6.4.1二项分布（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“二项分布”核心内容，以旧知回顾（伯努利试验、两点分布）为起点，通过抛硬币、射击等生活实例引出n重伯努利试验的共同特点，逐步抽象出二项分布定义与分布列，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于融入数学建模与数据分析素养，通过飞碟射击中靶次数分析、报警器报警概率计算等实例，引导学生用数学眼光抽象概率模型，以典例推导培养数学思维推理能力，课堂小结明确模型化思想，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

6.4.1二项分布 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解n重伯努利试验的概念，掌握二项分布的定义与分布列形式. 能识别二项分布的应用场景，会用二项分布公式计算概率、均值与方差. 体会“从具体试验抽象概率模型”的思想，提升数学建模与数据分析素养. 旧知回顾 以上试验均为伯努利试验，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和失败. (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面向上的结果; 服从两点分布其均值EX=p，方差DX=p(1−p). 问题2：若每次“成功”的概率均为p，则成功次数的随机变量X服从什么分布？它的均值与方差如何计算？ 问题1：以上试验是什么试验，它们具有什么特点？ (2)某射击运动员一次射击中靶的结果； (3)检测某个产品是否为次品. 试验的共同特点： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，每次正面向上的概率为0.5; 问题3：生活中我们常遇见多次重复以上试验， (2)某射击运动员进行4次射击，每次命中目标的概率为0.7； (3)检测一批产品(共1000个)，每个产品为次品的概率为0.01. 新知探究 我们如何定义这种试验，这种试验下随机变量的分布列、均值、方差又如何求解？ ①相同条件下的试验（10次、4次、1000次）； ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； ④每次试验发生的概率相同为p，不发生的概率也相同，为1−p． 旧知回顾 在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 即时训练：判断下列试验是否是n重伯努利试验： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次． 新知探究 探究1：n重伯努利试验 (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次． (3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件． (4)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球． (1)(2)(3)每次试验条件相同,结果相互独立,是n重伯努利试验; (4)的试验结果有三种,每种出现的可能性不相等,因此不是n重伯努利试验． 旧知回顾 在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 新知探究 探究1：n重伯努利试验 n重伯努利试验的判断依据： 要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； 每次试验相互独立，互不影响； 每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生． 该试验是n重伯努利试验. 追问1：该试验是n重伯努利试验吗？ 问题4：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击4次，且各次命中目标与否是相互独立的，用X表示中靶次数，求随机变量X的分布列？ 实例分析 追问2：该试验关注的随机变量是什么？ 关注的随机变量X是命中的次数. 追问3：随机变量X有哪些取值？ X可取0,1,2,3,4. 实例分析 追问4：用(i =0,1,2,3,4)表示第i次中靶的事件，请计算X=0和X=1的概率. = 追问5：当X=k（k=0,1,2,3,4）时，事件{X=k}的含义是什么？ P{X=k}如何表示？ 实例分析 追问5：当X=k（k=0,1,2,3,4）时，事件{X=k}的含义是什么？ P{X=k}如何表示？ 事件{X=k}表示4次射击，有k次命中目标，4−k次没有击中目标. 这样，X的分布列就可以写成: 1 2 3 4 P 旧知回顾 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为 新知探究 探究2：二项分布 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X～B(n,p). 追问1：两点分布与二项分布是何关系？ 两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是伯努利试验的概率分布，与二项分布相比，两点分布是n=1的二项分布，二项分布可以看做两点分布的一般形式． 旧知回顾 一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为 新知探究 探究2：二项分布 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X～B(n,p). 追问2：二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 就是二项式(a+b)n的 如果把p看成b，1−p看成a，则 展开式的通项，由此才称为二项分布． 旧知回顾 即时训练：下列随机变量X服从二项分布吗?如果服从二项分布，其参数n,p分别是什么? 新知探究 (1)抛掷n枚均匀的相同骰子，X表示“掷出的点数为1”的骰子数； (2)n个新生婴儿，X表示男婴的个数； (3)某产品的次品率为p,X表示n个产品中的次品的个数； (4)女性患色盲的概率为0.25%,X表示任取n个女性中患色盲的人数. (1)~(4)中的随机变量X均服从二项分布. (1)中参数n为“均匀的相同骰子的枚数”，p = ; (2)中参数n为“新生婴儿的个数”，p = ； (3)中参数n为“产品的个数”，p为该产品的次品率; (4)中参数n为“女性的人数”，p = 0.25%. 例1 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率： 典例分析  (1)3台都没报警； (4)3台都报警； (2)恰有1台报警； (5)至少有2台报警； (3)恰有2台报警； (6)至少有1台报警. 解 设X表示在发生险情时3台报警器中报警的台数， ， P(X=k) 0.001 0.027 由题意知X～B(3,0.9),它的分布列为： 典例分析  (1)3台都没报警； (4)3台都报警； (2)恰有1台报警； (5)至少有2台报警； (3)恰有2台报警； (6)至少有1台报警. P(X=k) 0.001 0.027 (1)3台都没报警的概率为P(X=0)=0.001; (2)恰有1台报警的概率为P(X=1)=0.027; (3)恰有2台报警的概率为P(X=2)=0.243; (4)3台都报警的概率为P(X=3)=0.729; (5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0.972; (6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)=1−P(X=0)=1− 0.001=0.999. 例2一批产品中，次品率为3.现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量ξ表示抽取的次品的件数，求Eξ和Dξ. 典例分析 解 由题意知ξ～B(4,),它的分布列为 ， 如下表： P(ξ=k) Eξ=0+1+2+3+4=. Dξ=++ ++ =. 例2一批产品中，次品率为3.现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量ξ表示抽取的次品的件数，求Eξ和Dξ. 典例分析 ξ～B(4,), Eξ= Dξ= =4 =4 追问：假设随机变量X服从二项分布B(n，p) ，那么X的均值和方差各是什么？ 如果X~B(n，p)， 那么E(X)=np，D(X)=np(1−p)． 例3 某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10 kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30 kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001). 实例分析 分析 我们将每台机床是否能正常工作看成一次试验，那么一共有5次试验，并且它们彼此是独立的；在每次试验中，把正常工作看作“成功”,不正常工作看作“失败”,那么每次试验“成功”的概率都是0.2.如果令X为5台机床中正常工作的台数，那么X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布. 而题目中“车间不能正常工作”是指总功率超过30 kW,即X≥4. 例3 某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10 kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30 kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001). 实例分析 解 设X为5台机床中正常工作的台数，则X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布， 即 于是，由题意可得 这是一个概率很小的事件，几乎不会发生.因此，如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果，那么在总功率只能为30 kW的情况下仍可以正常安排生产. 课堂练习 1.设随机变量X服从二项分布B(6,),则P(X=3)=( ). 课堂练习 2.若某人每次射击命中目标的概率都为0.6,则经过3次射击，此人至少有2次命中目标的概率为( ). 3.设随机变量ξ～B(10,0.8),求Eξ. Eξ=10×0.8=8. 课堂小结 基本知识： n 重伯努利试验： 二项分布： 基本方法： 基本思想： 均值方差： 确定一个二项分布模型的步骤： （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； 特殊与一般思想 模型化思想 （2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； n次独立重复的伯努利试验； EX = np，DX = np(1-p). （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p). X~B(n,p)， 基础作业： 课本习题6-4A组第1，3题 拓展练习： 课本习题6-4B组第1题 布置作业 感谢聆听! $