专题6.3 平面向量线性运算的应用（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本高中数学讲义聚焦平面向量线性运算的应用，系统梳理向量在几何中基底法与坐标法的“三个步骤”及两种运算思路，衔接物理中力、速度等问题的向量转化模型，构建从方法理解到实际问题解决的学习支架。 资料以步骤化教学引导学生用数学思维精准转化几何与物理问题，如通过多边形形状判断、平行关系证明培养逻辑推理能力，结合降落伞拉力、船航行等实例渗透数学语言表达现实世界的模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过即学即练与综合题型帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

专题6.3 平面向量线性运算的应用 教学目标 1．掌握向量解决平面几何问题的基底法与坐标法，能按步骤转化问题并求解。 2．理解物理中向量的含义，会将物理问题转化为向量模型并运算。 3．熟练运用向量应用的一般步骤，处理几何关系与物理量相关问题。 教学重难点 重点：几何中向量两种运算法的运用，物理问题的向量转化及解题步骤。 难点：根据情境选合适向量方法，实现几何/物理与向量运算的精准转化。 知识点01 向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 【即学即练】 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 2．设P为内一点，且，则 ． 【答案】/ 【详解】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 知识点02 向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【即学即练】 1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【详解】设每根绳子上的拉力大小为， 则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 2．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． 题型01 判断多边形形状 1．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 故选：B 2．在四边形中，，且，那么四边形为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：，，四边形为平行四边形， 又，平行四边形为菱形. 故选：B. 3．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 4．在△ABC中，·+·+·，其中G是△ABC的重心，则△ABC的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由G是的重心，得++，则=， 由题中等式得，又均为非零向量， 所以由的表示是唯一的， 则，且，故，即为等边三角形. 故选：D. 5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 题型02 证明平行关系 6．如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 7．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】证法1：因为，， 且，所以． 因为，且和不共线，所以， 同理， 所以四边形是平行四边形． 证法2：根据角边角可得，， 所以，，所以， 所以四边形是平行四边形． 8．如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    【答案】证明见解析 【详解】分别为中点，，， ； ，可设， ，又，， . 9．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    【答案】，理由见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，所以， 设， 因为是的中点，所以， 故， 又因为三点共线， 可设，即， 即， 故，相加可得，解得， 故， 同理可证， 故可知为的三等分点， 故. 10．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】由题设，且是的角平分线，则，， 由，所以， 由和分别是和的中点，则， ，所以， 所以，即． 题型03 求线段长度 11．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 12．已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为 .    【答案】/ 【详解】由题可得， 则的最小值为的最小值，设为d， 则. 故答案为： 13．在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】解：， ，， 为斜边的中线，． 故选：B． 14．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】因为B，D，C三点共线，所以，解得，即 ， 所以，所以， 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则， 因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形， 因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝. 故答案为：.    【点睛】本题考查向量的共线定理的应用，向量的线性表示，属于中档题. 15．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 . 【答案】5 【详解】 由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示： 设， 则 ，当取得最小值. 故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题. 题型04 求面积问题 16．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】不妨设中，，边长，边长， 以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系 则、、,    ,设，则 故 可得，故 的面积为， 的面积为 则与的面积之比为 故选：C 17．在中，已知，且，则面积的最大值为 【答案】2 【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设，，，由化简可得，，所以，故面积为，即面积的最大值为2． 故答案为：2． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，． （1）求点B，点C的坐标； （2）求四边形OABC的面积． 【答案】（1），；（2）． 【分析】 【详解】（1）在平面直角坐标系xOy中，设，则 因为，所以A（2，0）．                            又．所以， 所以点．                                                    又 ，所以， 所以点                                                    由（1）可得，， 所以 又，所以四边形OABC为等腰梯形， 如图，延长CB交x轴于点D，则DC＝ DO，BD＝AD． 又，则，均为等边三角形． ∴四边形的面积. 19．设点在内部，且，则与的面积之比是 ． 【答案】3 【详解】如图： 由， 得， 从而（为的中点，为的中点）， 即， 所以为中位线的三等分点. 故． 即. 故答案为：3 20．是内一点，的面积分别记为，已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长到，使，连接，取的中点， 因为， 故共线，延长交的中点， ，又， 所以. 故选：C. 题型05 解决力的问题 21．若向量分别表示两个力，则 . 【答案】 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故答案为： 22．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 23．如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【答案】 【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    24．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【详解】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 25．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【详解】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 题型06 解决运动的问题 26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，5秒后P点的坐标为，则， 由题意有. 即 所以解得 故选: C 27．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方 (2)相等 【分析】 【详解】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 32．船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】当船以最短时间到达对岸时，船的静水速度方向应垂直于河岸. 因为垂直河岸方向的分速度越大，过河时间越短，而垂直河岸的分速度由船的静水速度提供. 所以船的实际速度是静水速度与水流速度的合速度， 所以根据勾股定理得km/h. 设实际速度方向与水流速度方向的夹角为， 则. 故答案为：①km/h②. 33．一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 八、单选题 34．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 35．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 36．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 一、单选题 1．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故， 故选：C 3．已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设，则，，，， 所以，，， 则 ． 当时，，最小． 由得，则此时． 解法2：设为的中点， 则 延长，使得，如图． 所以 由于点在线段上运动，故点的轨迹是与平行的线段． 当最小时，， 过作交于，过作交于，则， 此时，得， 由，得. 故选：C． 三、多选题 4．一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（    ） A．当该物体处于平衡状态时， B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为 C．当物体所受合力为时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确； B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误； C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确； D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N， 即，故D正确. 故选：ACD 5．设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 十、填空题 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ． 【答案】直线 【分析】 【详解】方法1：因为，， 所以. 所以三点共线. 所以点的轨迹是直线. 方法2：设，因为， 所以. 因为，所以，化简得：. 又直线的方程为：，化简得：. 所以点的轨迹是直线. 故答案为：直线 8．已知，，，过的中点任作一条直线，与射线和分别交于点和，则的最小值为 ． 【答案】． 【详解】因为， 又因为三点共线，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 9．如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    【答案】 【详解】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵，    ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为： 四、解答题 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，是边AB的中点，是CD上的一点，且，求点的坐标. 【答案】 【详解】是AB的中点，点的坐标为， ，， 设点坐标为，由线段的定比分点坐标公式可得， ，， 即点的坐标为. 11．在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为， 所以且， 所以四边形为梯形． 12．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析 (2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 、【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 平面向量线性运算的应用 教学目标 1．掌握向量解决平面几何问题的基底法与坐标法，能按步骤转化问题并求解。 2．理解物理中向量的含义，会将物理问题转化为向量模型并运算。 3．熟练运用向量应用的一般步骤，处理几何关系与物理量相关问题。 教学重难点 重点：几何中向量两种运算法的运用，物理问题的向量转化及解题步骤。 难点：根据情境选合适向量方法，实现几何/物理与向量运算的精准转化。 知识点01 向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 【即学即练】 1．已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．设P为内一点，且，则 ． 知识点02 向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 【即学即练】 1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 2．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 题型01 判断多边形形状 1．在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 2．在四边形中，，且，那么四边形为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形 3．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．在△ABC中，·+·+·，其中G是△ABC的重心，则△ABC的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型02 证明平行关系 6．如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 7．如图，已知是平行四边形对角线的交点，过点的两条直线分别交四边于四点，用向量证明四边形是平行四边形． 8．如图，设分别是梯形的对角线的中点.试用向量的方法证明：    9．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    10．如图，已知中，是的角平分线，和分别在和上，且，和分别是和的中点，求证：．    题型03 求线段长度 11．中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 12．已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为 .    13．在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（    ） A．2 B．1 C． D．4 14．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且，则AD的长为 ． 15．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 . 题型04 求面积问题 16．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 17．在中，已知，且，则面积的最大值为 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，． （1）求点B，点C的坐标； （2）求四边形OABC的面积． 19．设点在内部，且，则与的面积之比是 ． 20．是内一点，的面积分别记为，已知，其中，则（    ） A． B． C． D． 题型05 解决力的问题 21．若向量分别表示两个力，则 . 22．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 23．如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    24．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 25．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 题型06 解决运动的问题 26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 32．船在静水中的速度为，水流速度为，当船以最短时间到达对岸时，船的实际速度的大小为 ，船的实际速度方向与水流速度方向的夹角的正弦值为 ． 33．一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 34．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 35．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 36．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 一、单选题 1．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 2．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 3．已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（    ）． A． B． C． D． 三、多选题 4．一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（    ） A．当该物体处于平衡状态时， B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为 C．当物体所受合力为时， D．当时， 5．设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 十、填空题 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且，则点的轨迹是 ． 8．已知，，，过的中点任作一条直线，与射线和分别交于点和，则的最小值为 ． 9．如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    四、解答题 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，是边AB的中点，是CD上的一点，且，求点的坐标. 11．在四边形中，向量，，．求证：四边形为梯形． 12．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $