第25章 锐角的三角比（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制九年级上册

第25章 锐角的三角比 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（      ）． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定. 2．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 3．在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（　　） A． B．4 C．4 D．6 4．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 5．修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若为锐角，且，则（    ） A．0°< <30° B．30°<<45° C．45°<<60° D．60°<<90° 9．△中，，那么三边是（     ） A．1：2：3 B． C． D． 10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算： ． 12．在中，，，，则的余切值为 ． 13．中，若，则 度． 14．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 16．如图，中，，于点，如果，，那么的值是 17．在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为 ． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．已知，在中，，，．求： (1)的长； (2)的值． 21．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 22．如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 23．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的值； (2)连接交于点，求的长． 24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 25．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设， (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)若，求线段的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 锐角的三角比 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（      ）． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定. 【答案】C 【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角B的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角B的余弦函数值也不变． 【详解】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角B的大小没改变，所以锐角B的余弦函数值也不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值． 2．以下与tan30°大小相等的是（　　） A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60° 【答案】B 【分析】分别求出特殊角锐角三角函数值，即可求解． 【详解】解：因为 ， A、 ，故本选项不符合题意； B、 ，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、 ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握 角锐角三角函数值是解题的关键． 3．在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（　　） A． B．4 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在中，，由和，可求出． 【详解】解：在中，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键． 4．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 5．修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项. 【详解】由题意得： tanα=. 故选：C. 【点睛】此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值. 6．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 7．如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 8．若为锐角，且，则（    ） A．0°< <30° B．30°<<45° C．45°<<60° D．60°<<90° 【答案】D 【分析】首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值，确定在哪两个特殊值之间即可． 【详解】解：∵cos60°=，cos90°=0， ∵0＜＜， ∴cos90°＜cosA＜cos60°， ∴60°＜A＜90°． 故选D． 【点睛】本题考查了余弦函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 9．△中，，那么三边是（     ） A．1：2：3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由∠C＝90°，tanA＝，设CD＝x，得出AD＝2x，再由勾股定理得出AC＝x，由三角形的面积得出AC•BC＝CD•AB，得出BC：AB＝1：，进一步利用勾股定理得出AC，得出三边的比即可． 【详解】解：如图， 过点C作CD⊥AB，垂足为点D， ∵∠C＝90°，tanA＝，设CD＝x， ∴AD＝2x， ∴AC＝＝x， ∵AC•BC＝CD•AB， ∴BC：AB＝CD：AC＝1：， 由勾股定理的AC＝＝， ∴BC：AC：AB＝1：：． 故选：B． 【点睛】此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题． 10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵菱形的边长为6， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得 ∴． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12．在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 13．中，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值． 【详解】解：由题意知，， ，， ∴，， ∴， 故答案为：105． 14．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与x轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 16．如图，中，，于点，如果，，那么的值是 【答案】/ 【分析】根据题意得出，继而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 17．在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形．过G作于点H，根据旋转变换的性质得到，，根据解直角三角形求出，，证明，进而求得根据勾股定理便可求得． 【详解】解：过G作于点H， 由旋转变换的性质可知， ， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ， ， 故答案为：． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，先利用特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．已知，在中，，，．求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画图，再利用，求解，再利用勾股定理求解即可； （2）直接利用锐角的正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，    在中，，，， ∴， ∴． 由勾股定理，得； （2）． 【点睛】本题考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段． 21．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 22．如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．    (1)求车库的高度； (2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据坡度，可求得的值，根据可求得答案． （2）根据，，可分别求得，的长度． 【详解】（1）根据题意，得 ． 所以，． 所以，． 所以，车库的高度为． （2）根据题意，得 ，． 所以，． 所以，点与点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的值； (2)连接交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理逆定理得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）连接交于点，首先利用勾股定理求出，然后求出，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，连接交于点， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 25．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设， (1)求梯形的面积； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)24； (2)，定义域：； (3)． 【分析】（1）过点、作，，由梯形的性质得，，由求出，然后根据梯形面积公式计算即可； （2）由得，，，证明得 ，由得，设，，代入整理可得； （3）由，得，过点作，设面积为，由相似的面积为，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）过点、作， ∵梯形中，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴梯形面积； （2）由得，， ， 设， 则 解得 ∵， ∴ ∴定义域： （3）由，得 过点作，设面积为， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ①若点在边上， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②若点在边延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，段的长为或． 【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求函数解析式及定义域等知识，难度较大，属中考压轴题． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$