九年级数学上学期期末（一模）模拟卷01（沪教版九上全册：相似三角形+锐角的三角比+二次函数）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末（一模)模拟卷01 参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 2 3 4 5 6 A A B B B 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.2 8.y=-x2+2 3 10.6 11.24 12.8 21±5v5 13. 1:37 14.36 15.9 16.10 17, 4 181<D 三、解答题（本大题共7题，共78分） 19.(10分) 【详解】解：sin245° cot60° 2cos30°+tan600+sin30° √3 2 3 、2 +3 2…(6分) 2 11,1 =262…(8分) 6· …(10分) 20. (10分) 【详解】(1)解：由表格可知，抛物线经过点 1,0)(3,0 1+3 对称轴为x= 2 =2, 根据表格可知，顶点坐标为2-】 ·顶点纵坐标比两侧数值小， 开口向上， 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为 2,-0 :…(5分) (2)证明：抛物线与x轴相交于点A(点A在对称轴的右侧)，与y轴相交于点B,顶点为C, A(3,0),B0,3)C(2,-1 AB2=(3-02+0-32=18,4C2=(3-2+[0-(-]=2,8C2=(0-22+[3--H]=20, AB2+AC2=18+2=20=BC2 .∠BAC=90°， 即△ABC为直角三角形.…(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：如图，过点A作AM⊥CD于点M, B CM D 在RaA8M中.B=10:mB--是 AB 5' .AM=6, :.BM=VAB2-AM2=V102-6=8 BC=5, ∴.CM=BM-BC=3, 'AD=AC,AM⊥CD, ..CM=DM=3, ·.tan∠ADC三=号=2：…(5分) (2)解：∠E=∠BAC,∠ABE=∠CBA, .△ABE∽△CBA, AB BE ·BCAB' 10 BE 5=10’ 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=20 .DE=BE-BC-CM-DM=20-5-3-3=9.…(10分) 22.(10分) 【详解】解：过点N作NB⊥MM于点B,则：∠NBM=90°，∠CMB=a, MN⊥L .∠CMN=90°， .∠MNB=∠CMB=90°-∠BMN=a, 在Rt△MBN中，BN=MN.cosa=mcosa; MD N幻接收透镜 光学成像设备O .…(5分) □ 激光发射器 C,物体初 ,物体最终位置 参考平面始位置 目标测量平面 (2)作N'D∥MN,交MM'于点D MN'∥1，MN⊥1 ∠N'M'D=a,DW'⊥MW' 多 ADM'=MN'≈25.DN-MN'≈20 cosa 3 cota 3' ..OD=OM'-DM'=44 3 N'D∥MN, .△DON'AMON, MN OM 132 DN'OD44 =9 3 MN=9DN=9x 3 =60.…(10分) 23.(12分) 【详解】(1)证明：AD·BC=BECD, 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD CD BE BC AD CD 在RtAADC与RtABEC中，∠E=∠A=90°， BE BC △ADCr△BEC, .∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠EBC, 又∠ADC=∠EDB, .∠EDB=∠EBC, 在△EBD与△ECB中，∠EDB=∠EBC,，∠E是公共角， .△EBD∽AECB EDBE BE EC' BE2=ED·EC 即 …(6分) (2)解：延长CA、BE交于点H,如图： H ,由三角形内角和可得 B C:∠ACD=∠BCE ∠BEC=90° ∠EBC=∠H .BC=CH, 又∠ACD=∠BCE, .BH=2BE =2EH, 在Rt△ABH与Rt△BEC中，∠BEC=∠BAH=90°，∠EBC=∠H, .RteABH∽Rt△BEC, AB BH CE BC AB·BC=2BE·CE 即 …(12分) 24.(12分) 【详解】(1)解：“抛物线'=ar(a<0 经过直线'-上的点 ·点A在第四象限， 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点 (,-),由01=22 得点42-2) 将点42-2)代入y=ara<0得2=0解得a= 2, 得该抛物线的表达式为y= -7X;…(3分) (2)解：①抛物线y=-2先向右平移1个单位，再向上平移kK>0)个单位后，所得新抛物线， 新抛物线表达式为y=-)+大， 如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H, 4 3 54-3习19 2345x -24 -3 -4 在RtAACH中，tan∠OCA= AH 4 CH-9 ..CH=9 ’ 0C= 2, c乳 将点C0)代入= 5 2x-02+k, 解得k=3;…(6分) ②设直线'=-与新抛物线的对称轴x=1交于点E,则点E的坐标为山， 点B的坐标为(3，)， ∴.∠OED=∠DEB=45°， 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :直线x=1平行于y轴， .∠COD=∠ODE, 5 .0C2 √100D√10 0D104'DE 41 OC OD OD DE' ∴.△CDAOED .∠0DC=∠OED=45°， .∠OPB=∠ODC=45°， ∠0PE<45°， 分两种情况： L.当点P在线段DE的延长线上时， :∠OED=∠DEB=45°， .∴.∠OEP=∠PEB=135° .∠OPE+∠POE=∠OPE+∠PBE=45°， ∴.∠POE=∠EPB, .AOPE~△PBE, PE BE OE PE' .PE2=OE.BE=√2x2√2=4， .PE=2, 点P的坐标为(，-3)， IⅡ.当点P在射线DE上时， ∠BDE=45°， ∠0PD<45°， ·点P在ED的延长线上， 在直线x=1上取点F,), 同理可得△OPF∽△PBD. PF BD OF PD' ∴PF.PD=OF·BD 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2+PD)PD=V2·22=4 PD=√5-1 六点P的坐标为0,2+⑤)】 综上所述：点P的坐标为1，-3到或1,2+ ）.(12分) 25.(14分) 【详解】(1)解：过点E作EG∥BD,交AC于点G. 由∠ABC是“线垂”三角形ABC的“分角”，AB<BC, 可知BC=2AB, AE是△ABC的中线， .BC=2BE, :AB=BE, :BD是△ABC的角平分线， .AF =EF, EG∥BD, .△AFD△AEG,△CEGP△CBD, DF AF 1 EG EC 1 EGAE2 BDBC2 .BD:FD=4:1的值等于3 ∴.BF:FD的值等于3；…(4分) 2)解：在边C上取点M,使W-B,联结A灯 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 那么△ABM是“线垂三角形”，∠B是“分角”， BM BA 1 可得BA=BC2, :∠B为公共角， △ABM∽△CBA AM 1 CA2 ∴.△ACM也是“线垂三角形”，∠MAC是“分角”；…(9分) (3)解：作∠B和∠CAM的平分线，交点为O,联结OC,延长AO,交边BC于点N, △ABM∽△CBA 由(2)得 .∠BAM=∠ACB, 可得∠ANB=∠ACB+∠NAC, 又.∠BAN=∠BAM+∠MAN, ∴.∠ANB=∠BAN :BA=BN =BC=CN 2 ∴.BO⊥AW,ON=OA=a. 延长AN至点G,使NG=ON,联结CG, M BN=CN,∠BWO=∠CNG,NG=ON, 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BON≌△CGN .CG=b,∠CGN=∠BON=90°， 在R0cC中，由勾股定理得OG+CG2=0C, 即2aP+b=c .4a2+b2=c2 …(14分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末（一模）模拟卷01 考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知，那么的值是 ． 8．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 9．计算：＝ ． 10．如图，直线，如果，，那么长 ． 11．已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 12．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 13．如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 14.（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 15．如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 16．如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 17．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 18．如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 21．（10分）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 22．（10分）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 25．（14分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末（一模）模拟卷01 考试版 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知，那么的值是 ． 8．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 9．计算：＝ ． 10．如图，直线，如果，，那么长 ． 11．已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 12．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 13．如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 14.（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 15．如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 16．如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 17．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 18．如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 21．（10分）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 22．（10分）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 25．（14分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末（一模）模拟卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ， 故选：． 2．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 5．如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 6．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 8．将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是， 故答案为：． 9．计算：＝ ． 【答案】 【详解】解：原式， 故答案为：． 10．如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 12．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 13．如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 14.（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 15．如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 【答案】9 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 16．如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【答案】10 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 17．在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为 ． 【答案】 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 【详解】解： ……（6分） ……（8分） ．……（10分） 20．（10分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为；……（5分） （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形．……（10分） 21．（10分）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；……（5分） （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．……（10分） 22．（10分）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； ……（5分） （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．……（10分） 23．（12分）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即；……（6分） （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即．……（12分） 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为；……（3分） （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得；……（6分） ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或.……（12分） 25．（14分）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【详解】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3；……（4分） （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”；……（9分） （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴．……（14分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $