20.1.2 勾股定理的应用 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过古代笑话“竹竿进门”情境导入，衔接复习与新知，以门框过木板、梯子滑动等实例，将实际问题转化为直角三角形模型，构建“实际问题-数学模型-勾股定理求解”的学习支架。 其亮点在于以真实情境为载体，通过“观察-抽象-建模”流程培养数学眼光，如台风断树问题抽象直角三角形；以推理计算发展数学思维，如梯子滑动问题两次应用勾股定理推导；以规范步骤强化数学语言，归纳解题流程。学生提升应用意识，教师可高效落实重难点。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十章 勾股定理 20.1.2 勾股定理的应用 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 进一步理解和掌握勾股定理.(重点) 2. 能够利用勾股定理解决简单的实际问题.(难点) 3. 通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识. 学习目标 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题.请问同学们，这样是真正解决了问题了吗？如果是你的话，你要怎么做？ 古代笑话一则 情景导入 2 m 1 m A B D C 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？ 探究新知 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 探究新知 木板从门框通过的方式 横着通过 竖着通过 斜着通过 2.2 m > l m， 故横着无法通过 A B C D 1 m 2m A B C D 1 m 2m 2.2 m > 2 m， 故竖着无法通过 A B C D 1 m 2m 对角线 AC是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.2m，则可以斜着通过 2.2m 2.2m 探究新知 2 m 1.5 m A B D C 解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝52. 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？ 因为 AC 大于木板的宽 2.2 m， 所以木板能从门框内通过. 所以 AC＝ ≈2.24 m. 探究新知 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路. 【归纳总结】 探究新知 【练一练】 1.在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 m 处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 m 处.你能告诉小明 这棵树折断之前有多高吗？ 8 m 6m 探究新知 8 m 6m A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. ∴ 这棵树在折断之前的高度是 10 + 6 = 16 (米). 在Rt△ABC 中， AC = 6 m，BC = 8 m， 由勾股定理得 探究新知 C A B 2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 m，宽为 3 m 的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“径路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 m )？ 别踩我，我怕疼! 解：(1) 在Rt△ ABC 中， 根据勾股定理得 ∴这条“径路”的长为 5 米. (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). 探究新知 例2 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿 墙 AO 下滑 0.8 m 吗? A B D C O 解：当梯子底端设 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D ，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC＝OA－OC. 探究新知 A B D C O 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OA2 = AB2 - OB2 = 2.52 - 0.72 = 5.76， OA = 2.4. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理得 OC2 = CD2 - OD2 = 2.52-(0.7+0.8)2=4， 因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m. OC = 2. 所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4. 探究新知 【练一练】 3.有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x + 1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程： x2 + 52 = (x + 1)2，解得 x = 12. 探究新知 返回 1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm．若这支铅笔长为18 cm，则这支铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm A 中考考法 16 返回 C 中考考法 17 返回 3．[2025东营]如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　　) A．0.9 m B．1.3 m C．1.6 m D．2 m A 中考考法 18 12 中考考法 19 返回 中考考法 20 5．开发利用太阳能光伏技术是我国实行节能减排、可持续发展、改善生存环境的重要举措之一．如图①是太阳能光伏板装置，图②是其截面示意图，其中，AB为太阳能光伏板，AC为垂直于地面的支架，∠ABC是光伏板的倾斜角． 中考考法 21 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 A 中考考法 24 返回 7．如图，∠AOB＝90°，OA＝25 m，OB＝5 m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC的长度为________m． 13 中考考法 25 勾股定理 应用 寻找直角，直接求边长 利用勾股定理构造方程 课堂小结 谢谢观看！ 2．如图，点A在数轴上，其表示的数为2，过点A作AB⊥OA，且AB＝3．以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴正半轴交于点P，则点P表示的实数为(　　) A． B．3.6 C． D．4 4．[2025广安]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2)分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3)画射线AF， 交BC于点E．若∠C＝2∠B， BC＝23，BD＝13，则AE的长为________． 【点拨】∵BC＝23，BD＝13，∴CD＝23－13＝10.连接AD，如图，由题意得AD＝AC，AE垂直平分CD，∴∠C＝∠ADC，∠AED＝∠AEC＝90°，DE＝CE＝CD＝5.∵∠C＝2∠B，∴∠ADC＝2∠B.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD， ∴∠B＝∠BAD.∴AD＝DB＝13. ∴在Rt△ADE中，AE＝＝12. 若倾斜角要由45°调整为30°，则需将支架AC的支点C移至C′处(如图③)．已知AB＝2 m，求CC′的长．(精确到0.01 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 【解】易得△ABC是等腰直角三角形． ∴AC＝BC，AB＝＝2 m， 解得AC＝BC＝ m(负值已舍去)． 依题意，∠A′BC′＝30°，∠A′C′B＝90°，A′B＝AB＝2 m， ∴A′C′＝A′B＝1 m. ∴BC′＝＝ m. 故C′C＝BC′－BC＝－≈1.732－1.414＝0.318≈0.32(m)． 6．[2025济宁期中]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(　　) A． B． C． D． $