19.3.2 二次根式的混合运算 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式混合运算，通过“绿色亚运光伏板”实际问题导入，复习整式运算法则后类比迁移，搭建从整式到二次根式运算的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以类比思想引导探究，结合实例归纳运算律与公式应用，如用平方差公式简化计算，培养抽象能力和推理意识。分层练习覆盖基础与中考考点，助力学生提升运算能力，教师可高效开展教学。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.3.2 二次根式的混合运算 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算. (重点) 2. 熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用. (难点) 3. 通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想. 学习目标 如图，为推进绿色亚运城市建设，某市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板 A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为 18 m2 和 32 m2. A B (1) 光伏板 A，B 的边长分别为 m， m； (用最简二次根式表示) (2) 为计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积，小优是这样计算的： 正确 他的作法正确吗？ 探究新知 问题1：单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2：多项式与单项式的除法法则是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb (ma + mb + mc)÷m = a + b + c 探究新知 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考：若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 探究新知 例1 计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 探究新知 归纳总结：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 探究新知 例2 计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 探究新知 1. 计算： 注意：除号后面有括号的要先算括号里的，不可用分配律！ 【练一练】 (1) ； 解：(1) 原式＝ (2) . (2) 原式＝ ＝1. 探究新知 (3) ； (3) 原式＝ (4) . (4) 原式＝ 探究新知 平方差公式： 乘法公式 (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 完全平方公式： (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 探究新知 例3 计算： (2) ； (1) . 解：(1) (2) 探究新知 2. 计算： (1) ； 解：(1) 原式＝ (2) ； (2) 原式＝ 【练一练】 探究新知 = 18 - 48 = -30. (3) ； (2) 原式＝ (4) . (4) 原式＝ = (8 - 9)2 = 1. 探究新知 返回 A 中考考法 16 返回 B 中考考法 17 返回 A 中考考法 18 返回 A 中考考法 19 返回 中考考法 20 返回 中考考法 21 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 中考考法 24 中考考法 25 返回 【答案】B 中考考法 26 中考考法 27 返回 【答案】C 中考考法 28 2 中考考法 29 中考考法 30 返回 中考考法 31 中考考法 32 ①③④ 中考考法 33 中考考法 34 返回 中考考法 35 中考考法 36 返回 中考考法 37 二次根式混合运算 运算顺序 运算律 先乘方，后_____，最后______； 如有括号，先做_______的运算，按_______、______、________依次进行 乘除 加减 括号内 小括号 中括号 大括号 二次根式运算使用有理数运算的所有运算律，包括整式乘法法则和乘法公式仍然适用 课堂小结 谢谢观看！ 1．计算－×的结果是(　　) A． B．－ C．2 D．5 2．从“＋，－，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“(＋1)□”中的“□”内，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是(　　) A．＋ B．－ C．× D．÷ 3．如图，数轴上表示的数可近似表示(4－)÷的结果的是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 【点拨】∵a＝＝＝＝－(＋3)，∴a与b互为相反数． 4．已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是(　　) A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 －2 【点拨】(－2)2 027(＋2)2 026＝(－2)×(－2)2 026× (＋2)2 026＝(－2)×[(－2)(＋2)]2 026＝(－2)×1＝－2. 5．计算：(－2)2 027(＋2)2 026＝________． ＋ 【点拨】由题意得c－4≥0，4－c≥0，解得c＝4， ∴＋(b－3)2＝0.∴a＝5，b＝3. ∴＝＝＝＋. 6．已知＋(b－3)2＝＋，则化简的结果为__________． 7．计算： (1)3÷＋×； 【解】原式＝3＋＝3＋＝9＋6＝15. 【解】原式＝－＝1－. 原式＝3＋2＋2－3＋2＝2＋4. (2)－×； (3)(＋)2－(＋)(－)． 8．先化简，再求值：x＋y2－(x2－5x)，其中x＝，y＝4． 【解】原式＝2x＋－x＋5＝x＋6. 当x＝，y＝4时，原式＝＋6＝＋6＝. 9．若a＝－＋－，则a的取值范围为(　　) A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2 【点拨】a＝3＋－(＋)＋(＋)－(＋)＝3－.∵2＜＜3，∴0＜a＜1. 10．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是(　　) A．c>b>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c 【点拨】∵a＝－，b＝－1，c＝，∴a＝＝，b＝＝＝，c＝.∵4＝>2＝>2＝，∴a>b>c.故选C. 11．已知x＝，y＝，且19x2＋123xy＋19y2＝1 985，则正整数n的值为________． 【点拨】∵x＝＝＝(－)2＝2n＋1－2，y＝＝＝(＋)2＝2n＋1＋2，∴x＋y＝4n＋2，xy＝1. 将xy＝1代入19x2＋123xy＋19y2＝1 985，得19x2＋123＋19y2＝1 985，化简得x2＋y2＝98，∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝98＋2＝100.又∵n为正整数，∴x＋y＝4n＋2＝10，解得n＝2. 12．数学课上，同学们对王老师写在黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭．题目如下： 化简：＋＋． ①小浩说：当a，b，c皆为正数时，化简结果为；②小特说：当a，b，c皆为负数时，化简结果为； ③小凌说：当a<0，b>0，c<0时，化简结果为；④小斯说：当a>0，b<0，c<0时，化简结果为． 以上同学的说法中正确的是________．(填序号) 【点拨】当a，b，c皆为正数时，原式＝＋＋＝＋＋＝，故①正确．②当a，b，c皆为负数时，<0，无意义，故②错误．③当a<0，b>0，c<0时，原式＝＋＋＝＋＋＝＝，故③正确． 当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝＋＋＝＋＋＝＝，故④正确．综上，①③④正确． 13．已知a＝3＋，b＝3－． (1)求a2＋b2－3ab的值； 【解】∵a＝3＋，b＝3－， ∴a－b＝2，ab＝6. ∴a2＋b2－3ab＝(a－b)2－ab＝(2)2－6＝12－6＝6. 【解】∵m为a的整数部分，n为b的小数部分， a＝3＋，b＝3－，∴m＝4，n＝2－. ∴＝＝＝2－. (2)若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． $