专题04 双曲线及其性质10类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题04 双曲线及其性质10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线轨迹-双曲线（共5小题） 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 3．（23-24高二上·河北张家口·月考）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案. 【详解】当圆与圆均外切时，， 所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为， 则， 则， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 则，， 所以方程为； 如图所示： 当时，， 所以点轨迹是以A，B为焦点的双曲线， 则，， 所以方程为. 故答案为：， 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 题型二 双曲线的定义与标准方程（共5小题） 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的关系结合已知即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 7．（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即，于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 8．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 9．（23-24高二上·山东青岛·月考）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 10．（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【详解】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 题型三 双曲线的离心率（共5小题） 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆、双曲线的定义，结合三角形的相似，探索的关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 根据椭圆和双曲线的定义，可得. 又，，所以∽. 所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时取“”. 故选：C 13．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将向量的数量积转化成坐标运算，结合双曲线的几何性质，化简，得到相关不等式，解不等式即可得到结果. 【详解】设，则，即， 设双曲线的半焦距为，则 所以， ， 因为双曲线上的点坐标都满足，所以. 则有即，所以 故选：D. 14．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再利用建立等式，最后通过双曲线的性质求出离心率. 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为. 设，过的直线与一条渐近线平行，则该直线方程为. 与另一条渐近线联立，可得， ，，. 将代入，可得，所以. 已知，则. 因为，所以. 又因为双曲线的离心率，且， 把代入可得，即. 所以离心率. 故答案为：. 15．（24-25高二上·江苏·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 题型四 双曲线中的中点弦问题（共6小题） 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 17．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 18．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 19.（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 20.（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线与有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可 （2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可 【详解】（1）由的焦点坐标为   由双曲线与有相同的焦点 所以双曲线的焦点坐标为 故， 在双曲线中：    ① 又双曲线经过点 所以    ② 解得： 所以双曲线的方程为： （2）由题知直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为： 由直线与双曲线交于两点，设 所以 消去整理得： 所以 所以 由的中点坐标为 所以 所以. 21.（23-24高二上·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可； （2）利用点差法计算即可. 【详解】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 题型五 双曲线中的焦点三角形问题（共6小题） 22．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 23．（24-25高二上·江苏·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 24．（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 25．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 26．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 27．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 题型六 双曲线中的定点问题（共5小题） 28．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)都是曲线的“优点”，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由点在轴上，由对称性可得； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线方程.由点在双曲线上，利用韦达定理知求点坐标，同理可得点坐标，进而表示出斜率化简得定值；由点在轴上，作点关于轴的对称点，直线与双曲线交点，利用韦达定理得到关系，表示出直线方程，令化简得定点. （3）结合（1）（2）分析，得出条件，同理可证. 【详解】（1）由，直线斜率分别为，可知两直线关于轴对称， 结合双曲线对称性可知，关于轴对称， 故直线的斜率，即斜率为定值， 所以是曲线的“优点”； （2）①是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，令， 则直线的方程为，令，且. 则. 由，可知在双曲线的下支上， 设， 联立，得， 由题意或. 由和是方程的两不等根，则由韦达定理知， 解得； 同理，将换成，换成，可得. 又， 则直线的斜率 . 故是曲线的“优点”. ②是曲线的“优点”，原因如下： 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 由题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 ， 故直线过定点， 所以是曲线的“优点”. （3）若满足条件或， 则是曲线的“优点”，且①直线的斜率为定值. 当，即点在轴上时，直线的斜率为定值； 当，即点在双曲线上时，直线的斜率为定值； 若满足条件，即点在轴上（且不为原点）时， 则是曲线的“优点”，且②直线经过定点，定点为. 理由如下： 若，即点在轴上，由对称性可知，直线的斜率为定值； 若，即点在双曲线上时， 设直线， 联立得，， 题意或. ，则，， 以代得，，， ； 若满足条件，即点在轴上时，， 设直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 作点关于轴的对称点，则. 由对称性可知，点在直线上，且在双曲线下支上. 直线与双曲线相交，即分别在上、下支的两个交点. 联立，得， 题意或，即且. 由上分析可知是方程的两根， 则由韦达定理知，， 即，，且，， 由直线的方程为， 令，得 . 故直线过定点. 29．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线所过的点求双曲线参数，即可得方程； （2）由题意为，设，，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求； （3）法一：设为，，，法二：讨论斜率的存在性，设为，，，或为，，，再联立双曲线，应用韦达定理及已知条件列方程求参数关系，即可得定点；法三：，分别为，，联立双曲线，结合用表示出的坐标，进而写出直线，即可证结论. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为. （2）由题意，为，设，， 由，得，所以. 因为M，N在P点的两侧，所以与异号， 所以 . （3） （方法一）由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. （方法二）①若的斜率不存在，设为，，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以的方程为，此时过点. ②若的斜率存在，设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，为，此时过点，不合题意， 当时，为，此时过点，符合题意. 综上，恒过定点. （方法三）因为，，，的斜率分别为，， 所以，分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以为，此时过点. ②若的斜率存在，则， 所以为，即， 化简得，即，此时过点. 综上，恒过定点. 30．（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，理由见解析 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求直线的方程； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【详解】（1）依题意，可得，解得， 故双曲线C的方程为； （2）    如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 所以直线的方程为 （3）直线经过点，理由如下： 易知直线斜率不为0，设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 31．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案； （2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为离心率为且双曲线，则①， 上焦点到其中一条渐近线的距离为2，渐近线方程， ②，联立①②，解得， 则双曲线的标准方程为； （2） 易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 显然，且， 由韦达定理得，， 假设在轴上存在定点，使得恒成立， 不妨设，此时， 即 ， 解得，则点的坐标为． 综上，轴上存在点，使恒成立． 32．（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且． (1)求C的方程． (2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）结合题意由双曲线的性质计算即可得； （2）设出直线方程后与曲线联立消去纵坐标，可得与两交点横坐标有关韦达定理，结合及G，H两点坐标计算即可得. 【详解】（1）因为FN的斜率为1，且， 所以，即，因为，则， 所以，由，则， 所以双曲线C的方程为；    （2）设直线AP的方程为，AQ的方程为， 则，，设存在定点，使得， 则，所以． 当PQ不垂直于x轴时，设直线PQ的方程为， 联立方程组，消去y得， ， 所以，． 因为， 所以， 所以，即存在定点，使得； 当PQ垂直于x轴时，直线PQ的方程为，联立方程组， 解得，设，由，得， 所以存在定点，使得； 综上，在x轴上存在定点，使得.    题型七 双曲线中的定值问题（共5小题） 33．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】(1). (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【详解】（1）由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. （2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.    设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而. 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为. 联立两直线方程得=， 即， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 34．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【分析】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【详解】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 35．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【详解】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 36．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证. 【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为， 所以有； （2）设直线的方程为， 直线的方程为，， 将代入直线得，即， 联立，得， 得，即，， 因为在第一象限，双曲线渐近线方程为， 联立，得，即， 联立，得.即， 所以， 因为，所以，所以①， 又②， ①②得，， 所以， 所以， 因为 所以，为定值. 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）分别联立直线，直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点坐标，即可得到直线的斜率以及直线的方程，再由点到直线的距离公式分别得到到的距离以及到的距离，即可得到结果. 【详解】（1）由，得，又因为，所以， 所以，所以：. （2）由题知：，设，则， 联立，消去可得， 则，所以， 则， 又直线，互相垂直，则，设， 则， 联立，消去可得， 则，所以， 则，所以：. （3）由题意可知，的斜率不为0，设：，，. 由可得，. 所以，，，所以. 所以，所以. 同理可得：，. 令，得. 当，，时， 直线的斜率. 所以：， 化简得：，即为：. 所以到的距离， 所以到的距离， 所以. 由（2）知，当时，，所以. 题型八 双曲线中的定直线问题（共5小题） 38．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 39．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 41．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 42．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，． (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围． (2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上． （ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离和焦点距离求出双曲线的值，得到标准方程，通过直线与双曲线方程联立，结合韦达定理和判别式求解直线斜率的范围，进而得到倾斜角的范围. （2）（ⅰ）利用双曲线定义和内切圆性质，证明的横坐标均为，即它们在直线上；（ⅱ）由于的横坐标与右顶点相同，应用图形特征得出最后结合角的范围计算求解. 【详解】（1）焦点，到渐近线的距离均为b，故． 由角平分线的性质可知，在中，OM是中位线，则有． 又，即．又，，，所以，，所以双曲线的标准方程为． 知，渐近线的倾斜角分别为，， 当CD是通径时，其倾斜角； 当CD不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程，整理可得，． 由，可得，所以或， 综上所述，． （2）（ⅰ）设C在第一象限内，内切圆与，，的切点分别为R，S，T， 则，，， 所以． 因此，切点T是右顶点B，所以圆心在直线上； 同理，圆心也在直线上，从而在直线上．    （ⅱ）解：连接，，，，由（1）知，都垂直于， 且，平分，．知，． 当时，到右顶点B的距离之差为0． 当时，在，中，因为，所以，， 则，，所以． 因为，所以． 又，且，即或，所以或． 综上所述，，到右顶点B的距离之差的取值范围是． 题型九 双曲线中的最值与范围问题（共9小题） 43．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设是左焦点，由双曲线定义转化，取最小值时，的最小值是在线段上即得． 【详解】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 44.（24-25高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点，则，， 则， ， ， 点的轨迹方程为， 即点的轨迹方程为，    同理可得，点也在双曲线上， 点恰为双曲线的左焦点， 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线定义可得： ， 当且仅当三点共线时，即得， 的最小值为． 故答案为:． 45.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得或（舍去），即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 46．（24-25高二上·江苏·期末）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解. （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 47．（24-25高二上·广西桂林·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【分析】（1）由右顶点求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程. （2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值，注意等号成立条件. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 因为双曲线右顶点，所以， 由，得：， 所以，则双曲线的标准方程为. （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然， 联立，消去得：， 由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且， 于是得，则， 双曲线的渐近线为， 联立，消去得：， 设，，则. 当直线的斜率不存在时，，故， 综上，点与点的横坐标的积为定值3. ②由①，且，， 因为，分别在双曲线的两条渐近线上，不妨取， 则，当且仅当时取等号， 所以△周长的最小值为6. 48．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据条件确定的值及双曲线经过点，可求双曲线的标准方程. （2）先根据直线与圆线切和与直线垂直，求出直线的方程，代入双曲线方程，可求，利用求弦长. （3）求出弦长和点坐标，再结合直线斜率的取值范围确定的最小值. 【详解】（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图： 因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即， 由， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：， 整理得：， 设，，则，， 所以， 所以， 若，亦可得， 综上：. （3）设直线的方程为，由， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 即的最小值为. 49．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，，结合双曲线的范围可得结论. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2） 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故，    联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 50．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知双曲线E：的离心率为，焦距为 (1)求E的方程； (2)过作两条斜率存在且互相垂直的直线，.若交E于A，B两点，交E于C，D两点，M，N分别为与的中点，分别记和的面积为，. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）当时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据离心率、焦距求出、可得答案； （2）设直线：，：，，，，，与双曲线方程联立，（i）结合韦达定理求出、点坐标可得答案；（ii）结合韦达定理求出、，分别求出.、，再由，结合可得答案. 【详解】（1）因为离心率为，即，因为焦距为， 所以，，所以， 所以E的方程为； （2）设直线：，，， ：，，， 由，得（*）， 所以，且，. （i），， 所以，同理， 因为，， 所以直线的斜率为定值0. （ii）因为 ， 所以. 同理， ， 因为，所以，即， 所以，所以或， 又因为（*）式中可得且， 所以直线斜率的取值范围为. 51．（24-25高二上·安徽合肥·期末）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）为定值，（ii） 【分析】（1）设出双曲线方程，根据离心率的乘积得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设，直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到； （ii）方法一：设直线，代入双曲线方程，由两根之积得到，结合点A在双曲线的右支上，得到，同理得到，结合确定，由和函数单调性得到答案； 方法二：求出双曲线的渐近线方程，由于点A在双曲线的右支上，与渐近线的斜率比较得到，同理可得，结合求出，由和函数单调性得到答案. 【详解】（1）由题意可设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，直线的方程为， 由，消元得. 则，且， ，    或由韦达定理可得，即, ， 即与的比值为定值. （ii）方法一：设直线， 代入双曲线方程并整理得， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，. 由韦达定理得：，解得. 因为点A在双曲线的右支上，所以，解得， 即，同理可得， 由（i）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图象对称轴为， 则在上单调递减，故， 故的取值范围为； 方法二：由于双曲线的渐近线方程为， 如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），    所以. 同理，过点作两渐近线的平行线， 由于点在双曲线的右支上， 所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），    所以. 由（i）中结论可知， 得，所以, 故. 题型十 双曲线中的面积综合问题（共8小题） 52．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点在双曲线C：上， (1)求C的方程； (2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在双曲线上，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线为，联立方程组，由，求得，且，利用弦长公式求得则，进而得到，再由直线和的方程，得到，求得的面积，进而得到，结合函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由点在双曲线上，可得， 解得，所以双曲线的方程为. （2）解：由直线垂直于，可得直线的斜率为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得， 可得， 则 ， 又由点到直线的距离为， 所以， 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，可得 则 ， 所以的面积， 又由，则， 令， 可得函数在上单调递减，且，所以， 所以，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围； （3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 53．（24-25高二上·云南临沧·月考）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，再利用的单调性可得答案. 【详解】（1）由的渐近线方程为可得， 易知直线的斜率不为0，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线得，， 则 解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ； （3）由（2）可知，， 设直线与直线的方程分别为，， 联立两直线方程可得交点的横坐标为1， 故 . 当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 54．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 55．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． (1)求的标准方程； (2)证明：； (3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解； （2）根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理，结合数量积坐标运算即可证明； （3）依据题意得直线和直线的方程分别为，联立直线和曲线E方程求得韦达定理，从而利用中点坐标公式求出点P坐标，同理求出点Q坐标，再利用点到直线距离公式分别求出点P和点Q到两渐近线的距离，接着根据计算结合变量取值范围即可求解. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. （2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，    ①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，， 则且由点A和点B在曲线E上，故， 所以， 同理可得，所以； ②直线斜率存在时，则可设方程为，、， 联立， 则即， 且，且， 所以 ， 同理 ，所以， 综上，. （3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且，       联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解四边形面积的取值范围的关键1在于明确直线和直线的变量m的范围为，；关键2在于先将四边形补形为矩形再分割为四边形和两个三角形利用来计算求解. 56．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 57．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定，解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 58．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便. 59．（24-25高三上·浙江·期末）等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程; (2)若且求的值; (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由等轴双曲线的定义结合点到线的距离公式即可求解； （2）由题设出直线l的方程并与的方程联立，借助韦达定理求得的值，从而求得的值； （3）分别设出直线的方程并与双曲线方程联立，借助韦达定理分别表示，求得知C两点关于原点对称，从而；再设直线并与的方程联立，由韦达定理得根据求得的范围，进而得斜率的范围. 【详解】（1）由题意得解得 . （2）设 代入双曲线方程，得： 由韦达定理可得： 令，则， 所以解得 A，B三点共线， . （3）设 代入双曲线方程得： 由韦达定理，得，即 同理可得： C两点关于原点对称， 设 由韦达定理得： 解得：所以 60．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2)（i）（ii） 【分析】（1）先计算出，再利用基本不等式即可求解； （2）（i）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出，再计算出，即可求出双曲线方程； （ii）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出切点是的右顶点，进而得出的横坐标为，设直线PQ的倾斜角为，把用的函数表示，最后再利用双勾函数的单调性求出范围. 【详解】（1）设的半焦距为. 因为，所以， 由题可知的实轴长为2a，虚轴长为2b， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为8. （2）（i）设的内切圆分别与相切于点M，N，如图. 由切线长定理可知， 因为， 所以 ， 即 所以， 则的方程为； （ii）如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为与圆分别相切于点. 由切线长定理可得， 因为，所以， 所以是的右顶点. 因为轴，所以点的横坐标为1， 同理可求得点的横坐标也为1， 设直线PQ的倾斜角为，则. 在Rt，Rt中，有. 易知， 设，则，则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为， 所以在区间上的值域是. 故的取值范围是. $专题04 双曲线及其性质10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线轨迹-双曲线（共5小题） 1．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）    A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 3．（23-24高二上·河北张家口·月考）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知圆在圆上运动，点，线段的垂直平分线与直线相交于点.当时，点轨迹的标准方程为 ；当时，点轨迹的标准方程为 . 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 题型二 双曲线的定义与标准方程（共5小题） 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东青岛·月考）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 题型三 双曲线的离心率（共5小题） 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 15．（24-25高二上·江苏·期末），分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 题型四 双曲线中的中点弦问题（共6小题） 16．（24-25高二上·江苏扬州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 18．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 19.（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 20.（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线与有相同的焦点，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率. 21.（23-24高二上·江苏盐城·期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 题型五 双曲线中的焦点三角形问题（共6小题） 22．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·江苏·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 24．（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 25．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 26．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 27．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 题型六 双曲线中的定点问题（共5小题） 28．（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知点及曲线，过点向右上、左上方作斜率分别为的两条射线，与曲线的交点分别为.当变化时，如果直线的斜率为定值或直线经过定点，那么称是曲线的“优点”. 已知曲线. (1)判断是否为曲线的“优点”； (2)在中任选一个判断是否为曲线的“优点”，并说明理由； (3)给出满足的条件，使得是曲线的“优点”，且__________，并求出对应的定值或定点. ①直线的斜率为定值；②直线经过定点. 请在①②中任选一个填在横线上并作答，不必证明. 29．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 30．（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点.    (1)求双曲线的方程； (2)若点在第一象限，且满足，求直线的方程； (3)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 31．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线C：（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且． (1)求C的方程． (2)过点的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 双曲线中的定值问题（共5小题） 33．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 34．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 35．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 36．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值. 37．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与. (1)求的方程； (2)当斜率为1时，求直线的方程； (3)求证：为定值. 题型八 双曲线中的定直线问题（共5小题） 38．（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 39．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 41．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 42．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，． (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围． (2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上． （ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围． 题型九 双曲线中的最值与范围问题（共9小题） 43．（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 44.（24-25高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 45.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 46．（24-25高二上·江苏·期末）已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 47．（24-25高二上·广西桂林·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为的右顶点满足. (1)求的方程； (2)直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点： ①证明：与的横坐标的积为定值； ②求周长的最小值. 48．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 49．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 50．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知双曲线E：的离心率为，焦距为 (1)求E的方程； (2)过作两条斜率存在且互相垂直的直线，.若交E于A，B两点，交E于C，D两点，M，N分别为与的中点，分别记和的面积为，. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）当时，求直线的斜率的取值范围. 51．（24-25高二上·安徽合肥·期末）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 题型十 双曲线中的面积综合问题（共8小题） 52．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点在双曲线C：上， (1)求C的方程； (2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 53．（24-25高二上·云南临沧·月考）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点. (1)若的斜率存在，求出斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求的取值范围. 54．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 55．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． (1)求的标准方程； (2)证明：； (3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 56．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 57．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 58．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 59．（24-25高三上·浙江·期末）等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程; (2)若且求的值; (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 60．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. $