专题 4.2 由平行线截得的比例线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦“由平行线截得的比例线段”核心知识点，系统梳理平行线基本事实、推论及构造平行线拓展内容，通过知识点分层讲解、例题变式训练及小结归纳搭建学习支架，形成从基础认知到综合应用的递进脉络。 资料亮点在于分层题型设计，基础篇通过辨析与运算题夯实基础，培优篇结合作图、证明题提升推理能力，构造平行线辅助线培养几何直观与创新意识。同步练习分层设置，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，体现数学思维与应用意识。

专题 4.2 由平行线截得的比例线段 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】平行线的基本事实 1 【知识点二】平行线基本事实推论 2 【知识点三】平行线基本事实拓展（构造平行线） 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】利用平行线的基本事实辨析 2 【★题型2】利用平行线的基本事实进行基础运算 4 【★题型3】利用平行线的基本事实推论基础运算证明 6 【★题型4】平行线的基本事实拓展（构造平行线） 8 （二）培优篇 11 【★★题型5】平行线的基本事实与作图题 11 【★★题型6】利用平行线的基本事实进行证明 15 【★★题型7】利用平行线的基本事实进行综合求值 19 【★★★题型8】平行线的基本事实进行拓展——构造平行线求值证明 22 三．同步练习​ 26 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 26 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 26 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 如图一：， ; . 图一 【知识点二】平行线基本事实推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 如图二：在中， ， . 图二 【知识点三】平行线基本事实拓展（构造平行线） 如图4，过点E过EF//DC交AD于点F，构造EF//DC的A字形ADC和EF//BD的BDG和EFG的“8字型”； 如图5，过点D作DF//AC交BE于点F，构造DF//CE的A字形BEC和DF//AE的DFG和AEG的“8字型”； 还可以通过点E作AD的平行线，过点D作BE的平行线，总之，就是通过作平行线得到双A字型或双8字型或一个A字型和一个“8字型”等等，达到线段或线段比值转化的目的. 图三 图四 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】利用平行线的基本事实辨析 【例题1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 【变式1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找好对应关系；根据定理内容列比例式即可． 解：∵ ∴， 故选：C ． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 解：，， ，． ． 故选D． 【小结归纳】解决利用平行线的基本事实辨析比例式的题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理及其推论，关键在于找准对应线段，避免混淆线段的比例关系；解题时，先根据平行线条件确定被截的线段，再依据“平行线所截得的对应线段成比例” 写出比例式，对于选项的判断，需逐一将选项比例式与定理推导的正确比例式对比，注意线段的前后项对应关系，排除对应错误的选项。 【★题型2】利用平行线的基本事实进行基础运算 【例题2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）若，求和的长． 【答案】（1）；（2）的长分别为 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，比例的性质． （1）根据平行线分线段成比例得到进而根据计算即可； （2）先求出，再根据计算即可． 解：（1）解：，， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ， ． 故的长分别为． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 解：，， ， ， 故答案为：． 【小结归纳】解决这类平行线分线段成比例的基础计算题型，核心是熟练运用平行线分线段成比例定理，先根据平行线条件确定对应成比例的线段，列出准确的比例式，再将已知线段的长度或比值代入，通过解比例方程计算未知线段的长度或线段比值，解题过程中要特别注意线段的对应关系，避免因对应混淆出现计算错误。 【★题型3】利用平行线的基本事实推论基础运算证明 【例题3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出，进而根据，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找准对应线段； 由平行可得比例线段，即可求得的长． 解：∵ ∴ 又 ∴， ∴， 故答案为：8． 【小结归纳】 解决此类平行线分线段成比例的基础计算题型，核心是紧扣平行线分线段成比例定理，先根据平行线条件确定成比例的对应线段，再列出比例式，将已知线段长度代入比例式，通过解简单的比例方程或直接计算，求出未知线段的长度或线段比值，解题时需注意线段的对应关系，避免因对应错误导致计算失误。 【★题型4】平行线的基本事实拓展（构造平行线） 【例题4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，是的中线，E为上一点，连接交于点F，且，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边．延长到，使，连接，证明，推出，，推出，设，根据平行线分线段成比例定理列式计算即可求解． 解：延长到，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在中，于点D，点E在上，且，连接并延长交于点F，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，作交于H．想办法证明：即可解决问题． 解：如图，作交于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【变式2】如图，在等腰中，，点P在的延长线上，，点D在边上，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）见分析；（2）1 【分析】1）由得，根据已知条件 及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可以证明，则； （2）过点D作交AB于点E，先证明，则，由可推得，则点E为的中点，根据平行线分线段成比例定理可以求出的值为1． 解：（1））证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点D作交AB于点E， 则： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的值为1． 【点拨】此题考查平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，过点D作 是解题的关键． 【小结归纳】 解决平行线分线段成比例定理的综合应用题型，核心是通过作辅助线构造平行线，将待求线段与已知线段的比例关系进行转化；再依据平行线分线段成比例定理列出比例式，设未知数建立方程求解，证明比例关系时则需通过角的等量代换推导三角形相似或等腰关系，进而得出线段比例。 （二）培优篇 【★★题型5】平行线的基本事实与作图题 【例题5】（25-26九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，尺规作图等，先证明，再根据平行线分线段成比例得出． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据作图可知：是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【变式1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 （保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了尺规作图，平行线分线段成比例，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质的知识， （1）根据作一个角等于已知角的方法作图，作，交于点即可； （2）先证明四边形是菱形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定和性质即可求得． 解：（1）解：如图，点即为所求， 根据作图可得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（   ） A．6 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】A 【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ，， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 【★★题型6】利用平行线的基本事实进行证明 【例题6】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握相关知识点是解题关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，，由平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，再结合，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，从而得出，即可证明结论． 解：（1）证明：垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． （1）求证： （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）10 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． （1）由，求得，由求得，据此即可得到； （2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的长为10． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】（1）见分析；（2）能平行， 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 解：（1）证明：， ． ， ． ； （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【★★题型7】利用平行线的基本事实进行综合求值 【例题7】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． （1）用含的代数式表示的长； （2）求与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的应用； （1）根据平行线分线段成比例定理得，求出，再根据可得结论； （2）根据三角形面积公式得，然后根据二次函数的最值可得结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为边上的动点（与、不重合），， ∴， ∴用含的代数式表示的长为； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 综上所述，与的函数表达式为，的最大值为． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： （1）的值为__________； （2）求证：； （3）求：的值． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3） 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 解：（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，且，点在边上，D，B，E，C四点在同一直线上，若，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 根据，则，即，得到，设，则，再在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵∠∠， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴，， ∵， 在中， ， ∴． 【★★★题型8】平行线的基本事实进行拓展——构造平行线求值证明 【例题8】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例的性质，过点作交于点．由平行线分线段成比例得到，，结合中点从而得，，由此证得即可求出结果． 解：如图，过点作交于点． ，． 又，点是的中点， ， ． ． 【变式1】（2025九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 【变式2】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）在中，点在边上，点在边上，与交于点．   （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 解：（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，，且，则的长为（    ） A．6 B．4.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 解：， ，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，再由即可得到，即可解答． 解： ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，则，由，得． 解：， ． ， ． ， ， ． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，点D，E分别是的边上的点，，与交于点，若为的中点，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理， 先作，可得，，再根据，可得，，然后代入比例式可得答案． 解：过点E作，交于点G， ∴，． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 8．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 根据平行线分线段成比例进行求解即可． 解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据得到，再代入计算即可． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理，，通过已知线段长度求出该比例． 解：∵ ∴， ∵，，     ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，把一个梯形木箱分割成六块，其中，且，量得，则对角线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先证明，再由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 14．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，在中，点在上，点在上，且．求的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由可得，再进一步求解即可． 解：∵， 设， ， ， 解得， 的长为． 15．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，，进而可得结论． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． （2）证明：∵ ， ∴，， ∴， ∴． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点D作交于H，则可推出，证明，得到，则． 解：如图，过点D作交于H， 是的中点， ， ， ∵E是的中点， ∴， ． ， ∴． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据比例的性质求出，根据平行线分线段成比例得出，则可求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后根据比例的性质求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 【答案】B 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是利用平行判断成比例的线段，进而得到线段的比例关系． 利用得到线段比例关系，再利用得到线段比例关系，再将两个比例关系相加求解． 解：∵， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·月考）如图，已知直线，如果，，则线段的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段定理列出比例式是解题的关键． 先根据平行线分线段成比例列出比例式求解即可． 解：∵， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵，， ∴，解得：． 故答案为：6． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答． 解：证明：过点作交于点．    ，　 ； 又， ，   ，    ． ，   ．　 又，    ． ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点M，N分别是边，的中点，连接，交于点F，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确构造平行线解决比例线段问题． 连接交于点，由平行四边形得到，然后可得为的中位线，则，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 解：连接交于点， ∵平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是的中点，连接，点在上，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由得，即得，同理得，即得到，解得，再由即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 解：∵， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出的长度，即可求出的长度． 解：由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 14．（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，再证，即可求解． 解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 15．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，，且． （1）求的值； （2）若，，分别求出和的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的性质是解决本题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据结合可得，进而即可求解． 解：（1）解：∵, ∴, ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题提出：如图1，等腰三角形中，，，E为上一点，D为边上一点，将绕点D逆时针旋转得，F在下方，连接．探求与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当且E与B重合，D为中点时，直接写出的大小． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题拓展：（3）将图1特殊化，如图3，当且D为中点时，交于G，若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）作交于H，证明，即可求得； （2）作交于H，同理证明，即可求得； （3）作交于H，作交于R，证明是等腰直角三角形，求得，，证明，据此求解即可． 解：（1）作交于H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 作交于H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴； （3）作交于H，作交于R，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， 同理， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，作出合适的辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 由平行线截得的比例线段 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】平行线的基本事实 1 【知识点二】平行线基本事实推论 2 【知识点三】平行线基本事实拓展（构造平行线） 2 二.题型精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】利用平行线的基本事实辨析 3 【★题型2】利用平行线的基本事实进行基础运算 4 【★题型3】利用平行线的基本事实推论基础运算证明 4 【★题型4】平行线的基本事实拓展（构造平行线） 5 （二）培优篇 6 【★★题型5】平行线的基本事实与作图题 6 【★★题型6】利用平行线的基本事实进行证明 7 【★★题型7】利用平行线的基本事实进行综合求值 8 【★★★题型8】平行线的基本事实进行拓展——构造平行线求值证明 9 三.同步练习 10 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 如图一：， ; . 图一 【知识点二】平行线基本事实推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 如图二：在中， ， . 图二 【知识点三】平行线基本事实拓展（构造平行线） 如图4，过点E过EF//DC交AD于点F，构造EF//DC的A字形ADC和EF//BD的BDG和EFG的“8字型”； 如图5，过点D作DF//AC交BE于点F，构造DF//CE的A字形BEC和DF//AE的DFG和AEG的“8字型”； 还可以通过点E作AD的平行线，过点D作BE的平行线，总之，就是通过作平行线得到双A字型或双8字型或一个A字型和一个“8字型”等等，达到线段或线段比值转化的目的. 图三 图四 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】利用平行线的基本事实辨析 【例题1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【小结归纳】解决利用平行线的基本事实辨析比例式的题型，核心是掌握平行线分线段成比例定理及其推论，关键在于找准对应线段，避免混淆线段的比例关系；解题时，先根据平行线条件确定被截的线段，再依据“平行线所截得的对应线段成比例” 写出比例式，对于选项的判断，需逐一将选项比例式与定理推导的正确比例式对比，注意线段的前后项对应关系，排除对应错误的选项。 【★题型2】利用平行线的基本事实进行基础运算 【例题2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为 ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）若，求和的长． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，若，则 ． 【小结归纳】解决这类平行线分线段成比例的基础计算题型，核心是熟练运用平行线分线段成比例定理，先根据平行线条件确定对应成比例的线段，列出准确的比例式，再将已知线段的长度或比值代入，通过解比例方程计算未知线段的长度或线段比值，解题过程中要特别注意线段的对应关系，避免因对应混淆出现计算错误。 【★题型3】利用平行线的基本事实推论基础运算证明 【例题3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 【变式1】（23-24九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是 ． 【小结归纳】 解决此类平行线分线段成比例的基础计算题型，核心是紧扣平行线分线段成比例定理，先根据平行线条件确定成比例的对应线段，再列出比例式，将已知线段长度代入比例式，通过解简单的比例方程或直接计算，求出未知线段的长度或线段比值，解题时需注意线段的对应关系，避免因对应错误导致计算失误。 【★题型4】平行线的基本事实拓展（构造平行线） 【例题4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，是的中线，E为上一点，连接交于点F，且，若，，，则的长度为 ． 【变式1】（23-24九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在中，于点D，点E在上，且，连接并延长交于点F，则线段长为 ． 【变式2】如图，在等腰中，，点P在的延长线上，，点D在边上，． （1）求证：； （2）求的值． 【小结归纳】 解决平行线分线段成比例定理的综合应用题型，核心是通过作辅助线构造平行线，将待求线段与已知线段的比例关系进行转化；再依据平行线分线段成比例定理列出比例式，设未知数建立方程求解，证明比例关系时则需通过角的等量代换推导三角形相似或等腰关系，进而得出线段比例。 （二）培优篇 【★★题型5】平行线的基本事实与作图题 【例题5】（25-26九年级上·四川成都·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则 ． 【变式1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上求作点，使得 （保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（   ） A．6 B．5.5 C．6.5 D．7 【★★题型6】利用平行线的基本事实进行证明 【例题6】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）四边形是菱形． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． （1）求证： （2）已知，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·上海·课后作业）已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【变式3】（2025·江苏徐州·中考真题）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【★★题型7】利用平行线的基本事实进行综合求值 【例题7】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． （1）用含的代数式表示的长； （2）求与的函数表达式，并求的最大值． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： （1）的值为__________； （2）求证：； （3）求：的值． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，且，点在边上，D，B，E，C四点在同一直线上，若，，求的长．    【★★★题型8】平行线的基本事实进行拓展——构造平行线求值证明 【例题8】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值． 【变式1】（2025九年级上·河北·专题练习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【变式2】（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）在中，点在边上，点在边上，与交于点．   （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，，且，则的长为（    ） A．6 B．4.5 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 4．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，点D，E分别是的边上的点，，与交于点，若为的中点，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点都在五线谱上．若线段，则线段的长是 ． 9．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 10．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则 ． 11．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则 ． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，把一个梯形木箱分割成六块，其中，且，量得，则对角线的长度为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 14．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）如图，在中，点在上，点在上，且．求的长． 15．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 16．（2025九年级上·全国·专题练习）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于A，B，C和D，E，F，若，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 3．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 5．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 二、填空题 7．（25-26九年级上·全国·月考）如图，已知直线，如果，，则线段的长是 ． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点M，N分别是边，的中点，连接，交于点F，则的值为 ． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是的中点，连接，点在上，连接并延长交于点，过点作交于点，若，，则的长为 ． 12．（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 中，点D 为边的中点，连接，将 沿直线 翻折至 所在平面内，得，连接，分别与边交于点E ，与 交于点O ．若，则的长为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长．    14．（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    15．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，，且． （1）求的值； （2）若，，分别求出和的值． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）问题提出：如图1，等腰三角形中，，，E为上一点，D为边上一点，将绕点D逆时针旋转得，F在下方，连接．探求与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当且E与B重合，D为中点时，直接写出的大小． （2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 问题拓展：（3）将图1特殊化，如图3，当且D为中点时，交于G，若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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