20.2.2 勾股定理的逆定理的应用 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理的应用，通过辅导导入回顾勾股定理与逆定理的互逆关系，结合航海方向确定等情景导入，搭建从旧知到实际应用的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以航海、边防巡逻等实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象几何模型，通过典例讲解和变式训练培养逻辑推理与运算能力（数学思维），归纳解决问题三步法（建模、标注、求解）强化模型意识（数学语言）。学生能发展应用意识，教师可直接用于课堂探究与检测。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十章 勾股定理 20.2.2 勾股定理的逆定理的应用 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. (重点) 3. 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用. (难点) 学习目标 A　 B　 C　 a b c 勾股定理： 在 Rt△ABC 中， 若∠C = 90°， 则___________ 勾股定理的逆定理： 回顾所学，并完成下列框图. 互逆定理 a2 + b2 = c2 在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°. 情景导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 情景导入 1 2 例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号 沿什么方向航行吗？ N E P Q R 探究新知 1 2 N E P Q R 实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？ 16×1.5=24 12×1.5=18 30 24 18 30 “远航”号沿东北方向 ∠1 = 45° 抽象成数学问题 解决实际问题 1 2 N E P Q R 几何问题： 知______________， 求______________ PQ,PR,QR 的长 ∠2 的度数 利用勾股定理逆定理求度数 探究新知 解：根据题意， PQ = 16×1.5 = 24， PR = 12×1.5 = 18，QR = 30. 1 2 N E P Q R 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 所以∠QPR = 90°. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 探究新知 归纳总结： 解决实际问题的步骤： ① 构建几何模型（从整体到局部）； ② 标注有用信息，明确已知和所求； ③ 应用数学知识求解. 探究新知 【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求 PD，然后再利用勾股定理便可求 CD. 探究新知 解：∵ AC = 10，AB = 6，BC = 8， ∴ AC2 = AB2 + BC2， 即△ABC 是直角三角形. 设 PQ 与 AC 相交于点 D，根据三 角形面积公式有 BC · AB = AC · BD， 即 6×8 = 10BD，解得 BD = 在Rt△BCD 中， 东 北 P A B C Q D 探究新知 又∵ 该船只的速度为 12.8 海里/时， 6.4÷12.8 = 0.5(小时)= 30(分钟)， ∴ 需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上 10 时 58 分进入我领海. 探究新知 问题：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 区别 联系 (1) 勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. (2) 勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理. 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关. 探究新知 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝3，AD＝ ，DC＝ . 如果 AC⊥BC，判断 AC 与AD 是否也垂直，并说明理由. 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD. A B C D 探究新知 解：因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC²＝AB²－BC²＝5²－3²＝16. 所以 AC＝4. 在△ACD 中， 所以 AC²＋AD²＝CD². 因此△ACD 是直角三角形，即AC⊥AD. A B C D 探究新知 【练一练】 1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm， BC＝4 cm，求△ABC 的面积. 解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC = 5 cm. 又∵ ∴△ABC 是直角三角形， ∠B 是直角. ∴ D C B A 探究新知 2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m， ∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵ AC2＝92＝81， ∴ AB2＋BC2≠AC2. ∴ ∠ABC≠90°， ∴ 该农民挖的不合格． 【练一练】 探究新知 解：(1) 证明：∵ CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2，∴△BDC 是直角三角形. (2) 设腰长 AB = AC = x， 在 Rt△ADB 中，∵ AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22，解得 用到了方程的思想 【练一练】3. 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC＝ ，BD = 2． (1) 求证：△BCD 是直角三角形； (2) 求△ABC 的面积． ∴S△ADB = A B C D 探究新知 返回 1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A．北偏东50° B．北偏东45° C．南偏东50° D．南偏东60° A 中考考法 19 2．[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 中考考法 20 中考考法 21 返回 【答案】B 中考考法 22 3．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A．AB2＝20 B．∠BAC＝90° C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2 中考考法 23 返回 【答案】C 中考考法 24 返回 4．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________． 中考考法 25 5．如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m，则喷泉B到小路AC的最短 距离为(　　) A．90 m B．120 m C．150 m D．180 m 中考考法 26 返回 【答案】C 中考考法 27 6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架AC＝24 cm，CB＝18 cm，两轮中心的距离AB＝30 cm，则点C到AB的距离为________cm． 中考考法 28 返回 中考考法 29 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 谢谢观看！ 【点拨】如图，连接AC.∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，∴AC＝＝＝15(m)．∵CD＝8 m，AD＝17 m，∴AC2＋CD2＝152＋82＝289＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝ AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝54＋60＝114(m2)．∴这块菜地的面积为114 m2. 【点拨】A. AB2＝22＋42＝20，正确，故不符合题意；B. ∵AC2＝12＋22＝5，AB2＝20，BC2＝32＋42＝25，∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°，正确，故不符合题意；C. S△ABC＝4× 4－×3×4－×2×1－×2×4＝5，错误，故符合题意；D.设点A到直线BC的距离为h.∵BC2＝25，∴BC＝5(负值已舍去)．∴×5×h＝5，解得h＝2，即点A到直线BC的距离是2，正确，故不符合题意． 【点拨】由题意可知MN⊥AB，∴在Rt△MNB中，BN＝＝＝90(m)．∴AN＝AB－BN＝ 250－90＝160(m)．∴在Rt△AMN中，AM＝＝＝200(m)．∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，∴AB2＝BM2＋AM2.∴∠AMB＝90°.∴喷泉B到小路AC的最短距离为BM的长，即为150 m. 【点拨】过点C作CD⊥AB于点D.∵AC＝24 cm，CB＝18 cm，AB＝30 cm，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.∴△ABC的面积＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝ cm，即点C到AB的距离为 cm. $