模块四 三角函数与解三角形（综合训练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块四 三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，即， ， . 故选：B. 2．在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：， 所以， 故选：A. 3．已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 4．如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 故选：D． 5．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，故， 整理得， 即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形， 故选：D. 6．函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长， 所以的最小正周期为，所以， 所以，由，得， 又，所以， 由，得， 所以， 所以 故选：. 7．设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由二倍角公式得， 结合诱导公式得， 因为，所以关于对称， 令，则， 因为，所以当时，最小，此时，， 因为，所以， 令，则变为， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则此时最大值为，无最小值， 得到此时有最大值，无最小值，符合题意， 由正弦函数的最小正周期公式得，故B正确. 故选：B 8．已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 9．已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由题设. 故答案为： 11．在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 【答案】 ， 【详解】由点是的中点， 则； 设，， 则， ， ， ， 所以，得,, 所以，即， 因为， 所以， ， 即，即，当时，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    故答案为：；. 12．已知，若，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由可得，即， 又因，故得，所以，， 因此. 故答案为：. 13．已知函数，（i）若，将函数沿轴向右平移个单位后得到一个偶函数，则 ；（ii）若在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】, （i）若,则, 向右平移个单位后所得函数为， 因为平移得到一个偶函数，所以, 解得， 因为，所以当时，满足题意， （ii）若在上单调递增， 则函数的最小正周期, 解得， 且， 即，解得， 又因为，所以当时，，即， 所以的最大值为. 故答案为: ；. 14．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，即， 所以， 因为， 所以， 所以，由得， 由得， 因为， 所以，即， 由及得， 设，， 因为， 所以，， 所以 将，代入得，，即， 所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故答案为：． 15．已知函数．给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则； ④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】的图象如下： 对于①，的最小正周期是，①错误； 对于②，的一条对称轴方程为，②正确； 对于③，画出图象，与在上有5个交点，这5个交点即为函数在区间上有5个零点， 从小到大依次记为，且关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 则， 故，③正确； 对于④，时，单调递增，且， 对任意，，由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 由单调性可知存在实数a，使得对任意，只有一个，满足，④错误. 故答案为：②③ 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为.（7分） （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为.（14分） 17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)8(3) 【详解】（1）由正弦定理得， ， ，， 又，所以．（4分） （2），即①， 又，即②， 由①②解得或， 又， 所以b的值为8．（9分） （3）由（2）知， 所以， ， 又，所以，， 则， 所以 ， 即的值为．（15分） 18．（15分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）因为， 所以，可得：， 由正弦定理可得：， 可得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以（8分） （2）（ⅰ）因为，且， 解得：，， 由余弦定理可得：，解得： ；（11分） （ⅱ）由余弦定理可得， 所以，，， 所以.（15分） 19．（15分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以.（5分） （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以.（9分） ②由余弦定理得 而，则， ， .（15分） 20．（16分）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1）由余弦定理，， 由，得， 由正弦定理，得， 则，又，所以， 又，所以．（6分） （2）（ⅰ）由（1）知，，得①． 由余弦定理，所以②． 由①②，得，解得， 由，解得，．（12分） （ⅱ）由正弦定理，所以， 为锐角，， ．（16分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块四 三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A． B． C． D．2 2．在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ． 11．在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 12．已知，若，则的值为 . 13．已知函数，（i）若，将函数沿轴向右平移个单位后得到一个偶函数，则 ；（ii）若在上单调递增，则的最大值为 . 14．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为 ． 15．已知函数．给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则； ④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 18．（15分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 19．（15分）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 20．（16分）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $