专题五微专题2 圆锥曲线中范围、最值问题 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何中圆锥曲线范围、最值核心考点，涵盖线段长度、距离、面积及几何量的最值或范围问题，按考点透析（分三子考点）与跟踪练习递进架构。通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以数学思维与数学语言为导向，如考点1结合抛物线与圆的切线问题，引导学生抽象几何关系；跟踪练习设分层题目，从基础到综合。真题覆盖多地模拟题，保障实战价值，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

专题五 解析几何 微专题2 圆锥曲线中范围、最值问题 一、考点透析 考点1 线段长度、距离最值或范围 1.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为，若点的坐标为，则(    ) A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的最大距离为 2.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且． 求的标准方程 过的直线交双曲线于，两点两点均位于轴下方，在左，在右，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求． 3．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 考点2 面积的最值或范围 1.(2025·陕西省西安市·模拟)已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为． 求直线的斜率； 若，，求面积的最大值． 2.(2025·安徽省六安市·模拟)如图，双曲线的虚轴长为，离心率为，斜率为的直线过轴上一点． 求双曲线的标准方程 若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，,直线与直线及轴的交点分别为，． (ⅰ)当时，求的取值范围 (ⅱ)当时，求的最小值． 3.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为． 求椭圆的方程； 若． 证明：； 若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 考点3 其他几何量最值或取值范围问题 1.(2025·福建省福州市·模拟)如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分，若在上，则的最大值为          ． 2.(2025·湖南省永州市·模拟)已知双曲线的左顶点，渐近线方程为 ，直线经过点，与交于不与重合的两点，， 求双曲线的方程； 求直线，的斜率之和； 设在射线上的点满足，求直线斜率的最大值． 3.(2025·湖北省十堰市·模拟)已知点，在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． 求抛物线的方程 若点在圆上，过点分别作直线，与抛物线相切于，两点，求的取值范围． 二、跟踪练习 1.（25-26高三上·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 2.(2025·广东省中山市·模拟)如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点，经抛物线反射到点，反射光线与轴的交点为，则的最小值为          ． 3.(2025·湖南省岳阳市·期中考试)已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴 求的方程； 过点的直线交于两点，求面积的最大值．  4.(2025·吉林省长春市·模拟)已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点． 证明：点为线段的中点； 求的取值范围． 5.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程 与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点，关于直线对称，且的中点的横坐标为． 求的值 若，均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 6.(2025·福建省三明市·模拟)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点点在轴上方，点在双曲线上,直线交轴于点点在点的右侧． 求双曲线的渐近线方程； 若点，且，求点的坐标； 若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五 解析几何 微专题2 圆锥曲线中范围、最值问题 一、考点透析 考点1 线段长度、距离最值或范围 1.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为，若点的坐标为，则(    ) A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】BCD  【解析】解：由圆，得圆心， 又点的坐标为，所以． 因为直线为圆的切线，所以，所以， 所以直线的方程为，即． 联立得方程组， 消去并整理，得． 因为直线与抛物线相切，所以，解得舍去， 所以抛物线的方程为，所以， 当时，方程为，解得， 所以，解得，所以切点， 所以，故A错误，B正确． 设点到直线的距离为，因为，所以 因为点到直线的距离，所以，故C正确． 因为，所以直线的方程为，即． 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确． 故选：． 2.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且． 求的标准方程 过的直线交双曲线于，两点两点均位于轴下方，在左，在右，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求． 【答案】（1） （2） 【解析】解：因为且， 所以焦点，即， 故，解得，即， 所以双曲线． 根据题意过的直线斜率为显然不满足题意， 故设过的直线为， 由 ，且， 设，，则由韦达定理有： ，， 因为， 所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 所以．  3．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即， 解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 考点2 面积的最值或范围 1.(2025·陕西省西安市·模拟)已知抛物线上有三个点，，，且直线与斜率之和为． 求直线的斜率； 若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】解：如图： 因为抛物线：过点，所以， 所以得到抛物线：， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线方程为：，即，代入， 整理得：， 由韦达定理可得：， 所以， 所以， 用代替，同理可得， 所以， 所以直线的斜率为； 设直线：，代入， 整理得：， 由韦达定理：，， 因为，，所以， 所以 ， 又点到直线的距离为：， 所以， 设，则，所以， 设， 则，由， 又因为，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 即面积的最大值为． 2.(2025·安徽省六安市·模拟)如图，双曲线的虚轴长为，离心率为，斜率为的直线过轴上一点． 求双曲线的标准方程 若双曲线上存在关于直线对称的不同两点，,直线与直线及轴的交点分别为，． (ⅰ)当时，求的取值范围 (ⅱ)当时，求的最小值． 【答案】(1) ; (2)(ⅰ) ; (ⅱ) 【解析】解：由题知解得双曲线的标准方程为． 令，设直线为：，与联立得， ， 则，，． 当时，，，由，得，又因为，即， 所以 由题知，因为，所以， 则，， 则，当取得等号，此时满足题意． 故的最小值为．  3.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为． 求椭圆的方程； 若． 证明：； 若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】 见解析； 【解析】解：设椭圆的半焦距为， 依题意得，， 当点在短轴端点时面积最大，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以椭圆的方程为． 证明：由知，椭圆的方程可化为， 设， 由，消去得， 则， 由根与系数的关系得， 因为，所以， 整理得，则， 化简得，，此时成立， 所以得证． 设的中点为， 因为，所以， 不妨设， 又， 由，得点坐标为， 则，所以， 所以 所以四边形面积的取值范围为． 考点3 其他几何量最值或取值范围问题 1.(2025·福建省福州市·模拟)如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分，若在上，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：过点作，交底面圆于，两点，连接，，， 设，则， 所以当最大时，最大，由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以，又，且平面， 所以平面， 因为平面， 所以，因为，分别是，的中点，所以， 又，则， 因为，且平面， 所以平面，则平面为截面， 因为，为，中点，所以， 所以平面，因为平面，所以， 所以则当最大时，最大， 如图为截面的平面图，以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以，则此时，． 故答案为：． 2. (2025·湖南省永州市·模拟)已知双曲线的左顶点，渐近线方程为 ，直线经过点，与交于不与重合的两点，， 求双曲线的方程； 求直线，的斜率之和； 设在射线上的点满足，求直线斜率的最大值． 【答案】 ；； 【解析】解：由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线； 设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立 消去可得， 其中， 由，则，， 又因为，， 所以 ， 将，代入， 可得， 所以直线的斜率之和为； 设，，， 联立，解得， 同理可得， 联立，解得， 同理可得， 所以，， 因为， 所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得， 当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为．   3.(2025·湖北省十堰市·模拟)已知点，在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． 求抛物线的方程 若点在圆上，过点分别作直线，与抛物线相切于，两点，求的取值范围． 【答案】 【解析】解：由题意知，两点关于轴对称，设点在轴的右侧， 则，即点的坐标为，将点代入抛物线中， 所以，解得， 故抛物线的方程为． 不妨设点，分别在第一、二象限，所在直线的方程为， ，． 由得． ，，． 由，得， 则直线的斜率，直线的方程为，即． 同理可得，直线的斜率，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，得， 解得，， 故点的坐标为． 因为点在圆上，所以，且，显然成立． 过点作轴的垂线，垂足为． ，． ． 令，，得，，． ，， 观察该函数可以发现，二次函数开口向下，则当时函数有最大值，由于， 当时，取得最小值，最小值为 当时，取得最大值，最大值为． 故的取值范围为．  二、跟踪练习 1.（25-26高三上·河南新乡·开学考试）我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左､右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（    ） A．的离心率 B．线段长度的最小值是 C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是 【答案】ACD 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，A正确； 设点，直线不垂直于轴，设直线方程为， 由消去得， ， 化简可得, 又，故， 切线的方程为，即，渐近线方程为， 对于C，由，得，设， 则，一定是线段的中点，C正确； 对于B，，则 ，当且仅当时取等号，B错误； 对于D，直线交轴于点，的面积， 因此面积的最小值是，D正确. 故选：ACD 2.(2025·广东省中山市·模拟)如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点，经抛物线反射到点，反射光线与轴的交点为，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：根据题意可知，直线过抛物线的焦点， 作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为点，如下图所示： 设，易知，可得，即， 可得， 同理可得， 因此， 由因为，所以，因此， 即的最小值为． 故答案为：． 3.(2025·湖南省岳阳市·期中考试)已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴 求的方程； 过点的直线交于两点，求面积的最大值． 【答案】； 【解析】解：依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为； 依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则， 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为．  4.(2025·吉林省长春市·模拟)已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点． 证明：点为线段的中点； 求的取值范围． 【答案】解：为的垂直平分线上一点，则， ， 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且，， 故点的轨迹方程为； 设，，． 双曲线的渐近线方程为，， 当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为， 与双曲线联立 由，且，故可得， 由 ，， 点为线段的中点， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知， 此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点， 综上，点为线段的中点； 由知，，， ， ， 当且仅当，即时取等号， ， 的取值范围为：． 5.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程 与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点，关于直线对称，且的中点的横坐标为． 求的值 若，均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围． 【答案】 ； 解：点在线段的垂直平分线上， ， 由题意知，点在线段的延长线或反向延长线上， ， 动点在以，为焦点的双曲线上，且，，进而， 动点的轨迹方程，即曲线的方程为 设，，，则， ， ，即． ，关于直线对称， ， ，即， 直线与轴不重合，则， ， ； 由题意可知直线的斜率存在，设其方程为， 由得， ， ，，， ， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，均在轴右侧，，解得， ，即， ， ， 故的取值范围为  6.(2025·福建省三明市·模拟)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点点在轴上方，点在双曲线上,直线交轴于点点在点的右侧． 求双曲线的渐近线方程； 若点，且，求点的坐标； 若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】；; 【解析】解：已知双曲线，则，所以渐近线方程为； 由知，所以， 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 设，所以 解得，即， 则，所以点的坐标为； 设直线， 所以 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．   学科网（北京）股份有限公司 $