2026年高考数学二轮信息必刷卷02（天津卷）2026年高考数学二轮复习讲练测

2026年高考二轮信息必刷卷02 数 学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B B A C D C C D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 1 11．135 12． 13． 14． /0.25 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分） 【解析】（1）， 由正弦定理，得， ， 又，所以，又， 所以；（5分） （2）①由（1）知，由正弦定理得， 即，解得；（9分） ②由，得，所以， 所以， 所以.（14分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意得：三条直线两两垂直； 以为坐标原点，的方向，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，    ，，，； 所以，，， 因为，所以直线与平面不垂直.（5分） （2）由（1）的：，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，； 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（10分） （3）由（1）得：，，，， ，，； 设线段上是否存在一点，且，，则； 设平面的一个法向量为：，则，令，得； ，所以点到平面的距离为： ； 所以在线段上不存在一点，使得点到平面的距离是.（15分） 18．（15分） 【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得.（7分） 所以.所以.（9分） ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以.（12分） ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）由题意， ，（2分） 又是和的等比中项，得， 又，解得，（4分） ；（5分） （2）由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ；（10分） （3）， （12分） ， ，（14分） . 结论得证.（15分） 20．（16分） 【解析】（1）解：当时，，则， 可得，则切线方程为，即．（3分） （2）证明：先证：时， 设，则，所以在上单调递减，（5分） 因为，所以当且仅当时，，即； 令，则， 所以在上单调递增，所以，所以.（8分） （3）证明：由函数 可得， 令，则， 当时，，在（0，1）上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，且，（10分） 当时，存在唯一零点； 当时，，可知， 则 所以由零点存在性定理可知，存在，使得， 综上可得，函数存在唯一零点，（12分） 则，且， 所以， 因为，所以，则， 因为，所以， 令，则，所以， 下面证明， 设，则，（13分） 令，则， 所以在上单调递增，，所以在上单调递减， 再设， 由（2）知，所以在上单调递减， 所以，所以，当时取等号． 因为在上单调递减，由（2）知在上单调递减且， 则， 所以，即，所以．（16分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷02 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，考查重心远离单章孤立知识点，转向跨模块综合内容，像函数零点这类以往的填空压轴题，2026年有可能转为解答题。同时评分标准更严格，解答题若出现逻辑链缺失会明确扣分，以此重视学生的逻辑表达能力。 高考·新考法：一是跨章融合考查成常态，比如圆锥曲线会整合椭圆、焦点、斜率等知识点，数列解答题常与不等式、函数性质结合。二是导数题侧重“缩范围—锁最值”的建模思路，要求考生结合驻点和区间端点共同分析最值，而非仅机械求导。三是借鉴名校试题改编，经改编后考查核心知识点，需要考生掌握母题结构而非死记硬背。。 高考·新情境：题目多结合生活与实际场景设计，告别“裸题”形式。例如2025天津卷第13题以“操场跑圈”为情景考查相关知识点；导数题常以“最大容积”“最大利润”等实际问题为外衣，要求考生先将实际场景转化为数学模型再求解；还有类似其他地区卷中“大模型训练时间”这类贴合科技与生活的情景，后续大概率会在天津卷中出现。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第8题题目从题目呈现的三角函数对称性考点，结合天津高考数学特点不难发现基础考点的精细化考查不再单纯考三角函数的对称轴、对称中心公式，而是结合“离y轴最近”的限定条件，考查对三角函数图像局部特征的理解，规避机械套公式的刷题思维，符合天津卷“重基础、轻怪题”的新导向。 数形结合的强化，解题核心是利用“对称轴与对称中心的距离图像性质，而非纯代数运算，体现天津卷“跨模块融合（函数图像+三角运算）”的新考法，要求考生将代数条件转化为几何图像特征。试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，，则； 5．下列结论中错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 6．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（    ） A．100 B．80 C．50 D．30 7．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 9．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 11．在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是 ．（用数字作答） 12．已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为 . 13．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 14．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    15．已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)若． ①求的值； ②求的值． 17．（15分）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 19．（15分）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：． 20．（16分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)证明：当时，； (3)当时，令，记的唯一零点为，若，证明：． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考二轮信息必刷卷02 数 学 考情速递 高考·新动向：试卷结构稳定，设问方式创新 ：2025年试卷延续“9道选择题+6道填空题+5道解答题”的固定结构与分值分布，考查重心远离单章孤立知识点，转向跨模块综合内容，像函数零点这类以往的填空压轴题，2026年有可能转为解答题。同时评分标准更严格，解答题若出现逻辑链缺失会明确扣分，以此重视学生的逻辑表达能力。 高考·新考法：一是跨章融合考查成常态，比如圆锥曲线会整合椭圆、焦点、斜率等知识点，数列解答题常与不等式、函数性质结合。二是导数题侧重“缩范围—锁最值”的建模思路，要求考生结合驻点和区间端点共同分析最值，而非仅机械求导。三是借鉴名校试题改编，经改编后考查核心知识点，需要考生掌握母题结构而非死记硬背。。 高考·新情境：题目多结合生活与实际场景设计，告别“裸题”形式。例如2025天津卷第13题以“操场跑圈”为情景考查相关知识点；导数题常以“最大容积”“最大利润”等实际问题为外衣，要求考生先将实际场景转化为数学模型再求解；还有类似其他地区卷中“大模型训练时间”这类贴合科技与生活的情景，后续大概率会在天津卷中出现。 命题·大预测：本套试卷立足新教材，重点考查必备知识、关键能力和核心素养。同时凸显了综合性、应用性、创新性、灵活性。延续“多想少算”的考查理念。第8题题目从题目呈现的三角函数对称性考点，结合天津高考数学特点不难发现基础考点的精细化考查不再单纯考三角函数的对称轴、对称中心公式，而是结合“离y轴最近”的限定条件，考查对三角函数图像局部特征的理解，规避机械套公式的刷题思维，符合天津卷“重基础、轻怪题”的新导向。 数形结合的强化，解题核心是利用“对称轴与对称中心的距离图像性质，而非纯代数运算，体现天津卷“跨模块融合（函数图像+三角运算）”的新考法，要求考生将代数条件转化为几何图像特征。试卷区分度大，体现了高考的选拔功能。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； ． 故选：B． 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不等式，解得或； 不等式，即，解得， 集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知：的定义域为，图象关于轴对称，则为偶函数． 对于A，当时，， 此时，与图不符，故A错误； 对于C，的定义域为， ， 则不是偶函数，故C错误； 对于D，在有意义，故D错误， 故选：B． 4．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，，则； 【答案】A 【详解】因为，所以平面内必存在直线， 又因为，所以，即，故A正确； 根据题意虽然平面内有直线与平行，也有直线与平行， 但不一定是相交直线，所以虽然有，，也不能推出， 所以也就不能推出，故B错误； 虽然，但仅由一条直线，是不能推出，，故C错误； 虽然，，，但不能确定是否在一个平面内，所以不能推出，故D错误； 故选：A． 5．下列结论中错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 【答案】C 【详解】对于A选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B选项，样本数据，，，的方差为8， 则数据，，，的方差为，故B正确； 对于C选项，随机变量服从正态分布，均值， 正态曲线的对称轴为， ，， 由对称性知，，，故C错误； 对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得， ，解得，故D正确. 故选：C 6．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（    ） A．100 B．80 C．50 D．30 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，因为且成等比， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：D 7．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 8．已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 9．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】取M为的中点，为右焦点，因为，    所以，所以，所以， 因为在上的投影向量的模为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以. 故选：D. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】1 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 11．在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是 ．（用数字作答） 【答案】135 【详解】由题意，，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 所以展开式中项的系数是. 故答案为：135. 12．已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意得圆上两点，，得，    设的中点为，则， 由，得， 所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆， 则， 表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点， 故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 13．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 【答案】 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 14．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则 ：若点为线段上的动点，则的取值范围为 ．    【答案】 /0.25 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 15．已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为 . 【答案】 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 由正弦定理，得， ， 又，所以，又， 所以；（5分） （2）①由（1）知，由正弦定理得， 即，解得；（9分） ②由，得，所以， 所以， 所以.（14分） 17．（15分）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点. (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)不垂直；证明见解析；(2)直线与平面所成角的正弦值为；(3)不存在，理由见解析； 【详解】（1）由题意得：三条直线两两垂直； 以为坐标原点，的方向，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，    ，，，； 所以，，， 因为，所以直线与平面不垂直.（5分） （2）由（1）的：，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，； 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为；（10分） （3）由（1）得：，，，， ，，； 设线段上是否存在一点，且，，则； 设平面的一个法向量为：，则，令，得； ，所以点到平面的距离为： ； 所以在线段上不存在一点，使得点到平面的距离是.（15分） 18．（15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得.（7分） 所以.所以.（9分） ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以.（12分） ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则.（15分） 19．（15分）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由题意， ，（2分） 又是和的等比中项，得， 又，解得，（4分） ；（5分） （2）由（1），设， 则， 将以上两式相减得 ， ；（10分） （3）， （12分） ， ，（14分） . 结论得证.（15分） 20．（16分）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)证明：当时，； (3)当时，令，记的唯一零点为，若，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：当时，，则， 可得，则切线方程为，即．（3分） （2）证明：先证：时， 设，则，所以在上单调递减，（5分） 因为，所以当且仅当时，，即； 令，则， 所以在上单调递增，所以，所以.（8分） （3）证明：由函数 可得， 令，则， 当时，，在（0，1）上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，且，（10分） 当时，存在唯一零点； 当时，，可知， 则 所以由零点存在性定理可知，存在，使得， 综上可得，函数存在唯一零点，（12分） 则，且， 所以， 因为，所以，则， 因为，所以， 令，则，所以， 下面证明， 设，则，（13分） 令，则， 所以在上单调递增，，所以在上单调递减， 再设， 由（2）知，所以在上单调递减， 所以，所以，当时取等号． 因为在上单调递减，由（2）知在上单调递减且， 则， 所以，即，所以．（16分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $