20.1.3利用勾股定理作图或计算 课件2025-2026学年 人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖利用勾股定理证明直角三角形全等、在数轴上表示无理数及复杂图形计算。通过七大会徽“海螺形”图案导入，复习数轴与实数对应关系，以问题链搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，结合数学眼光（从图案抽象数学问题）和数学思维（推理与方程思想），如折叠问题中设未知数用勾股定理列方程。采用典例与变式训练，小结归纳方法（如折叠四步法），助力学生发展推理能力，教师可直接用于课堂提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十章 勾股定理 20.1.3利用勾股定理作图或计算 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明. 2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点. (重点) 3. 理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算.(难点) 4. 在数学活动中培养探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值. 探究新知 欣赏下面图片： 这些都是什么的图片？ 这个图是怎样绘制出来的呢？ 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺形”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽. 情景导入 思考：在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗? 提示：先画出图形，再写出已知、求证. 探究新知 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠C′＝90°，根据勾股定理， 又 AB＝A′B′，AC＝A'C'， ∴BC＝B′C'. ∴△ABC ≌△A'B'C'(SSS) . 探究新知 问题2：求下列直角三角形的各边长. 1 ？ 2 1 ？ 1 问题1：我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表 示 3，﹣2.5 的点吗？ 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 3 -2.5 探究新知 √ √ 问题3：能否找到这样的三角形，满足斜边为 ，直角边均为整数？ 1 2 3 思考：根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？ 探究新知 0 1 2 3 4 l A B C x O 也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点. 1. 在数轴上找到点 A，使 OA = 3； 2. 作直线 l⊥OA，在 l 上取一点 B，使 AB = 2； 3. 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 的点. 探究新知 9 -1 0 1 2 3 问题4：你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？ 探究新知 10 “数学海螺” 类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段. 1 1 【类比迁移】 探究新知 -1 0 1 2 3 用同样的方法在数轴上画出表示 的点 探究新知 12 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 【归纳总结】 探究新知 例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值. 解：∵图中的直角三角形的两直角边长为 1 和 2， ∴斜边长为 ，即 －1 到 A 的距离是 ， ∴点 A 所表示的数为 . 易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长. 探究新知 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为(　　) C 【练一练】 A. 2 B. C. D. 探究新知 0 1 2 3 4 l A B C 2. 你能在数轴上画出表示 的点吗？ ？ 4 探究新知 16 例2 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分别画出长度为 ， ， 的线段 AB. AB= AB= AB= 探究新知 【练一练】在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长． 解：由题图得A(2，2)，B(-2，-1)， C(3，-2). 由勾股定理得 归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度. ∴△ABC 的周长为 探究新知 例3 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB = 8 cm，BC = 10 cm， 求 EC 的长. D A B C E F 解：在Rt△ABF 中，由勾股定理得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82 = 36， ∴ BF = 6 cm. ∴CF = BC－BF = 4cm. 设EC= x cm，则EF=DE=(8－x) cm， 在Rt△ECF 中，根据勾股定理 得 x2 + 42 = (8－x)2， 解得 x = 3. 即 EC 的长为 3 cm. 要用到方程思想 探究新知 【变式题】如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的B′ 处，点 A 的对应点为 A′，且 B′C＝3，求 AM 的长. 解：连接 BM，MB′. 设 AM＝x， 在Rt△ABM 中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′ 中，MD2＋DB′2=MB′2. ∵ MB＝MB′， ∴ AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 即 92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2， 解得 x＝2. 即 AM＝2. 探究新知 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线数或含 x 的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于 x 的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 【归纳总结】 探究新知 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 12，b = 5，求 c； （2）已知 a = 3，c = 4，求 b； （3）已知 c = 10，b = 9，求 a. 解：由勾股定理： ； ； . 中考考法 2. 如图，一根直立于地面的木杆在离地面 3 m 处折断， 木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处. 木杆折断之前有多高？ 解：如图，根据题意△ABC 是直角三角形，其中直角边 AC = 3 m，BC = 4 m. 根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 32 + 42 = 25， ∴AB = 5 m. ∴AC + AB = 3 + 5 = 8（m） ∴木杆折断之前有 8 m 高. A B C 中考考法 3. 如图，一个圆锥的高 AO = 2.4，底面半径 OB = 0.7 . AB 的长是多少？ 解：圆锥的高 AO、半径 OB、母线 AB 构成直角三角形. 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理， AB2 = AO2 + OB2 = 2.42 + 0.72 = 6.25， ∴AB = 2.5. ∴AB 的长为 2.5. 中考考法 4. 一个含两小圆孔的长方形零件尺寸（单位：mm）如图所示， 求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）. 解：由图可知：AC = 40－21 = 19（mm），BC = 60－21 = 39（mm） 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°， 根据勾股定理， AB2 = AC2 + BC2 = 192 + 392 = 1882， ∴ AB ≈ 43.4mm， ∴两孔中心的距离约为 43.4 mm. 中考考法 5. 如图，要从电线杆离地面 5 m 处向地面拉一条长为 7 m 的钢缆. 求地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离（结果保留 小数点后一位）. 解：由勾股定理，AB2 = 72－52 = 24， ∴ AB ≈ 4.9 m， ∴ 地面上钢缆的固定点 A 到电线杆底部点 B 的距离约为 4.9 m. 中考考法 6. 在数轴上画出表示 的点. = O 1 2 3 4 OA = 4，AB = 2. 中考考法 综合运用 7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c. （1）如果 ∠ A = 30°，求 BC，AC； 解:（1）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 30°， 因此 BC = AB = c. 由勾股定理，AC2 = AB2－BC2 = c2－c2 = c2， ∴ AC = c. 中考考法 （2）如果∠ A = 45°，求 BC，AC. 7. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c. 综合运用 （2）在△ABC 中，∠C = 90°，AB = c，∠A = 45°， 因此 AC = BC. 由勾股定理，AC2 + BC2 = AB2，即 2AC2 = c2， ∴ AC2 = ， ∴ AC = BC = c. 中考考法 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2.1，BC = 2.8. 求： （1）△ABC 的面积； （2）斜边 AB； （3）高 CD. A C B 解：（1）△ABC 的面积 S = AC · BC = ×2.1×2.8 = 2.94. （2）由勾股定理， = （3）根据题意有 S = AB · CD，即 ×3.5 CD = 2.94， ∴ CD = 1.68 . D 中考考法 9. 如图，一处台阶的高 h = 15 cm，为了行走方便，准备在台阶 处修建一个水泥坡道. 如果所修坡道的坡度 为 ，那么所修 坡道的长度 l 为多少（结果保留小数点后两位）？ 解：由题意，得 = . ∵ h = 15 cm，∴d = 12h = 12×15 = 180（cm）. 由勾股定理， = 答：所修坡道的长度 l 约为 180.62 cm. 中考考法 10. 如图，有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设水的深度为 x 尺，则这根芦苇的长度为 (x + 1) 尺. 根据题意和勾股定理可列方程 x2 + 52 =(x + 1)2. 解得 x = 12. ∴水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺. 10 尺 5 尺 1 尺 中考考法 11. 如图，一张三角形纸片 ABC，∠C = 90°，AC = 8 cm，BC = 6 cm. 将纸片沿直线 DE 折叠，使点 A 与 B 重合，求 CD 的长. 解：由折叠知，BD = AD. 设 CD = x cm，则 BD = AD = AC－CD = (8－x) cm. 在 Rt△BCD 中，由勾股定理，CD2 + BC2 = BD2， 即 x2 + 62 = (8－x)2，解得 x = . ∴CD 的长为 cm. 中考考法 12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm） 如图所示，分别求它们的高 h1，h2 . 解：如图甲. ∵AC = BC，CM ⊥ AB， ∴AM = AB = 10 mm. 在 Rt△AMC 中，由勾股定理， = ∴ h1 = 24 mm. 中考考法 如图乙.设 DN = x mm， 则 EN = DE－DN = (21－x) mm. 在 Rt△DFN 和 Rt△EFN 中，由勾股定理， DF2－DN2 = FN2 = EF2－EN2， 即 132－x2 = 202－(21－x)2， 解得 x = 5. ∴h2 = 5 mm. 12. 甲、乙两个三角形工件的尺寸（单位：mm） 如图所示，分别求它们的高 h1，h2 . 中考考法 拓广探索 13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积. 分析：由图可知，阴影部分的面积 为 S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－ S半圆ACB， 即可求出阴影部分的面积， 再求出 Rt△ABC 的面积，即可得证. 中考考法 13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积. 拓广探索 证明：∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴设 AC = BC = x， = 故两个小半圆的半径为 ， 半圆 ACB 的半径为 x，SRt△ABC = x2 . 中考考法 13. 如图，分别以等腰直角三角形 ABC 的边 AB，AC，BC 为直径 画半圆. 求证：所得两个月牙形图案 AGCE 和 BHCF 的面积之 和（图中阴影部分）等于 Rt△ABC 的面积. 拓广探索 观察图形可知： S半圆AEC + S半圆CFB + S△ABC－S半圆ACB 即为阴影部分面积， = ∴图中阴影部分面积等于 Rt△ABC 的面积. 中考考法 14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB， CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上. 求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.） 分析：连接 BD， 证明△AEC≌△BDC， 再根据勾股定理即可得证. 中考考法 14. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA = CB， CE = CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上. 求证：AE2 + AD2 = 2AC2．（提示：连接 BD.） 证明：如图，连接 BD. ∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∴CE = CD，∠E = ∠ADC = 45°，AC = BC，∠ECD = ∠ACB = 90°， 即∠ECA + ∠ACD = ∠ACD + ∠DCB， ∴∠ECA = ∠DCB . 中考考法 在△AEC 和 △BDC 中 CE = CD， ∠ECA = ∠DCB， CA = CB， ∴△AEC ≌△BDC（SAS）. ∴AE = BD，∠BDC = ∠E = 45°， ∴∠ADB =∠ADC + ∠BDC = 90°. 根据勾股定理，AC2 + BC2 = AB2， BD2 + AD2 = AB2， ∴AE2 + AD2 = BD2 + AD2 = AB2 = AC2 + BC2 = 2AC2 . 中考考法 勾股定理 应用 在数轴上画出表示实数的点 综合应用 课堂小结 谢谢观看！ $