20.1.1 勾股定理 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索、证明与应用，从直角三角形角的关系设问导入，结合《周髀算经》历史情境，通过网格图割补法探究面积关系，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生猜想并证明定理。 其亮点在于融合数学文化与探究活动，通过赵爽弦图、达·芬奇证法等培养推理意识，结合中考题和变式训练强化应用意识。学生能提升动手实践与创新能力，教师可利用完整流程和多样化例题提高教学效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十章 勾股定理 20.1.1 勾股定理 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.(重点) 2. 掌握勾股定理，并能应用它进行简单的计算.(重点) 3. 过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养动手实践和创新能力.(难点) 学习目标 思考：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢? 情景导入 在《周牌算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩其长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 探究新知 商高所指的面积关系可以用图形表示，如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为 ， ， ， 且它们的数量关系是 ， 从边的角度看， 这个直角三角形的三边满足： . 问题1：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 3 4 5 9 16 25 9＋16＝25 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 探究新知 问题2：(1) 如图，每个小方格的面积均为 1，求正方形 A1，B1，C1 ， A2，B2，C2 ，A3，B3，C3 的面积. 这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？ A1 B1 C1 B2 A2 C2 B3 A3 C3 探究新知 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究新知 A1 的面积＝1，B1 的面积＝4，C1 的面积＝5； A2 的面积＝4，B2 的面积＝9，C2 的面积＝13； A3 的面积＝9，B3 的面积＝25，C3 的面积＝34. A1 B1 C1 B2 A2 C2 B3 A3 C3 探究新知 (2) 它们之间的面积有什么关系？ A1 的面积＋B1 的面积＝C1 的面积； A2 的面积＋B2 的面积＝C2 的面积； A3 的面积＋B3 的面积＝C3 的面积. (3) 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 探究新知 【归纳总结】 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2. 探究新知 a b b c a b c a 证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. 探究新知 所以可以得到等式： . 证明：整个图形可以看作是边长为 的大正方形，它的面积为 ； 例1 请你补全下列证明勾股定理的一种方法. 已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB 的对边分别为 a，b，c. 求证：a2＋b2＝c2. 也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为 的小正方形组成， 其面积为 . 化简，得 . c c2 b－a a2+b2=c2 探究新知 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 几何语言： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴a2 + b2 = c2. a b c 公式变形： 探究新知 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的. 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 探究新知 例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长. 解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100， B 6 8 A C E D F 15 17 所以 AB＝10. (2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE²＋EF²＝DF²， 从而 DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64， 所以 DE＝8. (1) (2) 探究新知 【练一练】1. 求下列图中未知数 x，y 的值： 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15. 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5. 探究新知 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ； (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【练一练】2.在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 解： (1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52， 解得 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152， 解得 归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. (2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴c＝2a. 探究新知 【练一练】3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当 AB 为斜边时，如图①， 当 BC 为斜边时，如图②， 4 3 A C B 4 3 C A B 图① 图② 归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 探究新知 返回 B 中考考法 20 返回 2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列说法错误的是(　　) A．a2＋c2＝b2 B．c2＝2a2 C．a＝b D．∠C＝90° A 中考考法 21 返回 B 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 5．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1. “马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为_______. 中考考法 24 返回 6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 中考考法 25 7．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为S1，图②中空白部分的面积为S2． 中考考法 26 (1)请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2； (2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理． 【证明】由题意得S1＝S2，∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab. ∴a2＋b2＝c2. 中考考法 27 返回 【点步骤】证明勾股定理的三个步骤： (1)读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成的，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少； (2)列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式； (3)化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理． 中考考法 28 返回 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若AC＝4，BC＝2，则阴影部分的面积为(　　) A．4 B．4π C．8π D．8 A 中考考法 29 返回 D 中考考法 30 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝________． 3 中考考法 31 返回 【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝102.∴AB＝10. 由折叠得， BD＝B′D，AB′＝AB＝10，∴B′C＝AB′－AC＝10－6＝4.设CD＝x，则B′D＝BD＝8－x.在Rt△DB′C中，CD2＋CB′2＝DB′2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3. 中考考法 32 返回 11．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________． 10 中考考法 33 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(2，0)，点M为x轴上方一动点，且MA＝2，以BM为边构造等边三角形BMP，连接AP，当线段AP取最大值时，AP＝________，点M的坐标为________. 6 中考考法 34 勾股定理 三边关系 勾股定理 a2 + b2 = c2 特例猜想 网格验证 拼图证明 符号语言： 在Rt△ABC 中， ∠C = 90°， ______________ a b c 课堂小结 谢谢观看！ 1．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，则AB2＋BC2＋AC2＝(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 3．[2025安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 5或 4．若实数m，n满足|m－3|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为________． 【解】根据题意得S1＝a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab， S2＝c2＋2×ab＝c2＋ab. 9．[2025安顺期末]如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是(　　) A．14 B．16 C．14 D．14 (－3，) $