2026年上海市沪教版（五四制）九年级数学一模复习试卷

上海市九年级数学一模复习试卷 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 2．下列四个函数中，图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 3．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（    ） A． B． C． D． 4．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A．y=2x2+3 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x+3）2 D．y=2（x﹣3）2 5．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　） A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1: 6．如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 7．已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 8．如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 9．已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么 ． 10．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为 ． 11．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 12．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度． 13．某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了 米． 14．在中，，点G是的重心，如果，那么 ． 15．如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为 ． 16．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 17．如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为 ． 18．如图，在梯形中，，，点E是中点，如果点F在上，线段把梯形分成面积相等的两个部分，那么 ． 三、解答题 19．计算：． 20．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)D是直线AB上一点，点的横坐标为，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接 求∠EBD的正弦值． 22．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）． (1)求限速道路AB的长（精确到1米）； (2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 23．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 25．如图1，中，，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，于点D． (1)当时； ①______； ②当绕点A旋转到如图2的位置时（），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (2) 当时，将绕点A旋转，使得，若，，请直接写出线段CD的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市九年级数学一模复习试卷 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．下列四个函数中，图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象上的点，函数图象上的点的坐标适合函数解析式，令，函数值也等于0，则图象经过原点．据此判断即可． 【详解】解：A、令，则，故不符合题意； B、无意义，故不符合题意； C、，则，故符合题意； D、，则，故不符合题意． 故选：C． 3．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长． 【详解】解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB； ∴AP＝2×＝ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的． 4．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A．y=2x2+3 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x+3）2 D．y=2（x﹣3）2 【答案】D 【分析】先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即可． 【详解】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位 ∴平移后的顶点坐标为（3，0）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x－3）2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟记平移规律“左加右减，上加下减”． 5．如图，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面5米高的地方，物体所经过路程是13米，那么斜坡的坡度为（　　） A．1：2.6 B．1: C．1：2.4 D．1: 【答案】C 【分析】根据题意作出合适的辅助线，由坡度的定义可知，坡度等于坡角对边与邻边的比值，根据题目中的数据可以得到坡度，本题得以解决． 【详解】如图 据题意得;AB=13、AC=5， 则BC=, ∴斜坡的坡度i=tan∠ABC==1∶2.4, 故选C. 6．如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题 7．已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可． 【详解】∵线段c是a和b的比例中项， ∴， ∴． 故答案为： 8．如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键． 根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得的长，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】坡顶B离地面的高度为，坡比， ， 由勾股定理得 ． 故答案为：． 9．已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割可得，即可得解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ． 故答案为：． 10．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为 ． 【答案】 【分析】结合题意得：；再根据角平分线的性质，通过证明，即可得到答案． 【详解】如图，，的角平分线交BC于点N，交PQ于点M ∴ ∵和周长比为 ∴ ∵的角平分线交BC于点N，交PQ于点M ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 11．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解答本题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是， 故答案为：． 12．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度． 【答案】36 【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可． 【详解】解：如图所示： ∵甲处看乙处为俯角∠DBA=36°，， ∴乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°． 故答案为：36． 【点睛】此题主要考查了仰角、俯角的定义以及平行线的性质，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． 13．某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了 米． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义． 【详解】∵坡度为， ∴设高度下降了米，则水平前进了米， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 14．在中，，点G是的重心，如果，那么 ． 【答案】12 【分析】本题考查了重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握重心的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 如图，是的中线，由G是重心，，可求，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，    ∵G是重心，， ∴是的中线，， ∴， 解得，， ∴， ∵，是的中线， ∴， 故答案为：12． 15．如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接PA、PB，作于点F，再根据圆的垂径定理即可得出答案． 【详解】如图，连接PA、PB，作于点F，根据题意可知OF=1，再由垂径定理可知，AF=BF=AO+OF=2，所以OB=OF+BF=1+2=3，即B点坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． ． 【点睛】本题考查垂径定理．作出，再结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键． 16．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 【答案】 【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键． 17．如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】先求抛物线：向右平移（＞）个单位的函数解析式，再把代入平移后的解析式，求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线：向右平移（＞）个单位可得： ： 把代入 或 或 经检验：不合题意，取 故答案为： 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，在梯形中，，，点E是中点，如果点F在上，线段把梯形分成面积相等的两个部分，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到，证明，即可求解． 连接，过作交于，交延长线于，由，得到，由点是中点，得到的面积的面积，由线段把梯形分成面积相等的两个部分，得到的面积的面积，由三角形面积公式得到，由，得到，即可求出． 【详解】解：连接，过作交于，交延长线于， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴的面积的面积， ∵线段把梯形分成面积相等的两个部分， ∴的面积的面积， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练记忆并准确代入特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入、、、的具体值，再通过四则运算和分母有理化逐步计算，最终化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 20．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可． 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 21.如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)D是直线AB上一点，点的横坐标为，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接 求∠EBD的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入得，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可求解； （2）先把点代入直线表达式求出点坐标，进而根据两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出点坐标，过点D作DF⊥BE于点F，即可求出答案。 【详解】（1）解：将代入得 点坐标为 点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的表达式为：． （2） 解：过点D作DF⊥BE于点F， 将代入一次函数得 即点的坐标为， 将代入反比例函数得 即点坐标为， ， ∵BE= =4 又∵∠OED=45 ∴DF=EF= ∴BF=3 ∴BD=2 ∴sin∠EBD== 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键． 22．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）． (1)求限速道路AB的长（精确到1米）； (2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【答案】(1)1507米 (2)超速，见解析 【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案； （2）求出该汽车的速度，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意，得∠CAB=37°，CD=220米，∠DAB=30°，∠DBA=45°， 如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F， ∵CD∥AB， ∴四边形CDFE是矩形， ∴CE=DF，CD=EF， ∵∠DBA=45°， ∴DF=BF， 设DF=BF=CE=x米， 在Rt△ADF中，∠DAF=30°，DF=x米， ∴AF=DF÷tan30°=DF=x（米）， ∴AE=AF-EF=（x-220）米， 在Rt△AEC中，∠CAE=37°， ∵CE=AE•tan37°， ∴x=（x-220）×0.75， 解得x=60（3+4）=（180+240）米， ∴AE=x-220=（320+240）米， FB=x=（180+240）（米）， ∴AB=AE+EF+FB =320+240+220+180+240 =780+420 ≈1507（米）， 答：限速道路AB的长约为1507米； （2）∵1分20秒=小时， ∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h， ∴该车超速． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键． 23．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【详解】（1）（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴,， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 25．如图1，中，，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，于点D． (1)当时； ①______； ②当绕点A旋转到如图2的位置时（），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (2)当时，将绕点A旋转，使得，若，，请直接写出线段CD的长． 【答案】(1)①；②成立，见解析 (2)或2 【分析】(1)①根据平行线性质，得到∠AED=∠B=30°，根据sin30°的函数值及其正弦定义，列出比例式即可． ②根据30°角的函数值及其正弦定义，列出比例式，结合夹角，证明△ACD∽△ABE即可． (2) 分在AC的左侧和右侧两种情况求解． 【详解】（1）①∵，，， ∴ED∥BC，∠AED=30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②结论仍成立，理由如下： ∵，， ∴∠AED=30°，∠CAB=∠DAE=60°， ∴，∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD， ∴，∠CAD=∠BAE， ∴△ACD∽△ABE ∴． （2）∵，∠B=45°， ∴∠AED=45°，∠CAB=∠DAE=45°， ∴AC=BC，AD=DE， 当∠DEB=90°位于AC的右侧时，如图， 过点A作AF⊥BE，交BE的延长长线于点F， ∵∠DEB=90°，∠AFE=90°，∠ADE=90°，AD=DE， ∴四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE=EF=AF=， ∵AC=5， ∴AB=， ∴BF==3， ∴BE=BF-EF=3-=2， ∵，∠CAB-∠BAD=∠DAE-∠BAD， ∴，∠CAD=∠BAE， ∴△ACD∽△ABE ∴， ∴． 当∠DEB=90°位于AC的左侧时，如图， 过点A作AF⊥BE，交BE于点F， ∵∠DEB=90°，∠AFE=90°，∠ADE=90°，AD=DE， ∴四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE=EF=AF=， ∵AC=5， ∴AB=， ∴BF==3， ∴BE=BF-EF=3+=4， ∵，∠CAB+∠EAC=∠DAE+∠EAC， ∴，∠CAD=∠BAE， ∴△ACD∽△ABE ∴， ∴． 故CD的长为或2． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $