专题03 椭圆及其性质10类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题03 椭圆及其性质10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线轨迹-椭圆（共8小题） 1.（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 4.（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高二上·江苏·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 7.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高二上·河北张家口·期末）已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为． (1)写出的标准方程，并判断其位置关系； (2)若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程． 题型二 椭圆的定义与标准方程（共6小题） 9.（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10.（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的中心在原点，两焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于点．若直线的斜率为，则该椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 11.（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 12.（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13.（24-25高二上·江苏扬州·期末）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 14.（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型三 椭圆的离心率（共10小题） 15.设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为 . 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与椭圆交于、两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 24．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为 . 题型四 椭圆中的中点弦问题（共6小题） 25．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·江苏南京·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 28．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 30．（24-25高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 题型五 椭圆中的焦点三角形问题（共5小题） 31．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 32．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 33.（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 34.（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 35.（24-25高二上·江苏镇江·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 36．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 椭圆中的定点问题（共10小题） 37．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 38．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 39．（24-25高二上·广东潮州·期末）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 40．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 41．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 42．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 43．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知椭圆：（）经过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 (1)求轨迹C的方程； (2)设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 45．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，短轴上下端点分别为．若四边形为正方形，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若分别是椭圆长轴左右端点，动点满足点在椭圆上，且满足，求的值（为坐标原点）； (3)在（2）的条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点． 题型七 椭圆中的定值问题（共5小题） 47．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆C:的左右焦点为,点为椭圆C上的三点，且满足，直线与直线交于点Q，记直线的斜率为，直线的斜率为· (1)若点P在y轴上，则是边长为2的等边三角形，求椭圆方程; (2)若，求椭圆C的离心率; (3)求证为定值. 48．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 49．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 50．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 51．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左焦点为，点在C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值. 题型八 椭圆中的定直线问题（共5小题） 52．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 53．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 54．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，，是椭圆的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点， （i）若是线段中点，且点在第二象限，，求直线的方程； （ii）若在线段上取一点满足，证明：点必在某条定直线上. 55．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 56．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 题型九 椭圆中的最值与范围问题（共9小题） 57．（多选）（24-25高二上·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 58．（24-25高二上·广东清远·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 59．（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 60．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 61．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围； (3)设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值. 62．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 63．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆：的离心率，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 64．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别交于两点． (1)求椭圆的方程 (2)求线段的长度的最小值 65．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 题型十 椭圆中的面积综合问题（共8小题） 66．（24-25高二上·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 67．（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 68.（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 69．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 70．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 71．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 72.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 73.（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. $专题03 椭圆及其性质10类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线轨迹-椭圆（共8小题） 1.（24-25高二上·浙江衢州·期末）纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 2.（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 3.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 4.（24-25高二上·广东梅州·期末）线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 5.（24-25高二上·吉林·期末）已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 6.（24-25高二上·江苏·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【详解】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 7.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 8.（24-25高二上·河北张家口·期末）已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为． (1)写出的标准方程，并判断其位置关系； (2)若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据两圆的圆心和半径可求两圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系可判断两圆的位置关系； （2）根据圆与圆相切的性质可得，结合椭圆的定义即可得答案. 【详解】（1）的圆心分别为，半径分别为， 所以的标准方程为； 的标准方程为， 可得，可知， 所以内切. （2）因为动圆P的半径为， 因为动圆P与与外切且与内切， 则，且， 由椭圆的定义可知，动点P在以为焦点，8为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为c， 则，，则， 又因为内切，则点P不能在切点处，即椭圆应去掉点， 所以动圆的圆心P的轨迹方程为． 题型二 椭圆的定义与标准方程（共6小题） 9.（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 10.（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的中心在原点，两焦点为，，过作轴的垂线交椭圆于点．若直线的斜率为，则该椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆中的含义确定的值，可得椭圆标准方程. 【详解】设椭圆的方程为，其中． 依题意，有，所以，． 又，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故选：B    11.（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 12.（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 13.（24-25高二上·江苏扬州·期末）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 14.（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型三 椭圆的离心率（共10小题） 15.设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，，则、， 所以，因为，所以， 由点P在椭圆上可得，则， 解得，所以， 故选：C. 16.设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 可得， 又由，所以， 所以 . 故选：B. 17．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 18．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【详解】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于、两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设出直线，与椭圆联立然后根据几何关系，结合根与系数关系即可求解. 【详解】当直线与轴重合时，直线与圆相交，不合乎题意， 设直线，与椭圆联立， 化简得， 设、，则由根与系数的关系得①， 又，所以，代入①得②， 又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得， 得，因此椭圆的离心率. 故答案为：． 20．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 21．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的左焦点为，O为坐标原点，若椭圆C上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ， 所以， ，由椭圆的定义知 ， 即，得 . 故选：D. 22．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与椭圆交于、两点，直线经过右焦点与椭圆交于点，若且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为点，连接、、，设，则，，分析可知四边形为矩形，在中利用勾股定理可得出与的关系式，然后在中应用勾股定理可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设椭圆的左焦点为点，连接、、， 设，则，， 由椭圆定义可得，， 由对称性可知，点、关于原点对称， 又因为为线段的中点，且，故四边形为矩形， 由勾股定理可得， 即，解得，故，， 由勾股定理可得，即，则， 所以，该椭圆的离心率为. 故选：B. 23．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 24．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知A，B分别是椭圆C：的左右顶点，点Q是椭圆C上异于A，B的一点，在中，，，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先设边长，再应用余弦定理得出，再结合角度得出点，最后应用点在椭圆上计算即可求出离心率. 【详解】依题意，， 设，则由，得， 因为中，，所以， 计算得， 过点作，因为，所以， 所以，点在椭圆上可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型四 椭圆中的中点弦问题（共6小题） 25．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    26．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 27．（25-26高二上·江苏南京·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值. 【详解】设，，则，. 两式相减得. 因为是中点，所以，，且直线的斜率. 将其代入上式，得，两边除以，得， 整理得，故. 故选：B 28．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 29．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用点差法得，再代入M点坐标即可得答案. 【详解】易知，，设椭圆中心为O， 不妨设坐标为，则， 两式作差可得：， 设，OM的斜率， 则，解得． 故答案为：. 30．（24-25高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与点的轨迹交于两点，线段的中点为.若直线的斜率为1，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）设点， 因为直线的斜率之积是， ，化简得：， 即动点的轨迹方程为：. （2）设， 线段的中点为， ，则， 由题可得，， 两式求差化简得：，即， 直线的方程为， 联立，消去得， ，且， . 题型五 椭圆中的焦点三角形问题（共5小题） 31．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可得的周长为，即可求解. 【详解】由题可知：，所以. 如图：. 所以的周长为. 故选：B. 32．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 33.（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 34.（多选）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D, 【详解】 由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 35.（24-25高二上·江苏镇江·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】 【分析】化标准，得到，，然后根据正弦定理求出.进而根据余弦定理推出的面积.根据等面积法，可知，即可求出，即可得解. 【详解】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 36．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 题型六 椭圆中的定点问题（共10小题） 37．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系数的关系上来，最后可得，从而可证直线过定点. 【详解】（1）由题意得：， ，所以解得， 即椭圆方程； （2）    设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 其中， 设，则， 由已知得：， 再化简得：， 代入得：， 整理得：， 因为直线不经过点，所以， 即， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 38．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 【答案】(1) (2)存在定点 (3) 【分析】（1）利用三角形面积与椭圆性质，及离心率公式与基本关系式计算. （2）利用直线于椭圆联立方程，韦达定理与向量的数量积. （3）利用点到直线距离，与弦长公式，三角形面积公式，换元法与函数最值，求出最大值. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为． 当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以， 又C的离心率，所以，结合， 得，，所以椭圆C的方程为． （2）解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则， 所以可设直线的方程为， 联立得， 所以， ， 所以， ， 由（1）知， 因为，所以， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 又满足，故存在定点. 解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得 ， 即 ①，设直线MN方程为， 代入（1）得：， 即， ，两边同时除以得：  ②， 设， ，、是②式的两根， 得，，平移回去（向左平移2个单位）， 得直线过定点. （3）解法一：由（2）知，，， 所以A到的距离， 所以面积 ， 令， ，因为， 所以当时，，此时，满足，故．          18题图 解法二： ，其余同上. 【点睛】思路点睛：知识点综合利用，解决直线与椭圆相交问题，坐标平移变换椭圆方程，通过点到直线距离公式和弦长公式得出三角形面积表达式，综合运算. 39．（24-25高二上·广东潮州·期末）椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点. 【分析】（1）利用椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定长，列出等式，即可求得结果. （2）（i）写出三角形的面积表达式，进而求出面积最大值. （ii）分情况讨论直线斜率不存在时，斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点. 【详解】（1）椭圆：（）的一个焦点为， 则另一个焦点坐标为，且椭圆经过点. 所以，所以， 所以， 故椭圆的方程为. （2）椭圆的右顶点，设，. （i）三角形的面积为， 因为， 所以 三角形的面积的最大值为. （ii）当直线的斜率不存在时，，不符合题意； 故可设直线的方程为， 联立，得， 且满足. ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得， ∴， 化简得， 解得或. 易知，当时，，此时直线过右顶点，不符合题意. ①当时，直线的方程为，过定点，与右顶点重合，不符合题意. ②当时，代入，解得（）. 此时，直线方程为，过定点. 综上所述：直线过定点. 40．（24-25高二上·山西·期末）已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)过定点，. 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则， 由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点. 41．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 42．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点 【分析】（1）由已知可得，，可求，进而可得椭圆的方程； （2）①设，，分别与椭圆方程联立方程组，由弦长公式求得，可得，利用换元法可求四边形面积的最小值；②分别求得点，，分的斜率是否存在两种情况求解即可. 【详解】（1）依题意有， 又因为，解得， 所以椭圆的方程为． （2）①设， 则， 联立，得， ， 由弦长公式可得：， 同理可得：， 所以， 令，则， 当时，四边形面积的最小值是； ②， ，用代替m，得， 当，即时，，过点， 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点 43．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知椭圆：（）经过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据题意代入运算求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）因为，为椭圆上异于A的两点，所以直线的斜率存在， 不妨设直线的方程为，，， 联立方程，消去y得， 则，整理得， 由韦达定理得，， 因为，，，， 可得 化简得，解得或， 当时，直线的方程为，直线过点，不合题意； 当时，恒成立，直线的方程为， 所以直线过定点. 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 (1)求轨迹C的方程； (2)设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 【答案】(1) (2)（），理由见解析；（）证明见解析 【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，通过设点坐标，利用斜率公式列出等式，再进行化简得到一个方程. （2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，进而判断出相关点与焦点的关系，最后利用均值不等式等知识来比较式子的大小.（）通过设点坐标和直线方程，联立方程求解交点坐标，再利用斜率等知识来证明三点共线，从而确定直线所过的定点. 【详解】（1）设因为直线AM，BM的斜率之积是 所以 化简得 （2）因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以 设的焦点坐标为所以即 所以为C的焦点， 因为所以 所以； 设 ①当斜率存在时，不妨令直线 联立化简得 因为与C的另一个交点为E， 所以 因为 所以式可以化为 所以所以点同理点 当轴,即时 所以直线EG过x轴上点 下证：三点共线， 因为 同理 因为三点共线，所以所以 即三点共线,所以直线经过一定点 ②当轴时，即所以 此时联立解得 所以直线交C于所以 综上,直线经过定点 45．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，短轴上下端点分别为．若四边形为正方形，且． (1)求椭圆的离心率； (2)若分别是椭圆长轴左右端点，动点满足点在椭圆上，且满足，求的值（为坐标原点）； (3)在（2）的条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在； 【分析】（1）依题可得且，即可求出、、，从而得解； （2）设方程为，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由、、三点共线，即可得到点坐标，由，可得，即，从而求出点坐标，即可求出的值. （3）设，表示出，，根据斜率之积为求出即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，且， 所以且，又， 所以，， 所以. （2）由（1）知，椭圆方程为， 如图，    依题意的斜率存在，设方程为， 联立方程组，可得， 解得、， 即，，， ，，、、三点共线． 又由，，即， 所以，所以， ∴联立方程组解得，所以， 所以，， 所以. （3）如图，    设， 则，， ，得，故， 即存在一点满足条件． 46．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆C：（）左，右焦点分别为，，离心率，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)若A，B为椭圆C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列式运算求出可得结果； （2）由题意直线，的倾斜角互补，即，设出直线的方程与椭圆联立方程组，得到根与系数关系代入运算可得解. 【详解】（1）因为，又，即， 解得，， 故椭圆C的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在，， 设直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则， ，． 设直线，的倾斜角分别为，， 由题意可得，即， 所以， 即， 所以， 所以， 化简可得， 所以直线的方程为， 故直线过定点． 题型七 椭圆中的定值问题（共5小题） 47．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆C:的左右焦点为,点为椭圆C上的三点，且满足，直线与直线交于点Q，记直线的斜率为，直线的斜率为· (1)若点P在y轴上，则是边长为2的等边三角形，求椭圆方程; (2)若，求椭圆C的离心率; (3)求证为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意，直接用椭圆的定义直接求得结果. （2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出，，再由列出式子即可求得离心率. （3）由（2）的结论联立，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知， 所以椭圆的方程为. （2）在椭圆中，，，设，，，，将代入 中有 ， 所以，①，代入PA方程中有 ②同理，③，④                             因为，所以， 解得：   . （3）根据（2）中①②③④解得       .   和分别三点共线可得⑤，⑥，将①②③④代入⑤⑥解得 ，，     . ，从而 【点睛】关键点点睛：由椭圆的定义求出椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得到离心率再求出利用三点共线的条件求出的定值. 48．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【详解】（1）设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 49．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)直线平行于直线AB，且与交于M，N两点， ①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； ②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①或.②,证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解； （2）①利用矩形的面积公式可得，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可求解； ②利用韦达定理得，进而可得，即可证明. 【详解】（1）由题意得，,所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，,即， 设， 联立，消去整理得，， 由相交得，，即，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以矩形中即为两平行线间的距离， 因为，即，， 所以， 又由题意得，, 所以,即， 此时， 所以，化简得，解得或， 所以直线或. ②因为，所以，则有， 由韦达定理， （此处，因为点在椭圆上，所以） 所以，进而， 此时有，， 所以. 50．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是，最大值为． 【分析】（1）分别将直线与与圆方程联立，可得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得解． （2）当直线不落在坐标轴上时，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值． 【详解】（1）因为直线，与圆M相切， 将直线与圆联立， 可得， 由解得，， 同理， 所以是方程的两个不相等的实数根， ∴，因为点在椭圆C上，所以， 所以. （2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得，所以，所以.          （ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得， 综上：，所以|， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 51．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左焦点为，点在C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）解法一，根据点在椭圆上及焦点坐标求解即可； 解法二，根据离心率和通径长即可求解椭圆方程； （2）解法一，分类讨论，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，用A、B坐标表示M、N坐标，进而求得直线MN恒过点，当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN恒过点，最后结合直角三角形的性质即可求解； 解法二，分类讨论，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，用A、B坐标表示M、N坐标，用平面向量的坐标运算求得直线MN恒过点，当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN恒过点，最后结合直角三角形的性质即可求解. 【详解】（1）解法一，由题意知，又，所以， 把点代入椭圆方程得，解得， 故椭圆C的标准方程为； 解法二，因为椭圆C的左焦点为，所以，设C的右焦点为，则， 椭圆上点与点的横坐标相同，所以点到点的距离为通径长的一半， 由得知，，又，所以，得，，故椭圆C的标准方程为； （2）解法一，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时， 设直线AB的方程为，，， 由，消去y得， 则，. 所以，所以. 同理用代换可得. 若，则，此时直线MN的斜率不存在， 且直线MN的方程为，过点. 若，则直线MN的斜率为， 可得直线MN的方程为， 化简得，所以直线MN过定点， 当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN的方程为， 直线MN过定点，所以直线MN过定点. 令H为FT的中点，则，若D与T，F均不重合， 则由题设知FT是的斜边，故. 若D与T或F重合，则. 综上，存在定点，使得为定值. 解法二，当直线AB，PQ的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，，，由，消去y得， 则，. 所以，所以. 同理用代换可得. 若，则，此时直线MN的斜率不存在， 且直线MN的方程为，过点.下面证明动直线MN过定点. 因为，， 所以，即T，M，N三点共线，所以直线MN过定点. 当直线AB，PQ的斜率一个不存在，一个为0时，直线MN的方程为， 直线MN过定点.所以直线MN过定点. 令H为FT的中点，则， 若D与T，F均不重合，则由题设知FT是的斜边，故. 若D与T或F重合，则. 综上，存在定点，使得为定值. 题型八 椭圆中的定直线问题（共5小题） 52．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    53．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用斜率两点式及，求轨迹方程； （2）根据椭圆的定义有求最值； （3）设直线l的方程为，、，联立轨迹方程，得到韦达公式，写出直线AC、BD的方程，进而整理化简得到，即可证结论. 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为； （3）设直线l的方程为，、， 由，得， 所以，，所以①， 由，得或 易知直线AC的方程为②，直线BD的方程为③， 联立②③，消去y，得，④， 联立①④，消去，则，解得， 即点G在定直线上，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线l的方程为，联立曲线方程，应用韦达定理、直线AC、BD的方程化简整理得为关键. 54．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，，是椭圆的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点， （i）若是线段中点，且点在第二象限，，求直线的方程； （ii）若在线段上取一点满足，证明：点必在某条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由点在椭圆上，及点到线的距离公式列出等式求解即可； （2）（i）设，，，通过点差法即可求解； （ii）法一：设，通过，，，四点共线，不妨设在的右侧，得到，再联立直线、椭圆方程结合韦达定理可得，即可求证；法二：设，，，由题意可得，则，求得两点坐标，代入椭圆方程化简即可； 【详解】（1）因为在椭圆上，所以① 因为的坐标是，的坐标是，所以的方程为， 由点到直线的距离为可得② 由①②联立可得的方程为. （2） 由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为， 设， （i）设，由题可知，， 设倾斜角为，易知的倾斜角为，， 所以，则直线方程为； （ii）解法一：，，因为，，，四点共线，即有， 即得 不妨设在的右侧，，，，上式可化简为， 联立消去化简可得， 则，， ，代入直线方程，即，解得 由消去可得，则点必在定直线； 解法二：，，因为，，，四点共线，即有， ， 设，则，设，，， 由可得，由，可得， 、在椭圆上，，化简可得 ， 两式相减得到， 点必在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问法二：通过，则，由点坐标，表示两点坐标，代入椭圆方程相减即可. 55．（23-24高二上·北京通州·期末）已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据求得的值，则椭圆方程可知； （2）设出方程以及坐标，然后联立直线与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，表示出直线的方程并得到点横坐标满足的关系式，结合韦达定理可求点横坐标，由此完成证明. 【详解】（1）由题意可知：，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）证明：由题意，直线的斜率不为0，设直线，， 联立可得， 显然， 所以，所以， 又因为， 所以， 令， 则， 解得，即， 所以点P在定直线上. 56．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【答案】(1)椭圆方程为，极线方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 题型九 椭圆中的最值与范围问题（共9小题） 57．（多选）（24-25高二上·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 58．（24-25高二上·广东清远·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为．若为椭圆上的两点，直线斜率存在且（其中为坐标原点，分别为直线的斜率），为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由离心率，四边形的面积为求得椭圆方程，再根据，设直线的方程为，求得的轨迹方程，最后根据两点之间距离公式即可求解． 【详解】由题知，解得， 所以椭圆， 因为，所以， 又直线的斜率存在， 设直线的方程为，则的中点， 联立，整理可得， ，即， ， 所以 ， 所以， 可得，符合， 可得的轨迹方程为整理可得， 两式平方相加可得， 即的轨迹方程为，表示焦点在轴上的椭圆，即， 所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 59．（多选）（24-25高二上·河北石家庄·期末）平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C与x轴交点的坐标为， B．周长的最小值为8 C．若直线与曲线C只有一个交点，则k的取值范围是 D．面积的最大值为2 【答案】ACD 【分析】设，应用两点间距离公式化简得出轨迹整理求出点的坐标判断A，应用基本不等式化简求解判断B,联立方程组应用判别式化简求参判断C，换元结合二次函数的值域判断D. 【详解】设，则由可得，整理得， 令，则有，即，整理得，解得或， 即曲线C与x轴交点的坐标为，，A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时P点坐标为，，三点共线， 所以周长，B错误； 联立，消去y可得， 即，整理得， 要使直线与曲线C只有一个交点，则方程只有一个解， 故，解得或， 则实数k的取值范围是，C正确； 设，则， 故，故面积的最大值为，D正确. 故选: 60．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是直线上与点不重合的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，设圆心为，只需求的最小值，根据圆与直线相切时求最小值即可. 【详解】由椭圆知，焦点，， 由正弦定理可知，其中为外接圆的半径， 因为，由圆的性质可知，外接圆圆心在轴上，如图， 不妨设圆心为，则圆的方程为， 由题意，圆与直线有公共点，且， 显然当圆与直线相切时，有最小值2， 此时为切点，如图， 所以，此时取最小值， 故选：D 61．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围； (3)设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用椭圆定义求解. （2）设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. （3）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得. 【详解】（1）椭圆的焦点， 由，设点，则，解得，即， 所以. （2）设，则，， 则， 所以，， 要使时取最小值，则必有，所以. （3）依题意，，设， 由消去，得， 则，即， 所以. 62．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可； （2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解； （3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可. 【详解】（1）由题可知：，解得； 所以椭圆的方程为：. （2）由题易知：是椭圆的切线，切点为. 设另一条切线为，切点为.且有：. 联立，消去，得： ，即， 联立：；解得：； 所以，解得：. 所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：. 综上所述：两切点所在的直线方程为或. （3）设直线的方程为.且有：.其中. 由（2）可知：. 直线的方程为：.得. 同理，可得. 因为是中点， 所以. 因为. 所以.点的轨迹方程为： 所以. 63．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆：的离心率，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左顶点为A，过点A作斜率为的直线交椭圆于点P，交y轴于点D，若过原点作直线的平行线交椭圆于点E，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率可得，将点代入椭圆方程，结合，可求解得的值，进而得标准方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标；根据平行关系，设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的横坐标，根据直线平行可用四个点的横坐标表示，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，且在上 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设直线的方程为，， 联立，消去，得， 所以，因为，所以直线的方程可设为， 联立，消去，得， 所以点的横坐标为， 由，得 . 当且仅当，即时，等号成立， 由此，当时，有最小值，且最小值为. 64．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别交于两点． (1)求椭圆的方程 (2)求线段的长度的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到的方程组，由此求解出的值，则椭圆的方程可求； （2）根据条件先分析出的关系，然后设出的方程，从而可求出的纵坐标，根据以及基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）由条件可知：，解得， 所以椭圆的方程为， （2）设点，则， 则，所以， 不妨设直线的方程为，其中， 则直线的方程为， 设点， 由可得， 由可得， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以的最小值为． 65．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．    (1)求椭圆的方程； (2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值； (3)若点为圆上的动点，点，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及三角形面积公式列方程即可求解. （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求得点的坐标，然后由数量积的坐标公式求解即可. （3）由三角形三边关系结合椭圆定义进行转换即可，注意取等条件是否成立. 【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2． 所以， 又， 所以解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）椭圆的方程为.    由题意，因为，所以设， 则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得， 消去并整理得，，当时，， 所以解得，即， 所以， 所以. （3）    设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时， 由椭圆定义有， 所以， 等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点， 综上所述，的最小值为. 题型十 椭圆中的面积综合问题（共8小题） 66．（24-25高二上·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 67．（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 【答案】BCD 【分析】设，根据，即可求出曲线方程，即可判断A；将点代入曲线的方程即可判断B；求出的范围即可判断CD. 【详解】设，由题意，， 即，化简得， 即曲线的方程为，故A错误； 对于B，将点代入曲线的方程得： ，即， 所以曲线关于轴对称，故B正确； 对于C，由， 得，解得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确； 对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 68.（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    69．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆：左顶点离心率B为第一象限内椭圆上一点，过B作椭圆的切线交直线于点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记的面积分别为 （i）证明：； （ii）当时，求直线AC的方程． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出，进而得到椭圆的标准方程. （2）（i）利用直线与椭圆的位置关系、直曲联立求出直线联立求出根据切线性质求出最后根据中点性质证明即可.（i i）根据中点性质得到面积关系，根据切线求出再根据面积条件列方程计算. 【详解】（1）由题意得离心率则椭圆的标准方程为 （2）（i）设直线代入到椭圆方程，化简得故 设联立直线AC，BO的方程 切线又则故 所以：即M为线段AC中点.由与中点M，则 （ii）由中点M得将代入直线可得 则即则 故则 70．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由给定方程及焦点坐标求出. （2）设出点的坐标，由直线的点斜式方程求出点的坐标，进而求出三角形面积差得解. 【详解】（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以. （2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得， 依题意，，直线，直线 ， 于是， ，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 71．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点和若分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点距离可得，结合离心率即可求解的值即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，进而根据，，即可根据三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题意，因为，， 所以 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为 （2）由题意知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，，， 则直线的方程可设为，， 联立，消去y得， 所以， 所以， 所以 同理联立，可得 则的中点， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以面积的最大值为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 72.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1) 记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P，分析的值，结合椭圆定义可解. （2）①求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果. ②联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 【详解】（1）由题知，,记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P, 则点A在圆周上，折痕l为线段的垂直平分线，如图所示： 则有,可知，, 所以点p的轨迹是以为左右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以，所以折痕围成轮廓的圆锥曲线方程为 （2） ①设，椭圆在点M处的切线方程 为，因为点P在切线上，所以<1>， 下面证明为椭圆在点M处的切线方程： 联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. 同理：椭圆在点N处的切线方程为， 因为点P在切线上，所以<2>, 由<1>和<2>两式可知，点在直线， 则，又，所以. ②由①知，直线的方程为，即，因为当时，此时不存在，则， 与x轴交于点，首先由，解出, 代入中得， 整理得， 由韦达定理得，， 则 ， 设过点的椭圆切线方程为， 与椭圆方程联立得, 因为直线与相切，故判别式， 化简得，因为两条折痕垂直，故， 整理得，当时，此时不存在，则， 则， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号，故， 根据对勾函数性质知：当或时，即或时，，故面积的取值范围为： 73.（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）直线的方程为或. 【分析】（1）由题设列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）设过点的圆O的切线方程为，结合圆心到该切线距离等于半径得到方程，设两切线斜率分别为，则由韦达定理结合题意即可求解； （ii）设直线，依次求出点B和，联立与椭圆的方程结合韦达定理和弦长公式求出，由圆心到距离求出，则结合题设即可依次求出和，从而得解. 【详解】（1）由题可得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设过点的圆O的切线方程为即， 则圆O的圆心到该切线距离为， 两边平方整理得， 设两切线斜率分别为，则， 所以即. （ii）由（i）圆，由题意可设直线， 令得，即，则， 联立， 则即， 设，则， 则， 所以由即得， 又圆心到距离为，即， 所以， 整理得，故，即， 所以，即， 所以直线的方程为或. $