19.3.1 二次根式的加减 课件 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减运算，通过复习最简二次根式定义及化简练习，引导学生发现同类二次根式特征，再类比整式加减的“找同类项-合并同类项”，构建“化简-找同类-合并”的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以数学思维中的类比推理构建方法，通过“木板截正方形”等问题链培养数学眼光，用“一化简二判断三合并”的数学语言总结步骤。实例涵盖基础计算与生活应用，帮助学生发展运算能力与应用意识，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.3.1 二次根式的加减 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.(重点) 2. 理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.(难点) 3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯. 学习目标 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点? 化简后被开方数相同 探究新知 问题1：如何计算 . 整式的加减 找同类项 合并同类项 二次根式的加减 合并同类二次根式 找同类 二次根式 类 比 例如：3a + 2a = (2 + 1)a = 3a 分析： 探究新知 问题2：将 与 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？为什么？ （化成最简二次根式） （利用分配律合并） ， 可以合并，由于它们有共同的因数 ，可以利用分配律进行合并. 分析： 探究新知 【归纳总结】 一般地，二次根加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如： 探究新知 例1 若 和最简二次根式 可以合并， 则 m＝ . 1. 下列各组二次根式中，化简后能合并的是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【练一练】 3 D 探究新知 例2 计算： (1) ； (2) ； 解：(1) ； (2) . (3) (3) . 探究新知 思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论? 化为最简 二次根式 用结合律合并 整式 加减 二次根 式性质 结合律 整式加 减法则 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 探究新知 思考：如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： (1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2) 找——找出被开方数相同的二次根式； (3) 并——把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并” 探究新知 例3 计算： (1) ； (2) 解：(1) (2) 探究新知 注意：(1) 若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成 (假) 分数，进而化为最简二次根式； (2) 原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 探究新知 【练一练】 2. 计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 探究新知 例4 有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？ 7.5 dm 5 dm S=8dm2 S=18dm2 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 探究新知 7.5 dm 5 dm S=8dm2 S=18dm2 解：大正方形木板的边长为 dm. 因为 ＜5，所以这块木板够宽. 两块正方形木板的边长的和为 ( ) dm，而 由 ＜1.5 可知 ＜7.5， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 因此，可以用这块卡板按要求截出两块面积分别是 8 dm² 和 18 dm² 的正方形木板. 探究新知 3. 有一个等腰三角形的两边长分别为 求其周长. 分析：题目给的是等腰三角形的两边长，并未确定是底边还是腰，则需分两种情况讨论， 同时要满足三角形三边之间的关系. 【练一练】 探究新知 解：① 当腰长为 时， ∵ ∴此时能构成三角形，周长为 ② 当腰长为 时， ∵ ∴ 此时能构成三角形，周长为 探究新知 返回 C 中考考法 19 返回 D 中考考法 20 返回 0 (答案不唯一) 中考考法 21 返回 3 中考考法 22 返回 中考考法 23 中考考法 24 返回 中考考法 25 中考考法 26 返回 中考考法 27 中考考法 28 返回 【答案】B 中考考法 29 返回 B 中考考法 30 返回 2 中考考法 31 返回 中考考法 32 中考考法 33 中考考法 34 返回 中考考法 35 二次根式的加减 先将二次根式化成_________ 再将__________相同的二次根式进行_________ 最简二次根式 被开方数 合并 课堂小结 谢谢观看！ 1．[2025绍兴期中]二次根式：①；②；③；④中，与是可以合并的二次根式的是(　　) A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．下列计算正确的是(　　) A．＋＝ B．2＋＝2 C．3－＝3 D．＝ 3．已知二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值可能是________(只需写出一个)． 【点拨】＋＋＝3＋3＋＝3＋＝a＋b，∴a＝3，b＝. 4．若a，b是有理数，且＋＋＝a＋b，则a＝________，b＝________． 5．二元一次方程组的解是_____________． 原式＝2＋3－2＋5＝7＋. 6．计算： (1)2＋－； (2)(＋)－(－)； 【解】原式＝4＋×3－×4＝4＋－3＝2. 【解】原式＝2＋－－＝＋. (3)＋－． 7．假期中，王强和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图(如图)，他们在A点登陆后先往东走8 km到H点，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走了3 km，再折向北走了6 km，往东一拐， 再走 km就找到了宝藏埋藏点B． 问：他们共走了多少千米？ 【解】8＋2＋3＋6＋＝20(km)． ∴他们共走了20 km. 8．[2025邯郸模拟]若a＋＝，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴的(　　) A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【点拨】∵a＋＝，∴a＝－＝3－2＝.∵＜＜，∴1＜＜2，即1＜a＜2.∴表示实数a的点会落在数轴的段②上，故选B. 9．如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为π，宽为π的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是(　　) A．12π B．18π C．24π D．36π 【点拨】由题意得解得 则a＋b＝1＋1＝2. 10．已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为________． －＋4 11．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝ a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其他运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝____________． 12．小进准备完成题目“(■－5)－”时，发现“■”处的数印刷不清楚． (1)他把“■”处的数猜成6，请你计算(6－5)－的结果； 【解】原式＝6×－5×－2＋×2＝2－－2＋＝0. (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的答案是．”通过计算说明原题中“■”处的数是多少． 【解】设原题中“■”处的数是a， 则－＝， 即a－5×－2＋×2＝. ∴a－－2＋＝. ∴＝. ∴a－2＝，解得a＝. ∴原题中“■”处的数是. $