6.7 用相似三角形解决问题同步练习题 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.7 用相似三角形解决问题 同步基础练习题 一．选择题 1．一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．一个人拿着厘米分划的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺直立，看到小尺上约12个分划（12厘米）恰好遮住电线杆（如图所示）．已知此人臂长约60厘米，则电线杆的高约是（　　） A．12米 B．9米 C．6米 D．4米 3．如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度约为（　　） A．2.8米 B．5.6米 C．8.6米 D．9.2米 4．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，在AC的延长线上取一点D，使CDCA，在BC的延长线上取一点E，使CECB，测得DE的长为5米，则AB两点间的距离为（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 5．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔，插入桶内测得木棒插入部分AB的长为100cm，木棒上沾油部分DB的长为60cm，桶高AC为80cm，那么桶内油面CE的高度是多少cm（　　） A．60 B．32 C．50 D．48 6．一个油桶高0.8m，桶内有油，一根长1m的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0.8m，则油桶内的油的高度是（　　） A．0.8m B．0.64m C．1m D．0.7m 7．如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米（如示意图，AB＝10米）；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球的半径是（　　） A．5米 B．8米 C．2.4米 D．10米 8．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高（　　） A．11.25米 B．6.6米 C．8米 D．10.5米 9．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是（　　） A．20000m B．400m C．200m D．199.2m 10．如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G、F在BC边上，D、E分别在AB、AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC＝12cm，AH＝8cm，则正方形DEFG的边长是（　　） A．cm B．4cm C．cm D．5cm 二．填空题 11．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 　 　 cm． 12．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示，AC与BD交于点O，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3.6cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是 　 　 cm． 13．如图，某学生利用一根长0.5米的标杆EC测量一棵树的高度，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度DB为 　 　 米． 14．如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作CD⊥AB，垂足为D，测得AD＝10m，AC＝20m，根据所学知识可证得△ACD∽△　 　 （写出一个即可），根据所测得的数据可算出A、B两点之间的距离是 　 　 ． 15．如图，小华站在楼AB的底端A处，眺望楼CD的顶端D，发现视线MD与水平线ME的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线BE与水平线EM的夹角也为α．已知点F恰好为AC的中点，点M在AB上，AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，EM⊥AB，楼AB的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度EF＝MA＝1.5米，根据以上数据计算出大楼CD的高度为 　 　 米． 16．在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承•复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形APNQ，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形ABCD）代表一名学生且每列的宽度都等于0.8m（即AB＝0.8m），每排的宽度都等于0.4m（即AD＝0.4m）．当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为xm（即BE＝xm），排与排之间的距离都为ym（即DM＝ym），若矩形AFGH与矩形APNQ相似时，则y关于x的函数关系式为 　 　 （不考虑x的取值范围）． 三．解答题 17．如图，在等边△ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且AP＝CQ，AQ、BP相交于点O． （1）求证：△AQC≌△BPA． （2）若，求的值． （3）若△ABC的周长为，求出OC的最小值． 18．如图，是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图1中，将线段AC绕点C逆时针方向旋转90°得到线段EC，画出线段EC； （2）在图1中，画出AC中点D，并在AB上画一点F，使DF∥EC； （3）在图2中，在AC上画一点G，使S△ABG：S△CBG； （4）在图3中，在AB上画一点H，使△ABC∽△ACH． 19．如图1所示，在正方形ABCD中，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AEF，∠ABC＝∠AEF＝90°，旋转角度为α． （1）在图1中，当0°＜α≤45°时，AE，AF分别交BD于点M，N． ①若正方形的边长为4，求MN•MD的最小值； ②求证：； （2）将△AEF绕着点A逆时针旋转一周，连接BF，取BF的中点G，连接DG．在旋转过程中，当DG⊥BF时，求tan∠CBF的值． 20．【项目式学习】制作“E”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“E”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表．以图2所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？（A、C、O在一条直线上，B、D、O在一条直线上） 21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，CB＝5，，E为BC上一动点，作∠AEG＝∠B，射线EG交射线AD于点G． （1）如图1，当AE⊥BC时，求AE的长； （2）如图2，若AE＝AG，求证：； （3）如图3，当点G在线段AD上时，射线EG交射线CD于点F，求线段BE多长时，线段DG最长，最大值为多少？ 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C D B C C C A 二．填空题 11．50． 12．5.4． 13．2． 14．△ABC或△CBD；40m． 15．12.5． 16．yx． 三．解答题 17．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝∠C＝60°， 在△AQC和△BPA中， ， ∴△AQC≌△BPA（SAS）； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC． ∵AP＝CQ， ∴CP＝BQ． ∵， ∴BQ＝2CQ． 如图1，过点P作PD∥BC交AQ于D， ∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ， ∴，， ∴CQ＝3PD， ∴BQ＝6PD， ∴BO＝6OP， ∴； （3）解：∵△ABC的周长为， ∴． 如图2，以AB为边作等边三角形NAB，连接CN， ∴∠NAB＝∠NBA＝60°，NA＝NB． ∵∠PBA＝∠QAC， ∴∠NAO+∠NBO＝∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA＝60°+∠BAQ+60°+∠QAC＝120°+∠BAC＝180°， ∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点为O′，与AB交点为D′，CO′即为CO的最小值． ∵NA＝NB，CA＝CB， ∴CN垂直平分AB， ∴∠MAD′＝∠ACM＝30°， ∴∠MAC＝∠MAD′+∠BAC＝90°． 在Rt△MAC中，∠ACM＝30°， ∴MA＝AC•tan∠ACM＝3，CM＝2AM＝6， ∴MO′＝MA＝3，即CO的最小值为3． 18．解：（1）将线段AC绕点C逆时针方向旋转90°得到线段EC，如图1.1即为所求；理由如下： ∵AC2＝22+42＝20＝CE2，AE2＝22+62＝40， ∴AC2+CE2＝AE2， ∴∠ACE＝90°， ∴CE即为所求； （2）如图2，取格点D，T，且D为AC中点，T为AE中点，连接DT，交AB于F，则DF即为所求； ∵D为AC中点，T为AE中点， ∴DT为△ACE的中位线， ∴DT∥CE，即DF∥CE； （3）如图2，取格点K，连接CK，AK，取AK的中点V，连接BV，交AC于G，则G即为所求； 由网格正方形的性质可得：B，C，K三点共线， ∵BK2＝52+52＝50，AB2＝12+72＝50， ∴BK＝BA， ∵V为AK中点， ∴∠ABV＝∠KBV， ∴G到BA，BC的距离相等， ∴S△ABG：S△CBG． （4）如图3，取格点J，R，且AJ＝2，BR＝3，连接JR交AB于H，则H即为所求； ∵AJ∥BR，AB5， ∴△AJH∽△BRH， ∴， ∴，， ∴AH•AB20， ∵AC2＝22+42＝20， ∴AC2＝AH•AB， ∴， ∵∠CAH＝∠BAC， ∴△ACH∽△ABC． 19．（1）①解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，AC⊥BD，AO＝OC＝OB＝OD，∠BAC＝∠ADB＝45°， ∴AC4， ∴OA＝OC＝2， ∵∠MAN＝∠BAC＝∠ADM＝45°，∠AMN＝∠AMD， ∴△MAN∽△MDA， ∴， ∴MN•MD＝AM2， ∴当AM与AO重合时，AM的值最小，此时MN•MD的值最小， ∴MN•MD的最小值＝（2）2＝8； ②证明：同法可证△NAM∽△NBA， ∴， ∴AN2＝MN•BN， ∵AM2＝MN•DM， ∴； （2）解：如图2中，当GD⊥BF时，连接AC，BD，过点F作FJ⊥AD于点J，交BC于点K，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝BDa． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD， ∵DG⊥BF，GF＝GB， ∴DF＝DB， ∵AF＝AC， ∴FA＝FDa， ∵FJ⊥AD， ∴AJ＝DJa， ∴FJa， ∵AD∥BC， ∴AK⊥BC， ∵AJ＝DJ， ∴BK＝CKa， ∴tan∠CBF2． 如图3中，当DG⊥BF时，同法可得tan∠CBF2． 综上所述，tan∠CBF的值为2或2． 20．解：问题1：由题可得AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， ∴①号“E”字与②号“E字”测试的视力相同， 问题2：由（1）可得， ， ∵AB＝45，OB＝5，OD＝3， ∴， ∴CD＝27， 答：②号“E”的高度CD应为27mm． 21．（1）解：∵，当AE⊥BC时， 设AE＝x，则CE＝2x，BE＝5﹣2x． ∵∠BAE+∠EAC＝90°，∠BAE+∠B＝90°， ∴∠EAC＝∠B， 又∵∠BEA＝∠AEC＝90°， ∴△BAE∽△AEC， ∴AE2＝BE•CE，即x2＝（5﹣2x）2x， 解得x＝2或0（舍去）， 故AE＝2． （2）证明：∵AE＝AG， ∴∠AEG＝∠AGE，且∠AEG＝∠B， ∴∠B＝∠AGE， 又∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠GEC， ∴∠B＝∠GEC＝∠AEG， ∴AB∥GE， ∴EH⊥AC， 在△AEH和△CEH中， ， ∴△AEH≌△CEH（ASA）， ∴AH＝CH，AE＝CE， ∴，， 即． （3）解：∵AD∥BC， ∴∠GAE＝∠AEB， 又∵∠AEG＝∠B， ∴△ABE∽△GEA． ∴AE2＝GA•BE． 设BE＝x，则由勾股定理有AE， 即4+（x﹣1）2＝x•GA， 故GAx﹣2（x＞2），令x﹣2＝t＞0， 故GA＝tt+22， 当且仅当t+2，即t时取等号，GA有最小值，DG有最大值， 此时BE＝x＝2+t， 故线段BE为时，线段DG最长，最大值为5﹣（）＝7． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/19 23:27:10；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $