学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷（人教B版，选择性必修第一册+第二册）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 4．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 11．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是 （用数字作答） 13．有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望 ． 14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 16．（15分）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 17．（15分）某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； (2)列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? (3)若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 4．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 11．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是 （用数字作答） 13．有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望 ． 14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 16．（15分）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 17．（15分）某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； (2)列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? (3)若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得， 所以, 故选：B 2．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A．55 B．55.8 C．59 D．51 【答案】D 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 4．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 5．如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，所成的角为，所以. 故选：A. 6．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 【答案】A 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知，则 B．设随机变量服从，若，则 C．已知随机变量服从，若，则 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 【答案】ACD 【详解】对于A： ，所以A正确； 对于B： 因为变量，所以， 所以B错误； 对于C： 根据二项分布的期望和方差公式可得，， 解得，所以C正确； 对于D： 独立性检验中，若统计量大于临界值，则在的显著性水平下， 可判断分类变量与不独立，本题中，所以D正确. 故选：ACD. 10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 11．如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是 （用数字作答） 【答案】 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 13．有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望 ． 【答案】 【详解】依题意，的可能取值为，总的选取可能数为， 其中：即４次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故； ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现３次，可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现２次，可能情况有种， 故； ：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现２次， 可能情况有种，故； 所以. 故答案为： 14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线上任意一点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】设，则，代入曲线方程得， 即，当，即时，得，矛盾； 当即时， 可得，又，故， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. (1)求展开式的所有二项式系数之和； (2)求的值； (3)判断的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 2分 所以展开式的所有二项式系数之和为. 4分 （2）令，得. 6分 令，得， 所以. 8分 （3）展开式的通项. 由得. 11分 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 13分 16．（15分）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 3分 又因为平面， 所以平面平面. 5分 （2）因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 6分 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 8分 设平面的法向量为，则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 10分 而. 设与平面所成角为， 则， 13分 因为， 所以. 15分 17．（15分）某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”. (1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； (2)列出列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关? (3)若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人的概率. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， 所以， 则，，， 3分 所以的分布列为 0 1 2 5分 则. 6分 （2）由题意，列联表如下： 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 8分 零假设：宣传效果与宣传方法无关. 经计算得， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 11分 （3）14人中，采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 记事件表示“第一次抽到‘有点了解’的人”， 事件表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为‘有点了解’的人”， 则，， 13分 所以. 15分 18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 3分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 6分 ∴． 8分 （2）（ⅰ），， 10分 所以，，，． 所以． 12分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． 15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 17分 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求的取值范围及的值； (3)点，在椭圆上，且关于坐标原点对称，过点与垂直的直线与椭圆的另一个交点为，轴，垂足为，直线与轴交于点，的面积和的面积分别记为，，求的值. 【详解】（1）由题意，解得， 3分 所以椭圆的方程为. 4分 （2）设，则有，两式相减得 ， 6分 联立直线与椭圆的方程得， 消去整理得， 则有，解得，. 9分 （3）设，则，由题意显然知， 直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 与椭圆联立， 消去得：， 所以， 11分 解得，， 直线的方程为， 13分 令，则， 15分 所以. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 40 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A A C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 2分 所以展开式的所有二项式系数之和为. 4分 （2）令，得. 6分 令，得， 所以. 8分 （3）展开式的通项. 由得. 11分 因为r为整数，所以，所以的展开式中第5项系数的绝对值最大. 13分 16．【详解】（1）因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 3分 又因为平面， 所以平面平面. 5分 （2）因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 6分 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 8分 设平面的法向量为，则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 10分 而. 设与平面所成角为， 则， 13分 因为， 所以. 15分 17．【详解】（1）依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， 所以， 则，，， 3分 所以的分布列为 0 1 2 5分 则. 6分 （2）由题意，列联表如下： 宣传方法 了解程度 合计 有点了解 比较了解 方法一 12 30 42 方法二 24 18 42 合计 36 48 84 8分 零假设：宣传效果与宣传方法无关. 经计算得， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01. 11分 （3）14人中，采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的有人， 记事件表示“第一次抽到‘有点了解’的人”， 事件表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为‘有点了解’的人”， 则，， 13分 所以. 15分 18．【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 3分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 6分 ∴． 8分 （2）（ⅰ），， 10分 所以，，，． 所以． 12分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． 15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 17分 19．【详解】（1）由题意，解得， 3分 所以椭圆的方程为. 4分 （2）设，则有，两式相减得 ， 6分 联立直线与椭圆的方程得， 消去整理得， 则有，解得，. 9分 （3）设，则，由题意显然知， 直线的斜率为，因为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 与椭圆联立， 消去得：， 所以， 11分 解得，， 直线的方程为， 13分 令，则， 15分 所以. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $