高一数学上学期期末模拟卷01（沪教版必修一全部：集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数+函数的概念、性质及应用）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一（集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数+函数的概念、性质及应用） 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．集合，，若，则 . 2．函数的严格增区间为，则实数 . 3．将化为有理数指数幂的形式为 . 4．设，，用a，b表示的结果为 . 5．已知幂函数是奇函数，则 . 6．若集合，则 . 7．已知正实数满足，则的最大值为 . 8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 9．已知，则 . 10．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 12．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（14分）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 19．（14分）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 20．（18分）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 21．（18分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一（集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数+函数的概念、性质及应用） 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．集合，，若，则 . 【答案】 【详解】由知，. 故答案为： 2．函数的严格增区间为，则实数 . 【答案】2 【详解】函数的严格增区间为 对称轴. 故答案为：2. 3．将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】由题意. 故答案为：. 4．设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 5．已知幂函数是奇函数，则 . 【答案】-1 【详解】因为函数是幂函数，所以，即， 解得或， 当时， 是奇函数，满足题意； 当 时，是偶函数，不满足题意； 故. 故答案为：-1． 6．若集合，则 . 【答案】； 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 7．已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知，， 所以，， 所以， 所以当时（此时），取最大值，最大值为. 故答案为：. 8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 9．已知，则 . 【答案】； 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 10．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：.        11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 【答案】 【详解】，由题意得，解得， 当时， 画出上的函数的图象，   是由向右平移1个单位得到， 结合图象，要想恒成立， 只需，解得 又，故， 所以a的取值范围为. 故答案为: 12．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】 【详解】， 因为，当时，，为常函数，不满足题意； 所以，，在上单调递增， 因为函数在时有最大值和最小值， 所以，解得， 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有三个不同的实数解， 所以，画出的图像如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 所以，，即，此时 或得，此时无解， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 15．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以.……（7分） （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是.……（14分） 18．（14分）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证；……（7分） （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数.……（14分） 19．（14分）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元；……（4分） （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．……（14分） 20．（18分）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为.……（4分） （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为.……（11分） （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为.……（18分） 21．（18分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数.……（6分） （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解.……（12分） （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷01 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 2 3. 4. 5. -1 6. 7. 8. 9. ； 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A A A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以.……（7分） （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证；……（7分） （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元；……（4分） （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）依题意，由，得，则，，解得， 所以不等式的解集为.……（4分） （2）由题意知， 由，得，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 所以函数的最小值为.……（11分） （3）由， 得①，化简得②， 当且时，方程②的解为，， 若是方程①的解，则，解得； 若是方程①的解，则，解得； 由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以. 因此，a的取值范围为.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立， 又，所以是倒函数. 对于定义域为， 当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数.……（6分） （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以， 要使有正整数解，则， 令，则函数在上单调递增， 因为， ， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为， 所以没有正整数解.……（12分） （3）充分性：当时，且， 因为是增函数，所以， 即，， 所以. 必要性：当时， 有， 因为恒大于，所以，即， 所以， 因为是增函数，所以，即. 综上可得是的充要条件.……（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一（集合与逻辑+等式与不等式+幂指对函数+函数的概念、性质及应用） 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．集合，，若，则 . 2．函数的严格增区间为，则实数 . 3．将化为有理数指数幂的形式为 . 4．设，，用a，b表示的结果为 . 5．已知幂函数是奇函数，则 . 6．若集合，则 . 7．已知正实数满足，则的最大值为 . 8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 9．已知，则 . 10．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 12．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（14分）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 19．（14分）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 20．（18分）已知，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，当时，，求函数的最小值； (3)当且时，关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围. 21．（18分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $