精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

武安一中2025-2026学年第一学期12月考试 高一 数学 注意事项： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．请将全部答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即得答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，，再进行并集运算即可求解. 【详解】， 或， 所以或， 故选：D. 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 5. 函数在下列区间一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断作答. 【详解】函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得，即， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：C． 8. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 角和角是终边相同的角 B. 是的必要不充分条件 C. 函数的值域为 D. 函数且的图象恒过定点． 【答案】CD 【解析】 【分析】通过终边相同角的定义、充分必要条件的逻辑关系、换元法求函数值域、指数函数的定点性质，逐一验证各选项. 【详解】选项A ，终边相同的角需相差的整数倍，， 不是的整数倍（，终边与相同）， 故与终边不同，故A错误. 选项B ,若，则（），可推出； 但时，若，则，无法推出. 故是的充分不必要条件，而非必要不充分条件，故B错误. 选项C ,设（），则， 代入函数得 该二次函数开口向下，对称轴为，在时单调递减. 当时，；当时，，故值域为，故C正确. 选项D ,对函数（且）， 当时，，故， 即图象恒过定点，故D正确. 故选：CD 10. 已知且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为10 B. 的最大值为40 C. 的最小值为 D. 的最小值为200 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式一一判断即可. 【详解】对于A：因为且， 所以，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为10，故A正确； 对于B：， 所以，当且仅当，即，时取等号， 即的最大值为，故B错误； 对于C： ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，故C正确； 对于D：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为200，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数图象，即可判断A，由与有且仅有个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断B，结合图象可得，再由对称性即可判断C，将式子转化为关于的解析式，结合函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下： 对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合同角三角函数的关系式，根据齐次式法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以. 故答案为：1. 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由已知条件可得出，，结合不等式的基本性质得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出的最大值； 方法二：由得，可求得，可得出，画出函数、的图象，数形结合可得出的最大值. 【详解】方法一：由题意可知，且，， 由不等式的基本性质可得， 而， 即， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为； 方法二：由得，由可得， 所以，则， 画出函数、的图象， 由图可知，当时，即时， 即当时，取最大值，且其最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再根据集合的交，并，补运算公式，即可求解； （2）分集合和两种情况，比较端点值，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 ， 对于函数，有，解得，则. ，则； 【小问2详解】 当时，，得到，符合题意； 当时，或，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，可得，求出取值范围，再结合复合函数和对数函数单调性可得出函数的最小值. （2）根据在上单调性和对数函数的定义域，联立关于的不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为； 设内层函数，可知其对称轴为，则内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为，可知时，内层函数有最小值，即； 又因为外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，在区间上内层函数单调递减，函数单调递减，在区间上内层函数单调递增，函数单调递增，所以. 【小问2详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，根据复合函数单调性可知，内外层函数在上同为增函数， 由内层函数在上为增函数，对称轴，且在区间上，可知，解得. 因此，实数的取值范围是. 17. 为了应对美国可能对华贸易的不当竞争，到2034年，某外贸玩具公司计划将生产成本控制在80万元，要比2024年下降20%，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024年后第年的成本支出为万元. （1）求2024年的生产成本为多少万元 （2）求的解析式； （3）按此计划，到哪一年，可以将该工厂的成本控制在45万元以内？（参考数据：，） 【答案】（1）100万元； （2），； （3）2058年. 【解析】 【分析】（1）利用给定关系列式计算得解. （2）由已知列出函数关系，再利用指数运算求出. （3）利用对数函数单调性解不等式. 【小问1详解】 设2024年的生产成本为万元，则，解得（万元）， 所以2024年的生产成本为100万元. 【小问2详解】 设每一年生产成本降低的百分比都为，则，解得， 所以，. 【小问3详解】 依题意，，即，则， 两边取对数得，解得， 而，因此， 所以按此计划，到2058年，可以将该工厂的成本控制在45万元以内. 18. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 【答案】（1）函数的解析式为： ； （2）函数在上单调递增; （3）不等式的解集为：. 【解析】 【分析】根据函数是定义在上的奇函数的定义与性质，解答函数单调性的定义证明，再利用函数的奇偶性与单调性解抽象函数不等式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，奇函数的性质，分、、三种情况求解， 当时，已知函数， 当时，因为函数是上的奇函数，所以， 当时，令，则， 由奇函数性质，得： ， 综上，的解析式为： . 【小问2详解】 任取，且， 有： 因为，指数函数单调递增，所以， 又因为，，故分母， 因此，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则原不等式化为： ，即：， 因为函数在上是增函数，且是奇函数， 所以函数在上是增函数， 所以，整理得：， 即，解得： 或 ， 所以，不等式的解集为：. 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 由题意，； . （2）奇函数， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. 【小问3详解】 由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武安一中2025-2026学年第一学期12月考试 高一 数学 注意事项： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．请将全部答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在下列区间一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 8. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 角和角是终边相同的角 B. 是的必要不充分条件 C. 函数的值域为 D. 函数且的图象恒过定点． 10. 已知且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为10 B. 的最大值为40 C. 的最小值为 D. 的最小值为200 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 已知，则________． 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 17. 为了应对美国可能对华贸易的不当竞争，到2034年，某外贸玩具公司计划将生产成本控制在80万元，要比2024年下降20%，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024年后第年的成本支出为万元. （1）求2024年的生产成本为多少万元 （2）求的解析式； （3）按此计划，到哪一年，可以将该工厂的成本控制在45万元以内？（参考数据：，） 18. 已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $