数列：累加法、累乘法、数列递推问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 考点目录 累加法 累乘法 数列递推问题 考点一 累加法 例1.(25-26高二上黑龙江哈尔滨月考)已知数列{a}满足a1=1,a,-a1=2"a.a1,则an=（) 2 2"+-1 1 A.21+1 B.2可 1 C. 2"+1 D.2-1 例2.(25-26高二上江苏苏州期中)已知在数列{a}中，a=2,a1=an+nneN),则a,的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 例3.(24-25高二下上海期末)若数列{·1-，是以1为公差，2为首项的等差数列，数列{a,}其前项分别为1、 36、10、15,则数列{a}的通项公式an= 例4.(24-25高二下广东期中)数列{an}满足a,=1,且对任意的neN都有a1=a.+n+1,则a6= 例5.(25-26高二上·重庆期中)在数列{a}中，a1=0,a2=4,且a+2=2a1-a,+2. (1)证明：{a1-a,}是等差数列； (2)求{a}的通项公式. 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 例6.(2025·安微毫州模拟预测)数列{an}中，a1=2,a1=a。+n+1 (1)求数列{a}的通项公式： ②设&=止，数列么的前项和为。证明工<2 变式1.(25-26高三上辽宁月考)记7为数列{an}的前n项积，且a=1,T1-T,=2n,则a6=（) B.3 D. 6 20 变式2.(25-26高三上·四川成都开学考试)已知数列{a}满足a,=1,a1=a,+2(n∈N),则ao=() A.210-1 B.2"+1 C.20+1 D.2-1 变式3.(25-26高二上吉林延边月考)已知数列{a,}满足a=28，a1-an=2n,则a,=一 变式4.(25-26高二上甘肃兰州月考)已知数列{an}满足a=1,a*1-a。=n+1,则数列 的前n项和为 a 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 变式，2425商三广调百色月考》已免致列a满无：4=了4-数列，是以4为公浴的等差 数列. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)记数列 的前n项和为Sn,求So的值. an 变式6.(24-25高二下四川绵阳期中)已知数列{a}满足a=l,a1-a.=2nn∈N） (I)求数列{an}的通项公式： (2)设b=2”，求数列{bn}的前n项和Sn 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 考点二 累乘法 例1.226商二上额建宁整月考》已数列a满Ea=1,-中2则a的前7项和为(》 7 A. 12 B. C.7 4 D.1 例2.(2425商=下调川都月考)已知数列a满正：a=1且。之产o≥2eN.则藏列a的延项 公式为一· 例3.(24-25高二下吉林·开学考试)在数列{a}中，a=V5,a= n+3 则44= Vn+2 例4.(25-26高二上黑龙江大庆月考)己知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,对neN,都有2S,=(n+1)a,· (1)写出数列{a}的前5项； (2)求数列{4}的通项公式： 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 例5.(25-26高三上·福建漳州月考)设S。为数列{a}的前n项和，已知S2=6,S,=20,且数列 为等差数列 (1)求证：数列{an}为等差数列，并求a, ②若数列b满足么=山，且6=。，求数列1b}的前"项和 变式1.(2425高二下广东月考)记S.为首项为1的数列{a的前m项和，且三=r,则S=（) a。 A. 60 B. 50 50 29 29 37 D. 31 变式2.(2425高二上天津月考)在数列a}中，a,=1,=8（meN)则%=() nn+1 a A.4 B.2 C.2 D.4 变式3.(25-26高二上甘肃平凉·月考)己知数列{an}满足a=1,na,=(n+2)a1,则数列{an}的通项公式是一 变式4.(2425高下海南海口期中D已知数列☑的前项和为S4,=2且满足S,二”a,则数列a的通 项公式为一· 5 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 变式5.(24-25高三下江西月考)已知数列{a}的前n项和为Sm,且4Sn=(2n+)an+1. (1)求{an}的通项公式： (②)已知k∈N,集合{n2k01≤an≤2+1，n∈N}中元素个数为bk,求b+b,+…+b. 变式6.(24-25高二上湖南长沙月考)记数列{a,}的前n项和为S。,对任意正整数n,有2S。=na.,且4，=3. (1)求q和a,的值，并猜想{an}的通项公式； (2)证明第（1)问猜想的通项公式： (3)设bn= =1+0,数列b,的前n项和为，求证：T,<4: 2 6 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 考点三 数列递推问题 例1.(2526高二上测南岳阳-月考)已知数列{a,}满足a,=2,且a+2+2 2+++ a 2-1 =n0，在数列{b}中， -2" b,=2,点P(bn,bn)在函数y=x+2的图象上 (I)求{an}和{b}的通项公式： (②)设cn=22”+2n,求数列{cn}的前n项和 例2.(24-25高二下·贵州遵义·月考)已知数列{a}的前n项和Sn,满足：a,=1,S-1+1=a,(n≥2)；数列{bn}满足： bo+ ”,n为奇数 21 bn n- ,n为偶数 2 (1)求{a},{bn}的通项公式 (2)设cn=an·bn,求{cn}的前2n项和T 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 例3.(25-26高二上广西贺州月考)己知正项数列an}满足a=a+2a1+1(n≥2且n∈N),a1=1 (1)求a,a3,a4; (2)求{an}的通项公式： 3)设{a,的前n项和为S。,若元·-S。≤2恒成立，求的取值范围. 2 例4.(25-26高二上·重庆沙坪坝期中)已知数列{an}满足a1=6,a1=2a,+2"+2(n∈N). )证明：数列2) 为等差数列，并求数列{a,}的通项公式： (2)设bn= (n+1)am, 记数列{b}的前n项和为Sn 2n+1 (i)求Sn; 若heN,（小-m<0,求的取值范图 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 变式1.(25-26高二上重庆期中)数列{a}满足4=5，a,=6-9(meN,n≥2) an- 1 (1)求证数列 a-3 是等差数列； (2)求数列{a}的通项公式. 变式2.(25-26高三上吉林长春·期中)已知数列{a}满足a1=1,a,=3,a+2=3a1-2a.neN) (1)证明：数列{a1-a,}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式及其前n项和S。· 0 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 变式3.(25-26高三上安徽月考)已知数列{a}满足a,=1,且a1=a+2a(neN). (1)求a2,a,的值： (2)求数列{an}的通项公式： ③)令6，=1+1 aa+2,若数列6，的前a项和为S。,求S。. 变式4.(2025甘肃武威模拟预测)已知数列{a}满足a1=3a。+2”，且41=1 (①)证明：数列{an+2”}为等比数列，并求出{a}的通项公式： ②设6=。42，求数列的前项和2 10数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 考点目录 累加法 累乘法 数列递推问题 考点一 累加法 例1.(25-26高二上黑龙江哈尔滨月考)已知数列a,}满足a=1,a。-a1=2aa1,则an=（） 2 1 B.2可 C. 2"1-1 1 A. 2-+1 2"+1 D.2-1 【答案】D 【详解】因为a,-4=2a,a所以=2”即二=2， an an an- 即L=2-+2-2++2+1 1x0-21=2-1: a. 1-2 所以a,= 22小，面4=1他符号该式，放a 1 故选：D 例2.(25-26高二上江苏苏州期中)已知在数列an}中，a,=2,an=an+nneN),则a,的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】C 【详解】an1=an+nneN）,a,=2, 当n22时，a=(a-a+(a-a,++(a-a)+a=n-1+(n-2+…+2+川+2=nm-+2, 2 当n=1时，4=2满足0，=2+n”-1, 2 8=2+lg"aeN,a=210=2 故选：C 例3.(24-25高二下·上海期末)若数列{a1-a}是以1为公差，2为首项的等差数列，数列{an}其前5项分别为1、 3、6、10、15,则数列an}的通项公式an=」 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 【答案】nn+ 2 【详解】因为数列{a-a}是以1为公差，2为首项的等差数列，则a1-an=2+n-1=n+1,且a=1, 所以a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,,4n+1-an=n+1, 以上等式累加得a1-4=2+3+4+…+n+=2+m+11-2+3n 2 2 故a1=+3 4-产+3n+1=n+lm+2 2 -+a,= 2 2 故当n≥2时，an= n(n+1) 2 4=1也满足an= n(n+1) 2 ,故对任意的neN,an= nn+1) 2 故答案为：an= n(n+1 2 例4.(24-25高二下广东期中)数列{an}满足a,=1,且对任意的n∈N都有an+1=an+n+1,则a6=一· 【答案】21 【详解】因为an1=an+n+1,所以an+1-an=n+1, 当n≥2时，an=(an-an-+(an1-an-2+…+(a2-a)+4 =n+(n-)+(n-2)+…+2+1=nn+l, 2 其中a,=1满足a= n(n+1) 2 故对任意的neN,所以数列a,的通项公式为a,=n+ 2 所以a6= 6×6+0=21. 2 故答案为：21 例5.(25-26高二上重庆期中)在数列{an}中，a1=0,a2=4,且an+2=2an+1-an+2. (1)证明：{a1-a}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2)an=n2+n-2 【详解】(1)因为(an+2-an+1)-(an1-an)=an+2-2a1+an=(2a1-a。+2)-2a1+n=2, 且a2-a=4, 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 所以数列{a1-a}是以4为首项，2为公差的等差数列 (2)由(1)得：a+1-an=4+(n-1×2=2n+2. 所以a2-a1=4,a3-a2=6，a:-a=8，,an-a-1=2n 以上各式相加得：0，-4=4+6+8+…+2m-I-4+2m=2+m-2, 2 又a1=0,所以a。=n2+n-2 例6.(2025安徽毫州模拟预测)数列an}中，a1=2,a+1=a,+n+1 (I)求数列{an}的通项公式： .1 (②)设b=一，数列{b,}的前n项和为Tn,证明Tn<2 a 【答案】(1)an= n2+n+2 2 (2)证明见解析 【详解】(1)因为an1=an+n+1,即an+1-an=n+1, 所以当n22时，a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n, 将以上各式相加，得a-4=2+3+m=a-+2,则a.=”+n+2. 2 2 当n=1时也符合上式，故4，=+n+2 2 (2)由题意6=1-。2。<22 所以Tn=b+b2+…+bn<21- 223nn+1) 变式1.(25-26高三上辽宁月考)记Tn为数列{an}的前n项积，且a1=1,T1-Tn=2n,则a6=（) 13 A. C. 31 31 5 B.3 D. 6 21 20 【答案】c 【详解】由题意T=a1=1,Tn1-Tn=2n, 所以当n22时，Tn-T1=2(n-1),Tn1-Tm-2=2(n-2),…,T-T=2×1, 累加得当n≥2时，7=1+2x1+2×2++2n-1=1+2x0刀-=m2-n+1, 2 又当n=1时，=1也满足T,=n2-n+1,所以T。=n2-n+1, 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 所以a。= 6-62-6+1_31 T,52-5+121 故选：C 变式2.(25-26高三上四川成都开学考试)已知数列{a,}满足a=1,a1=a。+2”(neN),则a。=（) A.210-1 B.2"+1 C.20+1 D.2"-1 【答案】A 【详解】因为数列{a,}满足a=1,a1=a,+2”, 所以a1-an=2”, 所以a2-01+a3-a,++0,-a=0,-a,=2+22+23+…+2-1, 则a,=1+2+22+…+2-=1-2” =2”-1, 1-2 所以a。=210-1, 故选：A 变式3.(25-26高二上吉林延边月考)已知数列a}满足a1=28,a+1-a,=2n,则a,= 【答案】a,=n2-n+28 【详解】a1-an=2n,.a2-a1=2,a3-a42=4,a4-a3=6,an-an-1=2(n-1, an=(an-an)+(an1-an-2）+(an-2-an-3)+…+(a2-a)+a1, a.=[2(n-1]+[2(n-2)]+[2(n-3]…+2+28, a-a-24-2+2+28,0,=r2-a+28 2 故答案为：an=n2-n+28 变式4.(25-26高二上·甘肃兰州月考)已知数列an}满足a1=1,a1-an=n+1,则数列 的前n项和为」 a) 【答案】2n n+1 【详解】因为an=a+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-a-), 所以a,=1+(2+3+4++n=+刀_+n 2 2 4 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 2小8--分分片小年） 故答案为： 2n n+1 变式5，(a425商三上西百色月考)已知数列a满起：4=-宁a分数列口。是以4为公差的等差 数列 (I)求数列an}的通项公式： (2)记数列 的前n项和为Sn,求So的值. 【答案】0a,=22n-l2n-3到 国泗 【详解】(1)根据题意可得a1-a,=(a2-a,)+4n-1=4n-2; 当n≥2，neN时， 。=o.oo4-4+a-4+g-24n6a-》 2 =2n--2-(2m-, 又a=符合上式，所以a=号2n-2m-列： 1 11 (2) an(2n-1(2n-32n-32n-1' 11,11, 11200 Si= +197199=-199 变式6.(24-25高二下四川绵阳期中)已知数列{a,}满足a=1,a1-a,=2n(neN)） (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=2,求数列{b,}的前n项和S 【答案】(1)an=n2-n+1; 1 ②)5.=2-2 【详解】(1)：数列(an}满足a=L,an1-an=2nneN) an=(an-am-l)+(an1-a-2+…+(a2-a1）+a1 6 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 =2(n-1+2(n-2）+…+2×1+1 =2xm-ln+1=n2-n+1,m≥2， 2 又a=1也满足上式， an=n2-n+1. (2)由(1)得b=2,-=2-", :数列b}是等比数列，首项为1，公比为)， 1 1- ·数列b}的前n项和S,=2=2-。 1 12 1 21. 6 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 考点二 累乘法 创1.2526商上都建宁德月考)已知数列满足a=1,会产2则，的前7吸和为( 12 B. 5 3 D.7 【答案】C 【详解】因为u=” 0。n+2’4=1, 所以×xxx0=1x2x3x 41a2a3 a345n+21 则1= 2 2 aa+la+2即a.n+n+2 2 所以a,=川 +0≥2， 又a=1,满足上式，所以a= n(n+1) 1+1_1++1_1-7 所以{a,的前7项和为21-22 ++784 故选：C @2.(2425尚三下四川胶都月考分已知数列C满无：4=1且。”a2,neN,则数列0，的通项松 式为」 【答案】an=n 【详解】因为a=”（n≥2，neN), an-n-1 a1n-1 累乘可得.4.=2×2×4×× a4,aa4-4123 n-1, 即4=n,所以a,=n(n之2， 41 当n=1时，a=1也成立， 所以an=n, 故答案为：an=n 例3.(24-25高二下·吉林开学考试)在数列{a.}中，a,=V3,0L= n+3 ,则a4= Vn+2 【答案】6 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 【详解】因a=V5,a1= n+3 3635344 an n+2,故有g..2.04= d anan adV35V34V33V3, 即得4三 36 所以a4=V12a1=6 a 故答案为：6 例4.(25-26高二上·黑龙江大庆月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=1,对n∈N,都有2Sn=(n+1)an· (1)写出数列{a}的前5项； (2)求数列{an}的通项公式： 【答案】(1)a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a=5 (2 a=n 【详解】(1)由2Sn=(n+1an且，a=1得2S2=2(a+a2)=21+a2)=3a2,解得a2=2, 由2Sn=(n+la,且4=1，a=2,得2S;=23+a)=4a,解得43=3， 由2Sn=(n+1an且a1=1,,=2,a3=3,得2S4=2(6+a4）=5a4,解得a4=4, 由2Sn=n+1an且4=1，a,=2,a=3,a4=4,得2S=210+a)=6a5,解得a,=5; (2)因2Sn=(n+1an,当n≥2时，2Sn1=nan-1, 两式相减可得，2a,=(n+a,-a1,即(n-1a,=na,1,所以a=” an-i n-1' 所以0×⊥x…x=”xn-Lx 0a,gann-2X义，即h=,则a,m0=n, a 因a=1满足an=n,故数列an}的通项公式为an=n. 例5.(25-26高三上·福建漳州月考)设Sn为数列an}的前n项和，已知S2=6,S:=20,且数列 为等差数列 n (1)求证：数列{an}为等差数列，并求an ②)若数列b}满足6=1，且= b an2 -,求数列{bn}的前n项和T 【答案】(I)证明见解析，an=2n(n∈N) (2)Tn= 2n n+1 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 【详解】(1)设等差数列 的公差为d, n S2=6,S4=20, S=S2+2d,解得d=1,① 42 S=2+n-2)d=3+(n-2)×1=n+1,即S。=nn+, n 2 当n=1时，a1=S,=2, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=nn+l-(n-1n=2n, :a=2也符合an=2n,所以an=2nn∈N): 所以an+1-an=2(n+1)-2n=2(常数). 所以数列{an}是等差数列，a,=2nn∈N) (2)由(1)可知 b=01=2n=n b。a22n+4n+2' 4=14.24=3b=n- 66,465“nn+ (n≥2) 上运备式相民，为会导行片品品 nn+l n(n+1) 22n22 b.=bx a(n1)n(n+1) 因为4=1满足上式，所以点”a22aeN) 2 x=-+日】小-2个) 2n 故数列bn}的前n项和T,= n+1 变式1.(2425高二下广东月考)记3为首项为1的数列a,的前n项和，且三=m,则S=（) an 60 60 50 A.29 B. C.1 D:31 【答案】C 【详解】易得Sn1=(n+1)a1,故Sn1-Sn=(n+1)an1-na, 化简得(n2+2n)a=n2a,即(n+2)a1=a, 由4=1知a,≠0，故8u=” a,n+2' 累乘可得丛.” 21 ,n+2x年3 9 数列：累加法、累乘法、数列递推问题专项训练 2a1 2 即am+m+2a+ln+2,故4，m+m≥2 当m=1时，也符合上式，放S=,,放，9 60 故选：C. 变式2.(24-25高二上天津月考)在数列a,}中，a=1,u=0,(neN)则%=() nn+l a A.4 B.2 C. D.4 【答案】C 【详解】2。产aeN,即 an n+1' 所以a,=4.824.a=n=l-2.n-32×1 an-1 an-2 an-3 d2 a ”-10-2…21,22, n 1 显然a,=1满足上式，所以an=二， n 1 则4=4-1 0,12 故选：C 变式3.(25-26高二上甘肃平凉·月考)已知数列{an}满足a=1,nan=(n+2)a1,则数列{an}的通项公式是 2 【答案】a,= n(n+1) 【详解】：a=1,na,=(n+2]a1,即2=” an n+2' 0m=a .4..0=1.1.2.3.n-2.n-1.2 a,a2a-345nn+1n(n+’ 4=1满足上式，所以a,nn+1 2 故答案为：a,= n(n+1)' 变式+.2425高三海南游口期D已知数列a的前n项和为S=2且满足S二”十。，则数列a的通 项公式为一 【答案】an=(n+1)n 【1当22时.8=5-及-”子。”-2。 301, an=n+l 简得n-a,三+a,。n-利用累乘法得0。=。×山×2x×4××2x an-1 an-2 an-3 as az a =n+xnxn=xx5x4x3 X- 5×…×。×2×2×2=(n+1n, n-1n-2n-3321 10