模块二 函数与导数（综合训练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块二 函数与导数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 2．已知，则的函数值为（    ） A． B． C． D． 3．设，则的值为（   ） A． B． C．2 D．10 4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 7．函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 8．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．函数，当时，则的值为 . 11．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是 ． 12．若函数在处取得极值，则 ． 13．已知下列命题： ①命题：“，”的否定是：“，”； ②若 ，则 ，； ③若，则，； ④等差数列的前项和为，若，则； ⑤在中，若，则. 其中真命题是 .（只填写序号） 14．设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 15．已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 17．（15分）已知函数，其中，. (1)若，求：实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 18．（15分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 19．（15分）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 20．（16分）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块二 函数与导数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 2．已知，则的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 3．设，则的值为（   ） A． B． C．2 D．10 【答案】C 【详解】因为，所以， . 故选：C 4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数， 所以， 又因为在上是增函数， 所以， 故. 故选：B 5．已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 7．函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易得的定义域为， 因为，所以， 则是奇函数，关于原点对称，故C，D错误， 令，解得，而当时，，故B错误. 故选：A 8．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 9．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点， ⸫当时，至少有四个根， 令，则 解得：，⸪，⸫，即， 当时，， ①若有4个零点，此时，即； ②若有5个零点，此时，即； ③若有6个零点，此时，即； 当时，， 令，解得：， ①若，没有零点；②若，，有1个零点； ③若，，且对称轴， 当时，即，有2个零点； 当时，即，有1个零点 综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足， 或或 解得 故选：A. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．函数，当时，则的值为 . 【答案】或0 【详解】由，则， 当时，，即； 当时，，即或（舍去）. 综上所述，或. 故答案为：或0. 11．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为 即： ， 即 的图像只有两个整数点位于 的下方， 只有两个整数x，使得，当 时： ， 此时，令，解得， 此时有两个整数满足 即或， 结合图像可得的取值范围是， 故答案为：. 12．若函数在处取得极值，则 ． 【答案】 【详解】解：， 因为函数在处取得极值， 所以，，解得， 此时，， 故当时，，单调递减； 当和时，，单调递增； 所以，函数在处取得极小值，满足题意， 所以， 所以 故答案为： 13．已知下列命题： ①命题：“，”的否定是：“，”； ②若 ，则 ，； ③若，则，； ④等差数列的前项和为，若，则； ⑤在中，若，则. 其中真命题是 .（只填写序号） 【答案】①②④⑤ 【详解】对于①，全称命题的否定为特称命题，所以命题：“，”的否定是：“，”，故①正确； 对于②，因为，所以，所以，故②正确； 对于③，，所以，当今当，即，所以（舍去）， 所以，故③错误； 对于④，等差数列中，，因为，所以，故④正确； 对于⑤，在中，若，则，所以，所以，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤ 14．设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意）， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 15．已知函数，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时，      所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，解得. 故答案为： 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)；(3)． 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增.（5分） （2）由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，.（10分） （3）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为．（14分） 17．（15分）已知函数，其中，. (1)若，求：实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【详解】（1）由，则.（3分） （2）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为.（8分） （3）由，则，即， 当时，，解得或； 当时，，不等式无解. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（15分） 18．（15分）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明对于任意的实数x，总有； (3)若是的极值点，求a的值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即．（4分） （2）当时，， 则，令， 则，当且仅当时等号成立． 所以在R上单调递增． 又，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以．（9分） （3），则． 当时，可证恒成立， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，． 所以． 可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去； 当时，令， 则，且． 令，则． 显然，在R上单调递增． 令，解得． ①当时，， 可得当时，，故在上单调递增． 又， 故当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意； ②当时，， 可得当时，， 故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以当时，， 在上单调递减，故不是极值点，不合题意； ③当时，， 可得当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，所以，则在R上单调递增． 又，所以当时，， 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以是的一个极小值点，满足题意． 综上，当且仅当时，是的极值点．（15分） 19．（15分）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由题设，则；（2分） （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得；（6分） （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，.（15分） 20．（16分）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3)(4) 【详解】（1）由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：；（4分） （2）由（1）可知， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（9分） （3）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； （4）因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围.（16分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $