专题06 函数零点的综合应用12类题型（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题06 函数零点的综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断函数零点所在区间（共5小题） 1．（24-25高一上·云南·期末）设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求解可得结论. 【详解】令，可得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】函数的定义域为，且函数在单调递增， 当时，，，， ，， 所以，所以函数在必有一个零点. 故选：D 4．（24-25高一上·天津和平·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及零点存在性定理可求解. 【详解】由可得：函数定义域为，且在上单调递增. 因为函数在上单调递减， 所以 因为， 所以由零点的存在性定理可得：该函数的零点所在区间是. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏·期末）函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【详解】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 题型二 根据零点所在区间求参数（共7小题） 6.（24-25高一上·江苏·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 8．（24-25高一上·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】令，利用零点存在定理求解. 【详解】令，定义域为，且连续， 又， 所以方程的一个实根必在， 所以， 故选：C 9．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 10．（23-24高一上·天津·期末）若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得存在，使得函数在区间上有零点，分情况讨论，若不是函数的零点则转化为在的值域与有交集，然后分，和三种情况求的值域，然后由值域与有交集可求得a的取值范围. 【详解】存在，使得函数在区间上有零点， 若为函数的零点，则， 若不是函数的零点，则，由， 得，则在的值域与有交集， ①若，则由对勾函数的性质可知在上递增，在上递增， 所以其值域为，此时无交集，舍去； ②若，则由对勾函数的性质可知在和上递减，在和上递增， 所以其值域为，则，故； ③若，则在和上递减， 所以其值域为，则，故． 综上． 故答案为： 11.（24-25高一上·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意， 综上所述有：. 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·期末）设实数、满足方程有实数根，泽的最小值为 . 【答案】 【分析】分析可得，设，可得，令，其中，则方程有绝对值大于或等于的实数解，利用二次函数的零点分布可得出关于、的不等式（组），结合二次函数的基本性质可求得..的最小值. 【详解】显然不满足方程，所以，， 在方程两边同时除以可得， 令，则， 当时，则，当且仅当时，等号成立， 当时，则，当且仅当时，等号成立， 所以，， 则方程可化为， 设，其中， 所以方程有绝对值大于或等于的实数解，所以，可得，① 由可得，由， 可得， 由绝对值三角不等式可得，② 由①②可知，只需讨论的情形： 当时，令，易验证①②均满足，此时； 当时，条件②变为，化简可得，满足条件①， 此时，所以，， 当且仅当，时，取最小值. 题型三 零点存在性定理的应用（共4小题） 13．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理及函数单调性求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由， 则，由零点存在性定理，在内有零点，故A错误； 对于B，计算，则， 由零点存在性定理，在内有零点， 任取，则， 因为，， 故，即，所以在内单调递减， 因此在区间内有且仅有1个零点，故B正确； 对于CD，由AB知，，，且， 且函数最多只有3个零点， 由零点存在性定理可知，函数有3个零点，不妨设为，故D错误， 则， 则，故零点之和为0，故C错误. 故选：B 14．（25-26高一上·贵州·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，，，，的函数值，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】和都是上的增函数． 故是上的增函数． ，， ，， 则，所以A错误． ，所以B错误． ，所以C正确． ，所以D错误． 故选：C． 15.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，在上的单调递减，结合零点存在性定理得到，从而得到或，故，其他不正确. 【详解】， 其为上的单调递减函数， 其中，， 故只有一个零点， 又，， 又，所以， 或， 若，则， 若，则， 故，D正确，C错误；或，AB错误. 故选：D 16.（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角函数周期计算公式求解即可； （2）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【详解】（1）的最小正周期为， ，； （2）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且， 因为，所以， 所以， 在上单调递减，，所以． 题型四 二分法求函数的零点（共8小题） 17.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 18.（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】若函数满足， 根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有，那么函数在区间内有零点. 但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的， 比如函数，当，时，， 但在上没有零点. 所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时. 这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 19.（25-26高一上·安徽·期末）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 【答案】 【分析】根据零点存在性定理，结合题设条件即可得解． 【详解】因为，可得方程的根落在区间内． 故答案为：． 20.（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 21.（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 22.（24-25高一上·江苏南京·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 【答案】 【分析】根据零点的存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次计算，即可的得到答案. 【详解】由函数的零点时，第一次经过计算得，， 即，可得零点， 根据二分法，第二次计算. 故答案为： 23.（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B 24.（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【答案】 【分析】根据二分法，计算函数值的正负即可作答. 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 题型五 求函数零点的个数（共6小题） 25.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 26.（24-25高一上·江苏无锡·期末）不等式在区间上的整数解的个数是（    ） A．674 B．676 C．1348 D．1349 【答案】B 【分析】整理可得，结合正弦型函数的周期性分析求解即可. 【详解】因为，所以， 可得，所以，所以， 因为的最小正周期为， 又，，， 可知满足在内的整数解为1，2，即一个最小正周期内有2个整数解， 又，则不等式在内有2个整数解， 在内有个整数解. 所以不等式在区间上的整数解的个数是. 故选：B. 27.（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 【答案】ABD 【分析】对于A项，求出函数的值域即可判断；对于BCD项，作出的图象即可依次判断. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以成立，即选项A正确； 作出的图象（如图所示），    由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点， 即，，即选项D正确； 对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点， 即选项C错误； 对于B：的零点个数等于 的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图与的图象的交点个数为2，即选项B正确． 故选：ABD 28.（多选）（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 29.（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据函数的解析式及性质，分别作出与的图象，根据图象交点个数，即可得答案. 【详解】因为，所以的周期为2， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 令，则， 即求与在上交点个数， 作出与图象，如图所示    所以与图象在上有11个交点， 则函数在区间内的零点个数为11. 故选：B 30.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数. 【详解】当时，，所以0是的零点， 当时，， 因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，则， 所以在上有且仅有1个零点， 当时，，易知在上单调递减， 又，则， 所以在上有且仅有1个零点， 综上，的零点个数为3. 故答案为：3. 题型六 根据函数零点个数求参数（共4小题） 31.（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据二次函数、幂函数、对数函数的图象特点画出函数，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，单调递增，且的值域为； 当时，单调递增，所以，即值域为； 当，，当时，取得最大值2，故值域为且，画出函数图象如图所示： 要想有两个零点， 则的图象与直线有两个交点，则或或， 所以AD正确. 故选：AD. 32.（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设，，求得函数的对称轴方程为， 根据题意，得到，即可求解. 【详解】设，， 可得，所以关于对称， 又， 所以关于对称， 所以函数的对称轴方程为， 要使得函数有且仅有一个零点，则需满足，即， 解得，所以实数的值为. 故答案为：. 33.（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导可得的单调性，由题意得，求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 又时，，又时，， 要使函数有3个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 34.（25-26高一上·湖南长沙·期末）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 题型七 二次函数零点的分布（共6小题） 35.（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意得，解出的范围，再逐一验证即得. 【详解】令，其图象对称轴为， 由方程 的两根都大于 1，等价于， 即，解得即 对于A：因是的真子集，故是方程 的两根都大于 1 的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由上分析知，是方程 的两根都大于 1 的充要条件，故B错误； 对于C：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故C错误； 对于D：因，若取，故不是方程 的两根都大于 1 的充分条件，故D错误. 故选：A. 36.（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【分析】首先判断二次函数的根是否为两个异根，再根据零点存在定理使，最后解不等式即可求解. 【详解】若，即， 则此时的解为； 若，即或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 37.（25-26高一上·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记，根据零点的分布列不等式求解即可. 【详解】记， 由题意，整理为，解得． 即a的取值范围是. 故答案为： 38.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可． 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在点（2，0）的右侧， 如图． 根据图象可得，解得． 故答案为：． 39.（多选）（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 40.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) (3) 【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解； （2）由，，三种情况分类讨论即可； （3）通过或，结合判别式及零点存在性定理求解； 【详解】（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 当时，，显然在区间上单调递增，符合； 当时，对称轴为：，且开口向上， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 当时，对称轴为：，且开口向下， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围； （3）若函数在区间上有且仅存一个零点， 当时，由，解得：，符合； 当，对于，若，即时，方程有一根，符合， 若，① ，因为对称轴为：，又， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，即，故：； ② ，对称轴为：，， 若函数在区间上有且仅存一个零点， 需满足：，且，即且，解得：； 综上实数的取值范围是 题型八 数形结合思想判断函数零点的大小（共6小题） 41.（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 42.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 43.（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 44.（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 45.（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案. 【详解】易知三个函数均为增函数，又，所以； ，所以，所以. 故选：B 46..（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 题型九 求函数零点的和（共5小题） 47.（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 48.（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 49.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 50.（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数． (1)求； (2)证明：函数的图象关于点对称； (3)当时，求函数的所有零点的和． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由解析式可得，即可证结论； （3）应用方程法，结合给定区间求函数的零点，进而求和即可得. 【详解】（1）已知函数，则． （2）由， 所以函数的图象关于点对称． （3）令，即， 所以或，，解得或， 因为，则，，，，． 51.（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据周期公式求出，即，再根据正弦函数单调区间求法求单调区间； （2），则，根据，求得或，分别在，，研究根的情况，得到答案. 【详解】（1）因为函数的周期为， 所以周期，解得，即函数； 由正弦函数的单调性，可令， 解得，，即的单调递增区间为； （2）由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为，， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述：方程的所有根的和为． 题型十 嵌套函数（单函数）的零点问题（共6小题） 52.已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 53.（24-25高二下·河北沧州·期末）已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用一元二次方程解得或，再结合分段函数图象应用7个不相等的实数根得出不等式计算即可求解. 【详解】由可得， 故或，画出函数的图象，如图所示， 要使方程共有7个不相等的实数根， 因为与有3个交点，所以与有4个交点, 所以，即． 故选：D． 54.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，即得，解得或，作出函数的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令，则有，即，所以或， 作出函数的图像： 当时，与有两个不同的交点， 即只需与有3个不同的交点即可， 由图可知：，所以， 故答案为：. 55.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，结合图形分析得到答案． 【详解】解：令， 当时，令，则，即， 解得：，不符题意，舍去； 当时，令，则或， 即或， 由图象可知，有两解，则有一个解， 则只需，解得：， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 56.（24-25高一上江苏宿迁·期末）已知函数f（x）＝x2+2x+a（a＜0），若函数y＝f（f（x））有三个零点，则a＝ . 【答案】 【分析】令，由，可得，再根据有三个零点，结合的图象得到，解方程得到的值. 【详解】解：令，由可知，， ∵，有三个零点， ∴有三解， 由图象的图象，可知有两个解，有一个解，则， ∴. 故答案为：. 57.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 关于x的方程有六个相异的实数根， 则方程在内有两个不同实数根，所以， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型十一 嵌套函数（与二次函数）的零点问题（共2小题） 58.已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 59.（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于 . 【答案】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下：    令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故答案为： 题型十二 函数的零点在解答题中的应用（共9小题） 60.（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【分析】对于A，根据题中条件进行验证即可；对于B，根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在性定理即可判断；对于D，代入分析即可. 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 61.（23-24高一上·广东深圳·期末）已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像与解析式，得到，即可比较与1的大小. （2）对分类讨论，分别求出满足关于的方程有且只有一个实根时的取值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）   由题意得， 所以， 因为，所以， 所以. （2）若关于的方程有且只有一个实根， 即，且，有且只有一个实根， 若，则，符合； 若，则， 在时只有一个根， 对称轴为，而， 所以符合， 当时，若在时只有一个根， 令，其对称轴为， 时，， 若即，则在单调增， 而，所以不满足在时只有一个根， 若，即时， 在单调递减，在单调递增， 因为，，，且即， 所以在时不可能只有一个根， 综上：. 62.（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为3，最大值为7． (2) (3)． 【分析】（1）根据二次函数的性质得出最值； （2）根据函数不单调列不等式计算求参； （3）解法1：分及两种情况分类讨论求零点或结合零点存在定理计算范围；解法2：先计算对称轴为，再分，及，结合零点存在定理计算求解. 【详解】（1）当时，， 所以的对称轴为， 所以在区间上的最小值为，最大值为． （2）由已知，得的对称轴为． 因为在区间上不单调， 所以． 由，解得， 故的取值范围是 （3）解法1：由已知，得． 1）当即，或时， 由，得，此时的零点为3，不符合题意： 由，得，此时的零点为，符合题意． 2）当即，或时， ①若，此时的对称轴 且 所以在区间内存在零点，符合题意 ②若，此时的对称轴， 所以在区间内单调递减． 又因为， 所以在区间内存在零点只需满足， 解得． 综上，的取值范围是． 解法2：由已知，得的对称轴为， 1）当即时，， 此时在区间内有零点为，符合题意． 2）当即时，， 此时在区间内无零点，不符合题意， 3）当即，且时， 由在区间内存在零点，则有以下两种情况： ①，解得，或 ②解得． 综上，的取值范围是． 63.（25-26高一上·吉林·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令设，则，则转化为有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果. 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 则，解得. （2）不等式可化为，即， 所以，则，得， 所以不等式的解集为. （3）关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， 所以或，且， 所以或， 综上所述：. 64.（24-25高一上·贵州黔西·期末）对于函数，若存在，使得，则称为“不动点”函数，称为的一个不动点． (1)若函数，试判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上有且仅有两个不动点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2) 【分析】（1）根据“不动点”函数的定义，转化为函数的零点问题，结合零点存在性定理可得答案； （2）根据题意转化为两个函数公共点的个数问题，利用换元法结合二次函数知识可得答案. 【详解】（1）函数是“不动点”函数，理由如下： 设，若是“不动点”函数，则存在零点， 易知为减函数，， 所以存在，使得，即是“不动点”函数. （2）由题意在区间上有两个解， 即有两解，在区间上直线与有两个公共点； 令，则，， , 所以当时，函数在区间上有且仅有两个不动点，所以实数a的取值范围是. 65.（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角函数周期计算公式求解即可； （2）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【详解】（1）的最小正周期为， ，； （2）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为，， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点； ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且， 因为，所以， 所以， 在上单调递减，，所以． 66.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据对数函数性质解不等式即可； （2）问题转化为方程有且仅有一个属于的实数解，再求出在有一解时的范围，然后解相应的不等式即可得． 【详解】（1）因为，所以原不等式可化为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若当时，关于的方程有且仅有一个实数解， 则方程有且仅有一个实数解， 所以有且仅有一个属于的实数解． 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，， 当趋向于0时，趋向于， 所以或，解得或或， 所以实数的取值范围是． 67.（24-25高一上·广东深圳·期末）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数． (1)证明：的定义域为； (2)若在上仅有一个不动点，求实数a的取值范围； (3)若在区间上有两个不动点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2). (3) 【分析】（1）根据对数函数的概念可得，整理得，结合指数函数的图象与性质即可证明； （2）由新定义知有一个解，利用换元法可得方程有一个解，分类讨论的取值情况即可求解； （3）由新定义，方程在上有两个解，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）由题意知，，即， 整理得，又， 所以对于恒成立， 故的定义域为R. （2）因为在R.上仅有一个不动点， 即方程有且仅有一个解， 将等式变形为， 令，则方程变形为， 整理得①， 令，则在上单调递增，所以. 方程①可化为， 当时，，即，整理得，由解得； 当时，方程有一个根，则，解得， 此时，解得，即，整理得，由解得. 综上，. （3）在上有两个不动点， 由（2）知，当时，，则， 所以方程在上有两个解， 设，则，即， 解得，即实数的取值范围为. 68.（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为4 (2)， (3) 【分析】（1）先利用二次函数求解内层函数的最值，然后再利用指数函数的单调性求出外层的最值，即可得解. （2）结合函数的奇偶性，利用方程组法求解析式. （3）依题意，，利用换元法将原问题转化为在存在零点，然后利用二次函数根的分布列不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，， 的图象是开口向上， 以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值， 又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2， 从而的最大值为，即4． （2）因为    ①， 以代入，可得， 因为为奇函数，有：， 为偶函数，有：， 于是有       ②， 联立①和②，解得：，． （3）依题意， . 当，由在上单调递增可知，， 要使在上存在零点， 即要在存在零点， 又是开口向下的抛物线且， 则需或，解得， 所以满足题意的实数的取值范围为． $专题06 函数零点的综合应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断函数零点所在区间（共5小题） 1．（24-25高一上·云南·期末）设函数，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津和平·期末）已知函数，则该函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏·期末）函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 题型二 根据零点所在区间求参数（共7小题） 6.（24-25高一上·江苏·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津和平·期末）方程的一个根所在的区间为，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·天津·期末）若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为 ． 11.（24-25高一上·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 12．（24-25高一上·上海·期末）设实数、满足方程有实数根，泽的最小值为 . 题型三 零点存在性定理的应用（共4小题） 13．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 14．（25-26高一上·贵州·期末）方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 16.（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 题型四 二分法求函数的零点（共8小题） 17.（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 18.（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19.（25-26高一上·安徽·期末）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内 20.（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 21.（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 22.（24-25高一上·江苏南京·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则第二次应计算的函数值是 ． 23.（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 24.（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 题型五 求函数零点的个数（共6小题） 25.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 26.（24-25高一上·江苏无锡·期末）不等式在区间上的整数解的个数是（    ） A．674 B．676 C．1348 D．1349 27.（多选）（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 28.（多选）（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 29.（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 30.（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数，，则函数的零点个数为 . 题型六 根据函数零点个数求参数（共4小题） 31.（多选）（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 32.（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数有且只有一个零点，则实数的值为 . 33.（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 34.（25-26高一上·湖南长沙·期末）若，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是 . 题型七 二次函数零点的分布（共6小题） 35.（25-26高一上·江苏泰州·期中）方程 的两根都大于 1 的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 36.（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 37.（25-26高一上·安徽·期末）若关于的方程的一根比2小且另一根比2大，则a的取值范围是 ． 38.已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 ． 39.（多选）（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 40.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围． 题型八 数形结合思想判断函数零点的大小（共6小题） 41.（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 42.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 43.（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44.（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 45.（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 46..（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 题型九 求函数零点的和（共5小题） 47.（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 48.（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 49.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 50.（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数． (1)求； (2)证明：函数的图象关于点对称； (3)当时，求函数的所有零点的和． 51.（24-25高一上·四川泸州·期末）设函数的周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求方程的所有根的和． 题型十 嵌套函数（单函数）的零点问题（共6小题） 52.已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 53.（24-25高二下·河北沧州·期末）已知函数，若关于x的方程有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 54.（24-25高一上·江苏·期末）已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则实数m的取值范围是 . 55.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 56.（24-25高一上江苏宿迁·期末）已知函数f（x）＝x2+2x+a（a＜0），若函数y＝f（f（x））有三个零点，则a＝ . 57.（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，若关于x的方程有六个相异的实数根，则实数a的取值范围是 ． 题型十一 嵌套函数（与二次函数）的零点问题（共2小题） 58.已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 59.（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于 . 题型十二 函数的零点在解答题中的应用（共9小题） 60.（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 61.（23-24高一上·广东深圳·期末）已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 62.（24-25高一上·北京丰台·期末）设函数，其中． (1)当时，求在区间上的最大值和最小值： (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)若在区间内存在零点，求的取值范围． 63.（25-26高一上·吉林·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 64.（24-25高一上·贵州黔西·期末）对于函数，若存在，使得，则称为“不动点”函数，称为的一个不动点． (1)若函数，试判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上有且仅有两个不动点，求实数a的取值范围． 65.（24-25高一下·河北保定·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)设函数，，证明：有且只有一个零点，且． 66.（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围． 67.（24-25高一上·广东深圳·期末）对于函数，若存在，使得，则称是的一个不动点．已知函数． (1)证明：的定义域为； (2)若在上仅有一个不动点，求实数a的取值范围； (3)若在区间上有两个不动点，求实数a的取值范围． 68.（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数． (1)求在上的最值； (2)求和的解析式； (3)若函数在上存在零点，求实数的取值范围． $