专题03 解直角三角形14大题型（期末复习知识清单）九年级数学上学期沪科版

该初中数学解直角三角形专题清单涵盖三角函数概念、特殊角值、解直角三角形及应用等5大知识模块，配套14类题型训练与3项易错警示，搭建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+题型变式+易错点拨”三维架构，如特殊角三角函数值表直观呈现数量关系，实际应用题融入仰角俯角等模型构建，培养抽象能力与应用意识。题型分层设计适配不同学情，教师可精准教学，学生能自主突破重难点。

专题03 解直角三角形（5知识&14题型&3易错） 【清单01】三角函数的概念 1. 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 2. 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 【清单02】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【清单03】锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【清单04】解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) 两直角边(如a，b) 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） 一直角边和一锐角（如a，∠A） 另一直角边和一锐角（如b，∠A） 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【清单05】解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80° 【题型一】锐角三角函数的相关概念 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 【变式1-1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山东省济南市钢城区辛庄中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值、正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【变式1-2】 ．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市深圳高级中学3校联考2023-2024学年九年级下学期 开学考试数学试题 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 【变式1-3】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【题型二】求三角函数值 【例2】如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州工业园区八校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学卷 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 【变式2-1】在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】浙江省丽水市景宁县、青田县2024-2025学年九年级下学期中考二模数学试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查余弦函数的定义，在直角三角形中，余弦等于邻边比斜边．先利用勾股定理求出斜边，再计算． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 【变式2-2】 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】河南省周口市沈丘县几校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-3】．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山西省长治市高平市多校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 【知识点】正弦的概念辨析、以弦图为背景的计算题 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后再根据正弦的定义即可解答；运用勾股定理求得斜边是解题的关键． 【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12， ∴每个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为， ∴， 故选：C． 【题型三】利用三角函数值求边长 【例3】如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2022年广东省潮州市潮安区中考数学二模试卷 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、已知余弦求边长 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解直角三角形的应用，掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题关键．根据题意得到是的中位线，从而得出，则，由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边一半，得到，再利用特殊角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3-1】．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 【变式3-2】 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】浙江省温州市鹿城区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷 【知识点】余弦的概念辨析、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 【变式3-3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2024年山东省临沂市河东区九年级中考数学第一次模拟试题 【知识点】正弦的概念辨析、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，在中，解直角三角形求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕， ∴． ∵再一次折叠纸片，使点A落在的处并使折痕经过点B，得到折痕， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【题型四】锐角三角函数与网格问题 【例4】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【来源】 山东省淄博市博山中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学（五四制）试题 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理及勾股定理逆定理．解题的关键是表示出所需线段长．利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，根据求出值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 【变式4-1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、求角的正切值 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 【变式4-2】 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山东省淄博市博山区第一中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题（五四学制） 【知识点】等边对等角、勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【变式4-3】如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】山东省烟台市牟平区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．连接、，先证明，E、C、B共线，再根据，求出、即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为a，由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、C、B共线， 在中，． 故选：A． 【题型五】特殊角三角函数值的混合运算 【例5】在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2025年湖南省长沙市华益中学中考二模数学试卷 【知识点】等边三角形的判定、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】计算． 【答案】 【难度】0.65 【来源】专题12 锐角三角函数-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用） 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-2】 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】山东省淄博市博山区白塔镇中心学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（五四制） 【知识点】实数的混合运算、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法、乘方以及分母有理化，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】 【详解】（1）解：原式 ； 【题型六】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例6】已知在中、都是锐角，，那么的形状是___________． 【答案】直角三角形 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【变式6-1】已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【难度】0.65 【来源】河南省濮阳市清丰县仙庄镇初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状、特殊角三角函数值的混合运算、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 【变式6-2】若，则是___________三角形． 【答案】直角 【难度】0.65 【来源】山东省聊城市东昌府区孟达外国语联盟2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】绝对值非负性、三角形的分类、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式6-3】已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【难度】0.65 【来源】4.2 正切 九年级数学上册（ 湘教）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年九年级上学期同步练 【知识点】绝对值非负性、特殊三角形的三角函数、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 【题型七】已知角度比较三角函数值大小 【例7】 比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】重庆市长寿中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、特殊角三角函数值的混合运算、互余两角三角函数的关系 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 【变式7-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山东省聊城市东阿县第三中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式7-2】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市舒城县2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 【知识点】互余两角三角函数的关系、特殊三角形的三角函数、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 【变式7-3】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】山东省济宁市汶上县第一实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题 【知识点】互余两角三角函数的关系、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 【题型八】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例8】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】山东省淄博市淄博第四中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 【变式8-1】已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】江苏省 苏州市苏州工业园区星海实验初级中学　 2024-2025学年上学期九年级数学十月练习卷 【知识点】特殊三角形的三角函数、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-2】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】黑龙江省大庆市肇源县四校联考2023-2024学年九年级上学期开学数学试题 【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 【变式8-3】已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，根据当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解， 【详解】解∶ ∵为锐角，且， 又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小， ∴， 故选∶C． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小． 【题型九】互余两角三角函数值关系 【例9】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】湖南省郴州市桂阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 （7） 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 【变式9-1】若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试题 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】根据：若，则cosα=sinβ. 【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)= cosα＝ 故选B 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键． 【变式9-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【难度】0.65 【来源】安徽省淮南市寿县广岩初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】利用同角三角函数关系求值、求证同角三角函数关系式 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式9-3】如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【题型十】解直角三角形 【例10】在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【难度】0.85 【来源】陕西省榆林高新区第二中学2025-2026学年上学期第二次月清九年级数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由得， 由得； 由得， 综上，，，． 【变式10-1】在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【来源】山东省菏泽市曹县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题 【知识点】已知余弦求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 【变式10-2】如图，在中，，是高．若，则 = ． 【答案】6 【难度】0.85 【来源】福建省泉州市永春县2025-2026学年上学期期中考九年级数学试卷 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据锐角三角函数的计算得到，则，，由此即可求解． 【详解】解：在中，，是高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 【变式10-3】如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理得到 ，，即可证明，得到，再解，得到，则，由此求出的长即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型十一】解非直角三角形 【例11】 如图，在中，，，，则的长为___________，的面积为___________． 【答案】 【难度】0.65 【来源】7.2正弦、余弦（练习）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版） 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、解非直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 【变式11-1】（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 【答案】（1）（2）或 【难度】0.65 【来源】江苏省锡山高级中学实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值求解； （2）通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：（1）在中，，， ∴； （2）如图，作于点， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点， 在中，， ∴， ， 在中，, ∴， ∴； 综上，的长为或． 【变式11-2】 如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 【答案】 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州市教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期中测试卷 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练进行解直角三角形是解题的关键． 过作交于，由可得，再根据可解得，再由，则即可求得，再由求解即可． 【详解】过作交于， ，， ，即， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 故的长为． 【变式11-3】如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市碑林区翱翔中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； （2）过点C作于点F，由题意易得，设，则根据勾股定理可得：，然后可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， 设，则根据勾股定理可得：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型十二】仰角俯角问题 【例12】万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 【答案】 98.2米 【难度】0.65 【来源】湖南省湘潭市湘钢一中教育集团市十二中2025-2026学年上学期期中调研 九年级数学学科试题卷 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题. 根据题意可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， 设米， 则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 答：万楼的高约为米． 【变式12-1】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】上海市浦东新区2025--2026学年上学期九年级期中数学试卷 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式12-2】 在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】旗杆高度约为 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市曲江第一学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，理解题意，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，延长交于点，四边形，四边形均是矩形，设，在中，，在中，，代入列式求解得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 根据题意得到，，， ∴， ∴四边形，四边形均是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中，， 整理得，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴旗杆高度约为． 【变式12-3】某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【难度】0.65 【来源】湖北省十堰市郧县桂花中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．设点B到的距离为，由题意可知，米，，米，，，在中，利用求出的长，设米，则米，然后在，利用求出x的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点B到的距离为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可知，米，，米， 在中，（米）， 米， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， 米， ∵， ∴在中，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 答：的长为米． 【题型十三】方位角问题 【例13】 如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，） 【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【难度】0.65 【来源】2022年湖南省邵阳市中考数学真题 【知识点】与方向角有关的计算题、含30度角的直角三角形、解非直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可． 【详解】 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示： 根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km）， 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°， tan∠DBC=，即=1 ∴CD=BD 设BD=CD=xkm， 在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°， ∴tan∠DAC=，即 解得x=15+15≈40.98， ∵40.98km>40km ∴这艘船继续向东航行安全． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义． 【变式13-1】如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【难度】0.85 【来源】河南省安阳市第十中学、七中、十一中等十校联考2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 【变式13-2】 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． (1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)能，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】湖南省永州市零陵区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、解非直角三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过B点作AC的垂线BD交AC于点D，则AD为所求，根据已知条件得到即可解答； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据救援速度求出救援时间，最后与2小时进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过B点作AC的垂线BD交AC于点D， 由题意可知：，， ∴，(海里) ， ∵垂线段最短，AC上的D点距离B点最近，AD即为所求， ∴渔船航行海里时，距离小岛B最近． （2）解：能，理由如下： ∵海里，海里， ∴在中，根据勾股定理，(海里)， ∵救援队的速度为每小时30海里， ∴救援时间为：(时)， ∵， ∴救援队能在2小时内到达C处进行救援． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，以及解直角三角形的应用中的方向角问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，并正确作出辅助线进行求解． 【变式13-3】钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【难度】0.85 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【题型十四】坡度坡比我问题 【例14】如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【来源】山西省晋城市高平市部分学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】相似三角形实际应用、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 【变式14-1】2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为； ④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【来源】山东省淄博市高新区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（五四学制） 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用计算器求锐角三角函数值 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：按键顺序正确，故正确； ， ， ， 在中，， 米，故正确； 坡角为，故错误； ， ， ，故正确； 故选：C． 【变式14-2】如图，在某公路旁有一大型矩形广告牌，小刘想测量该广告牌的高度，她在广告牌前的处测得广告牌的底部处的仰角为，接着小刘再沿着坡度为的斜坡走了13米到达处，测得广告牌顶端处的仰角为，已知广告牌立柱的高度为7米，其中．则该广告牌的高度为（　　）米．（结果精确到0.1，参考数据：） A．18.2 B．16.2 C．15.2 D．13.2 【答案】B 【难度】0.4 【来源】2021年重庆市西南大学附属中学校初2021级第九次月考 数学试题 （中考前最后一次） 【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键作出合理的辅助线；先解得得长度，由坡度比设出未知数，根据勾股定理算出，再解得的长度，即可得到答案； 【详解】解：如图所示；延长交于，过点作于交延长线于点． 由题和图可知：，四边形是矩形；米，，； 在中，， ∵， ∴米， ∵小刘再沿着坡度为的斜坡走了13米到达处， ∴可设， ∴， 解得：（舍负）， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， 该广告牌的高度为米． 故选：B． 【变式14-3】“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】(1)5米 (2)米 【难度】0.65 【来源】河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 【题型十五】从实物中构建数学模型 【例15】图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 【答案】 【难度】0.65 【来源】 山东省聊城市阳谷县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【详解】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 【变式15-1】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】第二十章 解直角三角形（单元测试�基础卷）数学北京版九年级上册 【知识点】含30度角的直角三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，根据直角三角形的性质和正切的定义求出，，结合正切的定义求出，即可求解； （2）结合正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∴． 【变式15-2】 下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 8.5m 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【难度】0.4 【来源】安徽省宿州市第九中学2024-2025学年 九年级上学期期末数学试卷 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 【变式15-3】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1：某一时刻测得米， ①请直接写出 ； ②请求出此时影子的长度； 任务2：这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】（1）①；②米；（2）小明会被太阳光照射到．理由见解析 【难度】0.65 【来源】山东省东营市垦利区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题（五四学制） 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务1：①如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得米，再由正切的定义可得答案；②过点作于点，再求出米，可证，，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，据此求出的长，进而求出的长，由此可得结论． 【详解】解：任务1：①如图，过作于， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴； ②如图，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ，， ，， ， ， 四边形为矩形，米， 米． 在中，， 又， ， 解得米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到． 理由如下：如图，过点作交于点． 由任务1知，， ，， 是等边三角形， ∴米， 米，（米）． 在中，米， 在中，米， ∴米， 在中，， 小明会被照射到； 【变式15-4】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】2024年浙江省绍兴市柯桥区中考数学二模试题 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【变式15-5】如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】专题07 几何基础证明与解直角三角形及其应用（8大题型35题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 【变式15-6】近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 【答案】 【难度】0.65 【来源】江苏省淮阴中学新城校区2025-2026学年上学期11月期中九年级数学试题 【知识点】根据矩形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为，分别解，，求出，的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 在中，， ． ，，． ． ． ∴点到的高度为． ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 【变式15-7】便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如图，为的中点． 桥梁模型展示状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水） (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性  B．两点确定一条直线  C．两点之间线段最短 (2)在图1的水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度． （参考数据：） 【答案】(1)A (2) 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市第七中学等校2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试题 【知识点】三角形的稳定性及应用、等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）根据题意可证是等腰直角三角形，则可以设，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． 【详解】（1）解：综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． （2）解：根据题意知，，是的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 此时水桶下降的高度为． 【变式15-8】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 (2)线段的长度为 【难度】0.4 【来源】广东省深圳实验学校坂田部2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 【变式15-9】根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图    任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】任务1：踏板离地面的高度约为 任务2：电工可以换下灯泡，理由见解析 【难度】0.4 【来源】山东省泰安市岱岳区2025--2026学年上学期九年级期中考试数学试题 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务1：在中，，，由即可求解；任务2：由题意可知：当时，最大， ，同时利用任务1中的结果即可得出结论． 【详解】解：任务1：在中，，， ， ， 答：踏板离地面的高度约为； 任务2：电工可以换下灯泡， 理由如下：由题意可知：当时，最大， 在中，， 则， ， 电工可以换下灯泡． 【题型一】锐角三角函数概念混淆 【方法点拨】熟记正弦、余弦、正切的定义，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可． 【详解】解：由勾股定理，得 ABBC， ∴sinA， 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【变式1-1】如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 【题型二】记错特殊角三角函数值 【方法点拨】要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 【例2】 计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 【答案】（1）21； （2）． 【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可． 【详解】解：（1）原式＝31+2 1 ＝21； （2）原式＝1 ． 【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【变式2-1】下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：是无限不循环小数，不是有理数，故选项A错误； ，是有理数，故选项B正确； 是无限不循环小数，不是有理数，故选项C错误； 是无限不循环小数，不是有理数，故选项D错误； 故选B． 【变式2-2】 ． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】计算：． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． 首先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 【题型三】解直角三角形的实际应用 【方法点拨】正确理解仰角、俯角、坡角、坡比、方向角等的概念 【例3】如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．作于D，根据速度和时间先求得的长．在中，求得的度数，再求得的长度，然后根据求出的长． 【详解】解：如图，作于D，    在中，，， ∴， 在中，∵， ∴． 故选：A． 【变式3-1】如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 【变式3-2】如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ， 解得：， 则． 故选：D． 【变式3-3】图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 13．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选： D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形（5知识&14题型&3易错） 【清单01】三角函数的概念 1. 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 2. 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 【清单02】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 【清单03】锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【清单04】解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如a，c) 两直角边(如a，b) 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） 一直角边和一锐角（如a，∠A） 另一直角边和一锐角（如b，∠A） 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【清单05】解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是，坡角越大，坡度越大. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80° 【题型一】锐角三角函数的相关概念 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 ．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型二】求三角函数值 【例2】如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】江苏省苏州工业园区八校联考2025-2026学年九年级上学期期中数学卷 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算的值． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点不共线， 由网格可知，， 在中， ， ， 故选：． 【变式2-1】在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】 如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用三角函数值求边长 【例3】如图，在中，，、分别是、的中点，若，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【变式3-2】 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【题型四】锐角三角函数与网格问题 【例4】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A． B． C． D． 【题型五】特殊角三角函数值的混合运算 【例5】在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【变式5-1】计算． 【变式5-2】 计算： (1)； (2) 【变式5-3】 【题型六】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例6】已知在中、都是锐角，，那么的形状是___________． 【变式6-1】已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【变式6-2】若，则是___________三角形． 【变式6-3】已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【题型七】已知角度比较三角函数值大小 【例7】 比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【变式7-3】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型八】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例8】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型九】互余两角三角函数值关系 【例9】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式9-3】如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【题型十】解直角三角形 【例10】在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【变式10-1】在中，，，，则的长为 ． 【变式10-2】如图，在中，，是高．若，则 = ． 【变式10-3】如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型十一】解非直角三角形 【例11】 如图，在中，，，，则的长为___________，的面积为___________． 【变式11-1】（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 【变式11-2】 如图，在三角形中，已知，，点D为边上一点，且，，求的长． 【变式11-3】如图，中，，点D，E分别在边，的延长线上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型十二】仰角俯角问题 【例12】万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 【变式12-1】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】 在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【变式12-3】某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【题型十三】方位角问题 【例13】 如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，） 【变式13-1】如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 【变式13-2】 如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行． (1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由． 【变式13-3】钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【题型十四】坡度坡比我问题 【例14】如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【变式14-1】2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为； ④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式14-2】如图，在某公路旁有一大型矩形广告牌，小刘想测量该广告牌的高度，她在广告牌前的处测得广告牌的底部处的仰角为，接着小刘再沿着坡度为的斜坡走了13米到达处，测得广告牌顶端处的仰角为，已知广告牌立柱的高度为7米，其中．则该广告牌的高度为（　　）米．（结果精确到0.1，参考数据：） A．18.2 B．16.2 C．15.2 D．13.2 【变式14-3】“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） (1)求坡顶到地面的距离； (2)计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【题型十五】从实物中构建数学模型 【例15】图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 【变式15-1】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【变式15-2】 下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 8.5m 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【变式15-3】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 任务1：某一时刻测得米， ①请直接写出 ； ②请求出此时影子的长度； 任务2：这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【变式15-4】随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【变式15-5】如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【变式15-6】近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 【变式15-7】便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如图，为的中点． 桥梁模型展示状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水） (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性  B．两点确定一条直线  C．两点之间线段最短 (2)在图1的水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度． （参考数据：） 【变式15-8】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【变式15-9】根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图    任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 【题型一】锐角三角函数概念混淆 【方法点拨】熟记正弦、余弦、正切的定义，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，，则 ． 【变式1-2】在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【题型二】记错特殊角三角函数值 【方法点拨】要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 【例2】 计算． （1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°； （2）（cos230°+sin230°）×tan60°． 【变式2-1】下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】 ． 【变式2-3】计算：． 【题型三】解直角三角形的实际应用 【方法点拨】正确理解仰角、俯角、坡角、坡比、方向角等的概念 【例3】如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【变式3-2】如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是(    )． A． B． C． D． 【变式3-3】图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 13．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $