专题09 数列的综合应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦数列综合应用专题，覆盖求通项（观察法、累加法、构造法等）和求和（错位相减、裂项相消、分组求和等）核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚分层架构知识，通过考点梳理构建方法体系，结合真题训练与命题预测，帮助学生系统突破数列难点。 讲义特色在于分类突破递推式与求和模型，如构造法转化线性递推、裂项相消归纳15类模型，培养数学思维与表达能力。设置基础真题与创新模拟题分层练习，配合易错提醒即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题09 数列的综合应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 数列求通项 4 真题动向 必备知识 知识1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 知识2构造数列法求通项 知识3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 命题预测 题型1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 题型2构造数列法求通项 题型3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 考点二 数列求和 11 真题动向 必备知识 知识1公式法求和 知识2几种数列求和的常用方法 知识3常见不等式证明放缩公式 命题预测 题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和） 题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和） 题型3通项通过加减分为几部分（分组求和） 命题轨迹透视 有关数列综合应用的天津高考试题，数列问题特别突出对学生的数学思维能力的考查,所以问题的设计要始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养.既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出数学探究、理性思维的培养,又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练,培养逻辑思维、运算求解能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 数列求通项 T19，15分 T19，15分 T5，5分 数列求和 T6，5分 T19，15分 T19，15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，结合天津高考数列近五年命题规律和备考趋势，其综合应用命题将延续基础核心考查，同时强化模块交汇与适度创新，以下是具体预测： 1. 小题聚焦基础，侧重快速运算：小题大概率考查等差、等比数列基本量计算，或是前n项和与通项的关系，偶尔会出现绝对值数列求和这类特殊形式。像2025年天津卷就考了绝对值数列求和，后续可能延续这类小创新，重点考查学生对数列性质的灵活运用和快速计算能力。 2. 解答题题型稳定，求和是核心：解答题常以等差与等比数列综合为开篇，第一问多为求通项公式，第二问聚焦求和，错位相减法、裂项相消法、分组求和法是高频考点，比如2022年考分组求和与错位相减，2023年考查等比数列求和。同时可能出现含(-1)^n或分奇偶项的通项形式，增加求和的灵活性。 3. 跨模块融合集中，侧重不等式综合：数列与不等式的综合是天津卷数列压轴的常见方向，常涉及不等式恒成立求参数范围、不等式证明等问题。此外，还可能和导数结合，像之前试卷中出现的导数压轴题关联数列相关的不等式转化，以此考查学生逻辑推理和综合运算素养。 考点一 数列求通项 1．（2025·天津·高考真题，6，5分），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（2023·天津·高考真题，5，5分）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 3．（2006·天津·高考真题，5，5分）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）． A．55 B．70 C．85 D．100 4．（2004·天津·高考真题，3，5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2003·全国·高考真题，5，5分）若关于的方程与的四个根可组成一个首项为的等差数列，则的值为 （   ） A．1 B． C． D． 6．（2006·天津·高考真题，12，5分）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 7．（2007·天津·高考真题，5，5分）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2005·天津·高考真题，11，5分）数列的前项和为， 9．（2015·天津·高考真题，16，15分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，. (Ⅰ)求和的通项公式； (Ⅱ)设，，求数列的前项和. 10．（2014·天津·高考真题，5，5分）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ） A．2 B．-2 C． D． 知识1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 1.观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2.公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3.累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 4.累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识2构造数列法求通项 构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 知识3 对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 1.对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 2.倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 3.形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【易错提醒】　 在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验. 题型1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 3．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 4．（2025·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为 ． 5．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 6．（2025·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型2构造数列法求通项 7．（2025·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 8．每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 9．（2025·天津·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 10．（2025·天津·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 题型3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 11．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 12．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 13．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 14．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 15．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 16．（2025·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 考点二 数列求和 1．（2025·天津·高考真题，19，15分）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 2．（2024·天津·高考真题，19，15分）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 3．（2023·天津·高考真题，19，15分）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 4．（2022·天津·高考真题，19，15分）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 5．（2021·天津·高考真题，19，15分）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 知识1公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②；③； ④ 知识2几种数列求和的常用方法 几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 常见的裂项技巧 模型1：等差型 （1）（2）（3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）（12） 模型2：根式型 （1）（2） （3）（4） （5） （6） 模型3：指数型 （1）（2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 模型4：对数型 模型5：三角型 （1）（2） 知识3常见不等式证明放缩公式 常见不等式证明放缩公式： （1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ；， （16）糖水不等式 若，则；若，则． （17）指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. （18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：. 【易错提醒】 用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。 题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和） 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和） 6．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 7．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 8．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 10．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 题型3通项通过加减分为几部分（分组求和） 11．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 12．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，其中，求数列的前项和为； (3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：. 13．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 14．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明对于任意的，； (3)求（其中）. 15．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列的综合应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 数列求通项 4 真题动向 必备知识 知识1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 知识2构造数列法求通项 知识3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 命题预测 题型1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 题型2构造数列法求通项 题型3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 考点二 数列求和 23 真题动向 必备知识 知识1公式法求和 知识2几种数列求和的常用方法 知识3常见不等式证明放缩公式 命题预测 题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和） 题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和） 题型3通项通过加减分为几部分（分组求和） 命题轨迹透视 有关数列综合应用的天津高考试题，数列问题特别突出对学生的数学思维能力的考查,所以问题的设计要始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养.既通过归纳、类比、递推等方法的应用突出数学探究、理性思维的培养,又通过通项公式、递推公式、前n项和公式等内容进行大量技能训练,培养逻辑思维、运算求解能力。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 数列求通项 T19，15分 T19，15分 T5，5分 数列求和 T6，5分 T19，15分 T19，15分 2026命题预测 预计在2026年高考中，结合天津高考数列近五年命题规律和备考趋势，其综合应用命题将延续基础核心考查，同时强化模块交汇与适度创新，以下是具体预测： 1. 小题聚焦基础，侧重快速运算：小题大概率考查等差、等比数列基本量计算，或是前n项和与通项的关系，偶尔会出现绝对值数列求和这类特殊形式。像2025年天津卷就考了绝对值数列求和，后续可能延续这类小创新，重点考查学生对数列性质的灵活运用和快速计算能力。 2. 解答题题型稳定，求和是核心：解答题常以等差与等比数列综合为开篇，第一问多为求通项公式，第二问聚焦求和，错位相减法、裂项相消法、分组求和法是高频考点，比如2022年考分组求和与错位相减，2023年考查等比数列求和。同时可能出现含(-1)^n或分奇偶项的通项形式，增加求和的灵活性。 3. 跨模块融合集中，侧重不等式综合：数列与不等式的综合是天津卷数列压轴的常见方向，常涉及不等式恒成立求参数范围、不等式证明等问题。此外，还可能和导数结合，像之前试卷中出现的导数压轴题关联数列相关的不等式转化，以此考查学生逻辑推理和综合运算素养。 考点一 数列求通项 1．（2025·天津·高考真题，6，5分），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2．（2023·天津·高考真题，5，5分）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 3．（2006·天津·高考真题，5，5分）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）． A．55 B．70 C．85 D．100 【答案】C 【详解】数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、， 且，． 设，又都是公差为1的等差数列，所以数列也成等差， 则数列的前10项和等于， 又，， ∴， 故选：C． 4．（2004·天津·高考真题，3，5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】当点都在直线上成立时，可得，因此当时， ，所以为等差数列； 当为等差数列成立时，例如，显然点都不在直线上，所以点都在直线上”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：C 5．（2003·全国·高考真题，5，5分）若关于的方程与的四个根可组成一个首项为的等差数列，则的值为 （   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】两根为，所以有， 两根为，所以有，由题意可知：四个根可组成一个首项为的等差数列，而这四个根的和为4，这样设公差为，因此有 ，这四个根为：，显然是一个方程的两个根，是另一个方程的两个根，因此有两种可能： 是的两个根，所以，是的两个根，所以 ，此时； 是的两个根，所以，是的两个根，所以 ，此时，综上所述： 故选：C 6．（2006·天津·高考真题，12，5分）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 【答案】1 【详解】依题可得，，因为，所以的坐标为 ， 即， 故， ． 故答案为：1． 7．（2007·天津·高考真题，5，5分）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】等差数列的公差d不为0，，是与的等比中项， 所以即， 所以，所以， 所以（负值舍去）. 故选：B. 8．（2005·天津·高考真题，11，5分）数列的前项和为， 【答案】2600 【详解】 , , ， ， ， ， ， ， …………………….， . 9．（2015·天津·高考真题，16，15分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，. (Ⅰ)求和的通项公式； (Ⅱ)设，，求数列的前项和. 【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和． 试题解析：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则 两式相减得 所以． 考点：等差数列与等比数列的综合． 10．（2014·天津·高考真题，5，5分）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【详解】因为成等比数列，所以，即 故选D. 知识1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 1.观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2.公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3.累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 4.累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识2构造数列法求通项 构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 知识3 对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 1.对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 2.倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 3.形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【易错提醒】　 在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验. 题型1观察、公式法、累加法、累乘法求通项 1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 2．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 3．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 4．（2025·天津·模拟预测）数列的前项和，则数列中的最大项为 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，由已知，，， 则， 当时，，满足， 所以， 设， 则， 设数列中的第项最大， 则应满足，即， 整理得，解得， 又，所以， 又， 所以数列中的最大项为. 故答案为：. 5．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 6．（2025·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 题型2构造数列法求通项 7．（2025·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【答案】(1)(2)证明见解析；(3)见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； （2）证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； （3）证明：由（2）得， 故 ， 所以. 8．每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）设“第天选择游泳”，则“第天选择跑步”， 依题意，，，， 由全概率公式，得； . （2）由（1）得，，，， 由全概率公式，得， 则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以的表达式为. 9．（2025·天津·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 10．（2025·天津·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 题型3对数变换法、倒数变换法、型的递推式求通项 11．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 12．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【详解】当时，，可得， 因①， 可知时，②， 用①-②得：， 等式两边同乘，得到，即， 即当时，数列是公差为3的等差数列， 所以，又，所以， 又因为，则 整理得，即， 因为数列是正项数列，所以， 所以，所以 故选：A 13．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 【答案】(1)（i）;（ii）(2)证明见解析 【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得： ，又， ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 根据等比数列通项公式可得. 所以. （ii）将与两式相减可得： 即，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 由平方差公式，则 设 ① 则 ② ① - ②得： 所以 则. （2）因为，所以. 由，，可得，. 则. 设 ③ 则 ④ ③ - ④得： 所以. 则. 当足够大时，会大于2025，所以，使得 14．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 15．（2024·天津河北·二模）在数列中，若对任意的都满足（其中为常数），则称数列为等差比数列. 已知等差比数列中，，则等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．105 【答案】D 【详解】因为为等差比数列，所以， 所以，解得，由，解得： 故选：D 16．（2025·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 考点二 数列求和 1．（2025·天津·高考真题，19，15分）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 2．（2024·天津·高考真题，19，15分）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)①证明见详解；② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 3．（2023·天津·高考真题，19，15分）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 4．（2022·天津·高考真题，19，15分）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 5．（2021·天津·高考真题，19，15分）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 知识1公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②；③； ④ 知识2几种数列求和的常用方法 几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 常见的裂项技巧 模型1：等差型 （1）（2）（3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）（12） 模型2：根式型 （1）（2） （3）（4） （5） （6） 模型3：指数型 （1）（2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 模型4：对数型 模型5：三角型 （1）（2） 知识3常见不等式证明放缩公式 常见不等式证明放缩公式： （1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ；， （16）糖水不等式 若，则；若，则． （17）指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. （18）利用导数产生数列放缩：由不等式可得：. 【易错提醒】 用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。 题型1通项为等差通项乘以等比通项（错位相减法求和） 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以； （2）令， 所以； （3）由已知有， 所以①， ②， 所以①②有：，解得， 由有，即，令， 所以， 所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以， 所以. 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)1(3)存在， 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. （3）∵， ∴， 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1），， ，， 又，， ，， 由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列， ， 从而数列的通项公式为 （2）由（1）知， ， ， 设， 则， 两式相减得， 整理得， . 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设数列的公差为， 因为， 则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以， 所以数列的最大项为和，且， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． （3）因为， 设， 则 设， 所以， 两式相减得， 所以，故， 设， 所以． 题型2通项为分数形式时（裂项相消法求和） 6．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)，(2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然外递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 7．（2025·天津滨海新·三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 【答案】(1)；(2)209(3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，所以， 又因为，所以，； （2）设， 在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ， 当时，；当时，， 所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； （3）当时，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 因为，， 所以， 即. 8．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，.(2)(3)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以， 所以， . （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调； 当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或， 当时，，易知在单调递增； 当时，，易知在不单调， 所以， 所以， . （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1， 当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值， 所以的最大值为1，最小值为. 10．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)，(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列， 对恒成立，又，， ，，又，所以； （2）因为对恒成立， 所以，， ， 当时也成立， ， 又， ； （3）由（2）知， 故 ， 当时，； 当时， ； 综上可得. 题型3通项通过加减分为几部分（分组求和） 11．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）由（1）得：，， ， ， 令，又，，则， 即，. （ii）记， 则，； 当时，， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 12．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，其中，求数列的前项和为； (3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：. 【答案】(1)；(2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，解得， 公差为整数，则，又，故， 正项等比数列满足， （负值舍），故. （2）， 当时，， 令. 当时， ， 令， 综上，； （3）除数函数的函数值等于的正因数的个数， ， ， ，， 当时 ， ， 综上，. 13．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 【答案】 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 14．（2025·天津·二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)记，证明对于任意的，； (3)求（其中）. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，， 因为，， 所以，解得，而，则公比， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得等差数列的公差， 当时，，则； 当时，则，， ，因此， 所以. （3）依题意，在内的数列的所有项和为， 数列中，项及前面的项数和为， 当时， 令， 则， 两式相减得， 解得，而， 因此， 当时，满足上式， 所以. 15．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 【答案】(1)(2)(3)7 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时， ， 当时， ， 综上； （3）方法一：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为； 方法二：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时，， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $