精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期第二次学科检测（12月）数学试卷

2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学） 一、填空题 1. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 【答案】3 【解析】 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为. 故答案为：3. 2. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】求出渐近线的方程为即可求解. 【详解】由题意得，， 双曲线的渐近线方程为，又渐近线方程为， 所以，故. 故答案为：16. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用数列的前项和的定义将转化为，代入得到，利用等比数列的定义将转化为，代入得到，计算求解即可. 【详解】是等比数列，，， ，， ，，， ，或. 故答案为：或. 4. 已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 【答案】 【解析】 【分析】的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方程． 【详解】，所以半径， 又∵，， ∴线段的中点坐标为，即圆心为. 所以圆的方程为. 故答案为：． 5. 把一个底面半径为4，高为的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用熔铸前后体积相等即可求 【详解】因铁质实心圆柱底面半径为4，高为， 故该圆柱体积. 因铁质实心圆柱熔化后铸成一个球， 设球半径为，则球体积，且. 故，，. 即铁球的半径为. 故答案为： 6. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和完全平方公式的应用，结合余弦定理和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线的定义分析可得，再解三角形可得. 【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4. 8. 已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点,作出图形，可得或，由两点的斜率公式即可求解. 【详解】可化为, 由，得， 所以直线过定点. 因为直线的方程为， 而即不可能表示， 所以由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 9. 已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案. 【详解】圆C：，圆心，半径， 设，则，， 因为，所以， 即，， 因为表示圆上点到原点的距离， ， 所以，即. 正数的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 10. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件建系，设，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设，利用空间向量夹角的坐标公式求出的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】 如图，设，因底面为菱形，则，依题意，平面， 故以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，因是等边三角形，且，则， 于是，， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设，则， 且， 依题意，， 因，则，故可得. 故答案为：. 11. 已知曲线，是曲线上任意一点，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论确定曲线形状，利用的几何意义确定取得最大值点位置，再利用三角代换求出最大值. 【详解】当时，，表示焦点在轴上的双曲线在轴及左侧，轴上方的部分， 当时，，表示焦点在轴上的椭圆在轴右侧，轴及上方的部分， 当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分， 当时，，方程无解，不表示任何图象， 曲线如图中实线，虚线是双曲线的一条渐近线， 可视为点到直线的距离的倍， 由图知，当点在椭圆上时，点到直线的距离最大， 设，则， 当时，，所以的最大值为. 故答案为： 12. 已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题得到、关于原点对称，设出P、两点坐标，再由和的斜率之差和夹角条件求出P点坐标，再将P点坐标代入椭圆方程，即可求解离心率. 【详解】因为为椭圆的上顶点，所以设 . 又因为点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，所以根据椭圆的对称性得到、关于原点对称. 所以设 ，，所以直线和的斜率分别为 ，； 由直线和的斜率之差为，得，得； 因为，由，即，得到， 因为在椭圆上，所以，即，得到， 椭圆的离心率  因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. 二、单选题 13. 已知，为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中举反例可判断选项ACD；对于选项B：利用线面垂直的性质定理可判断. 【详解】对于A：在正方体中，平面平面， 直线平面，直线平面，但与为异面直线，故选项A错误； 对于B：利用线面垂直的性质定理可直接得到，故选项B正确； 对于C：在正方体中，平面，且平面平面， 但平面，两者不平行，故选项C错误； 对于D：在正方体中，平面平面，平面， 但平面，两者不平行，故选项D错误. 故选：B 14. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 15. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 16. 已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 三、解答题 17. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【小问1详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 18. 如图，在长方体中，已知. （1）证明:平面平面； （2）已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 【答案】（1） 在长方体中，， 所以底面是正方形，则 又因为平面，平面 所以 由于， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面 （2）2 【解析】 【分析】（1）先证平面.，利用平面与平面垂直的判定定理即可求解； （2），利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离 所以 因为， 又因为，即点到平面的距离为. 所以. 19. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段中垂线方程，与给定直线方程联立求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. （2）利用圆的弦长公式求出弦心距，再按斜率存在与否分类求解. 【小问1详解】 依题意，点的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段中垂线斜率为1，方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线被圆所截得的弦长为，得圆心到直线距离， 显然圆心到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线斜率存在时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 20. 已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）若点的坐标为，求 的面积； （3）证明：. 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为 （2） （3）证明:设，过该点切线方程为， 则，可得， 联立方程，可得， 由，即，解得， 因为，所以， 由抛物线的定义知，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程直接写出焦点及准线方程； （2）求出切线方程，得出点坐标，即可得出三角形面积； （3）设，过该点切线方程为,利用直线与抛物线相切得出，分别求出，即可得证. 【小问1详解】 因为拋物线， 所以， 故焦点坐标为，准线方程为. 【小问2详解】 如图， 设过，抛物线的切线方程为， 则，即， 联立，可得， 所以，解得， 所以切线方程为， 令，可得，即, 所以. 【小问3详解】 略. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2），， （3） 证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程， 得到 ， 设，由韦达定理 ，所以， 代入，得到，所以， 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到， 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即， 点到直线的距离为 ， 所以的面积为. 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据条件写出椭圆的方程，利用点斜式写出直线的方程，将两者联立消元得到关于x的一元二次方程，解出x的值，便可得到坐标，再由与关于x轴对称，所以，坐标，所以得到得值； （2）先写出椭圆的方程，得到的长度，是等腰三角形，分三种情况求解，当时，点在椭圆的短轴上顶点，直接得到点坐标；当时，设出点坐标，利用点在椭圆上和列方程求出点坐标，当，根据椭圆的对称性得到点坐标； （3）先假设出的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到坐标，进而得到，类比得到坐标，由两点间的距离公式得到，点斜式得到直线，算出的高，利用三角形面积公式写出表达式，证明其为定值. 【小问1详解】 当时，椭圆， 因为，所以直线为，即， 代入椭圆方程，得，即， 当时，所以， 因为与关于轴对称，所以，所以. 【小问2详解】 若，则椭圆，焦点为，则， 因为是等腰三角形. 当时，点在椭圆的短轴上顶点，故； 当时，设，则 ，① 因为在椭圆上，所以， ② 由①、②得到，解得，（舍去） ，所以. 所以； 当时，根据椭圆的对称性得到； 综上得，点的坐标为，，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学） 一、填空题 1. 已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________. 2. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为________. 3. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比为______． 4. 已知，，则以为直径的圆的方程为____________________. 5. 把一个底面半径为4，高为的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为__________. 6. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 8. 已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 9. 已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是____________________.（写出一个满足条件的值即可） 10. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______． 11. 已知曲线，是曲线上任意一点，则的最大值为_____. 12. 已知为椭圆的上顶点，点、的坐标分别为和，点、分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且，直线和的斜率之差为，，则椭圆的离心率为___________. 二、单选题 13. 已知，为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 15. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18. 如图，在长方体中，已知. （1）证明:平面平面； （2）已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 19. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 20. 已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）若点的坐标为，求 的面积； （3）证明：. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $