数相同， ， . 故选：B. 4. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下表和的性质及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 5. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行系数关系列式计算再检验是否重合即可求解. 【详解】直线与直线平行， 则，所以或， 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 故选：A. 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A 7. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出在上的范围，再结合函数的最值分、两种情况讨论. 【详解】当时，， 函数有最小值，则最值必在上取得，且其最小值小于等于， 若，则，得， 若，则，得， 则实数的取值范围是. 故选：D 8. 将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图象．如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到．现将双曲线绕原点旋转适当的角度后，得到函数的图象．则双曲线的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知旋转后的图象仍为双曲线，得到旋转后的函数两条渐近线，进而得出的值，再结合离心率计算即可求解. 【详解】易知“飘带”函数的两条渐近线为和， 由题可知，两渐近线的夹角一直不变，设为，则，所以， 已知在原双曲线中，轴是渐近线夹角的角平分线， 所以一条渐近线的斜率， 所以. 故选： 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知两个向量，且，则 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. ，则在上的投影向量坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项，利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项，利用空间中四点共面的推论可判断C选项，利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，且，， 则，故A正确； 对于B选项，，，且， 设，即， 则，解得，故，故B正确； 对于C选项，若四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故四点不共面，故C错误； 对于D选项，若，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）． A. 函数的解析式为 B. 函数的一个极大值点为 C. 函数的对称中心为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象和已知条件可求出函数的解析式，然后根据正弦函数的极大值点、对称中心、单调性等性质对选项逐一计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 根据勾股定理，解得．所以， 又与轴的交点为，可得，且图象在点是单调递减的， 解得（舍）或，所以，故A正确． B中，令，，解得，，所以B不正确； C中，令，，解得，， 即函数的对称中心为，，所以C正确； D中，，可得，即函数在给定区间内单调递增，所以D正确． 故选：ACD． 11. 设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为为坐标原点，则（ ） A. B. 的坐标为（0，2） C. D. 直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意知抛物线焦点坐标及准线方程，先设点坐标，利用中点坐标公式及题中条件求解选项即可；可得抛物线方程且点在抛物线上，结合中点条件可得点坐标，故选项可以判断；根据三角形面积公式可判断选项；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项. 【详解】由题可知焦点为，准线方程为，设，， 由中点坐标公式得，即. 由到抛物线准线的距离为，得，解得，即选项正确. 故抛物线方程为，， 又因为点在抛物线上，则，得，， 所以点坐标为或，故选项错误. 的面积为，故选项正确. 由，或可知，直线的斜率为， 所以直线方程为，即直线方程为或，故选项错误. 故选： 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，利用等差数列的前项和的公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. 13. 已知向量，，若与垂直，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求. 【详解】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 14. 若数列的首项，且；令，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由可知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，因此 考点：等比数列的通项公式与等差数列求和． 【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式构造数列是以为首项，为公比的等比数列.据此得到数列的通项公式，根据对数运算得到是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前项和公式求解. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. 【小问1详解】 由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. 【小问2详解】 由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则，， 可得， 故 . 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合； ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，，，M为CD的中点． （1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF； （2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值 （3）设点N是内一动点，，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）取DM的中点为O，由等腰三角形得性质得到OE⊥DM，OA⊥DM，再由勾股定理证明OA⊥OE，即可根据线面垂直的判定定理证明OA⊥平面CDEF，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求出平面AEM的法向量，设直线DA与平面AEM所成的角为，再根据公式计算即可； （3）先分析出点N在以DM为直径的圆上，当线段AN的长最小时，得到点N的坐标，设直线EN与直线BF所成角为，再根据公式计算即可. 【小问1详解】 如图所示，取DM的中点为O，连接OA，OE， 因为M为CD的中点，，所以， 又因为AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2， 所以AB∥CM，且,CM∥EF，且, 所以四边形ABCM与四边形CMEF都是平行四边形，所以， 所以是边长为2的等边三角形，△ADM是等腰三角形，所以OE⊥DM，OA⊥DM. 因为，DE＝2，所以，， 因为，且，所以OA⊥OE， 因为，平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF， 又平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面CDEF； 【小问2详解】 以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面AEM的法向量为， 则，即， 令z＝1，则，所以. 设直线DA与平面AEM所成的角为，则 ， 所以, 所以直线DA与平面AEM所成角的余弦值； 【小问3详解】 当点N是△ADM内一动点，且，则点N在以DM为直径的圆上， 当线段AN的长最小时，点N在AO与圆的交点处，所以N（0，0，1）， 所以， 则， ||2，||2， 设直线EN与直线BF所成角为， 则． 所以直线EN与直线BF所成角的余弦值为． 19. 已知椭圆过点，且离心率为，过点的直线与交于两点，其中． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为．求的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知点的坐标以及离心率列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解， （3）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线过且斜率为，方程为， 联立，消去得， 整理得， 设，则， 由弦长公式（为直线斜率）， ，代入得. 【小问3详解】 由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令， 设直线，避免斜率不存在情况)，联立， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又， 所以， 所以直线的方程为即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二年级教学质量监测卷（三） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 从小到大排列的一组数据：，若这组数据的第50百分位数与平均数相同，则的值为（ ） A. 98 B. 104 C. 106 D. 108 4. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 7. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将双曲线绕其中心旋转适当角度后可得到一些熟悉函数的图象．如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到．现将双曲线绕原点旋转适当的角度后，得到函数的图象．则双曲线的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，且，则 B 已知两个向量，且，则 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. ，则在上的投影向量坐标为 10. 已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）． A. 函数的解析式为 B. 函数的一个极大值点为 C. 函数对称中心为 D. 函数在区间上单调递增 11. 设抛物线焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为为坐标原点，则（ ） A. B. 的坐标为（0，2） C. D. 直线的方程为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，，则___________． 13. 已知向量，，若与垂直，则_________． 14. 若数列的首项，且；令，则_____________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求面积． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 17. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，，，M为CD的中点． （1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF； （2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值 （3）设点N是内一动点，，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值． 19. 已知椭圆过点，且离心率为，过点的直线与交于两点，其中． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为．求的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $