精品解析：广东省汕尾市2025-2026学年高三上学期综合测试（一）数学试题

汕尾市2025-2026学年度普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 5. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本 成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本 的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ） A. 5.6万元 B. 5万元 C. 6万元 D. 4.8万元 7. 四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆 为 的外接圆， 是边 上一点，且 平分 ，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若 ，则 D. 若，则有最大值2 10. 分别是等差数列的前 项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 若 ，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点 与相切的直线有三条 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 __________. 13. 圆 的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆 面积的最大值为__________. 14. 已知 为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过 的焦点 的直线交 于两点，当时，的值为__________. 四､解答题 15. 已知在 处有极小值. （1）求 的值； （2）设，若在上恒成立，求 的取值范围（，是自然对数的底数）. 16. 如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点. （1）若，求点 到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 已知 分别为 三个内角 的对边，若且. （1）求角 以及边 的大小； （2）若 分别是的中点，且交于点 ，求. 18. 记为递增数列的前 项和，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前 项和； （3）记的前 项和为，证明：. 19. 已知函数 . （1）若曲线在点处的切线方程为 ，求实数 的值； （2）当时，证明：在内存在唯一极小值点； （3）若 是负整数，且 对任意的恒成立，求 的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕尾市2025-2026学年度普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质求出集合，再由集合的交集运算求解． 【详解】， ， ， . 故选：B 2. 在复平面内，复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，并利用复数的概念即可得答案． 【详解】，所以虚部为. 故选：D 3. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为 ，由圆台的体积公式求解． 【详解】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为 ， 因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm， 所以，解得， 设水桶的高为 ，如图所示： ， 所以水桶的容积为. 故选：B 4. 双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线性质及两条渐近线的夹角为，分类求解即可． 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在 轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的上方，此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 5. 定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到函数一个周期为2，从而代入计算即可. 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 6. 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本 成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本 的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ） A. 5.6万元 B. 5万元 C. 6万元 D. 4.8万元 【答案】D 【解析】 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入 万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【详解】设投资为 万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元. 由题意设. 由图知.又. 从而. 设A产品投入 万元，则B产品投入（）万元， 设公司利润为 万元， 则， 设，则， ， 当 时，，此时 . 所以A产品投入16万元，B产品投入4万元时，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元. 故选：D 7. 四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排列与组合知识及古典概型求解． 【详解】四只鸽子飞回三个不同的笼子的总方法数为， 其中“至少有一个空笼子”包含两种情况： ① 恰有两个空笼子（即4只鸽子在同一个笼子），有种； ② 恰有一个空笼子（即4只鸽子在两个笼子里），有种， 故所求概率为. 故选：B 8. 已知圆 为 的外接圆， 是边 上一点，且 平分 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，设， 因为，求解出 的值，即可求解． 【详解】因为圆 为 的外接圆， 所以 ， 因为 是 的平分线， 所以， 设， 因为， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若 ，则 D. 若，则有最大值2 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A项，作差进行判断；对于B项，由进行判断；对于C项，作差判断； 对于D项，当 时，，利用对勾函数判断． 【详解】，故选项A正确. 时，，则，故选项B正确. 若或，即，则，故； 若，即，则，故，故选项C错误. 当 时，； 当 时，，设，由对勾函数的性质知，， 所以，即原式最大值为，故选项D错误. 故选：AB 10. 分别是等差数列的前 项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前 项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 若 ，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点 与相切的直线有三条 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，再利用函数的判别式判断极值点个数，最后由图象逐个分析即可. 【详解】因为的对称中心为， 则的对称轴为， 代入 ，得， ， 又因为，所以， 故， 令 ，得极值点 和 ； 当时 ，当时 , 所以极大值点为 ，A正确； 因为，且，所以，即有两个不同的零点（极值点）， 但三次函数的零点个数由极值的符号决定： 若极大值与极小值同号，则只有1个零点；若异号，则有3个零点， 仅无法确定极值符号，故无法判断零点个数，B错误； 因为 有两个极值点，则，即， 是的根，由韦达定理： ，， 又因为，显然两个极值点处的函数值同号， 若 ， 先增后减再增，极值同号则 与 轴仅一个交点； 若 ， 先减后增再减，极值同号则 与 轴仅一个交点, 结合图象知，只有唯一一个零点，C正确； 对于D，因为 ， 其对称中心为：，对称中心处的切线斜率为， 则切线方程为： 设曲线上的切点为，则切线方程为： ， 因为切线过点，则： ，即 代入 和 ， 整理得：, 展开并化简：， 即. 令， 则， ， 因为， 所以 由于 其判别式： 当时，即，此时，这与矛盾， 所以，令，解得： 则， 当时，的单调增区间为、，减区间为，此时在处取极大值，在处取极小值，由于，， 由于,当 时， ，当 时，， 因此 在、、各有一个零点，即有三个零点，即过点 与曲线相切的直线有三条， 当时，的单调增区间为、，减区间为、 在处取极大值，在处取极小值， 此时在处取极大值，在处取极小值，由于，， 由于,当 时， ，当 时，， 因此 在、、各有一个零点，即有三个零点，即过点 与曲线相切的直线有三条， 综上，过点 与曲线相切的直线有三条，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 __________. 【答案】6或 【解析】 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ，所以，解得或； 当 ，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 13. 圆 的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆 面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直线恒过定点，圆心为.圆的半径为点 到该直线的距离，其最大值为线段的长度，此时圆面积最大． 【详解】因为直线过定点，椭圆的上焦点为， 当直线 垂直于直线时，圆 面积取得最大值， 此时圆的半径为：， 此时最大面积为. 故答案为： 14. 已知 为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过 的焦点 的直线交 于两点，当时，的值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】先由抛物线的定义求出 的值，然后利用焦点弦与原点构成的三角形面积公式求出焦点弦的倾斜角，最后结合抛物线的焦点弦性质求值． 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线 的倾斜角为 ， 因为直线 过焦点，所以， 又因为， 所以. 故答案为：16 四､解答题 15. 已知在 处有极小值. （1）求 的值； （2）设，若在上恒成立，求 的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出 的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当 或时 ，当时 ， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在 处有极小值，所以符合题意. 【小问2详解】 由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 16. 如图，在棱长为2的正方体中， 为的中点. （1）若，求点 到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求由点到面的距离； （2）利用向量法求两个平面法向量夹角的余弦，进而可求解． 【小问1详解】 方法一： 如图建立空间直角坐标系 ，则， 所以， 设平面的法向量为 所以令 ，则，此时， 因为， 所以， 又因为平面，所以 平面. 所以点 到平面的距离就是点 到平面的距离， 设此距离为 ，，即点 到平面的距离为. 方法二： 因为在正方体中， 且， 所以四边形是平行四边形，则 ， 又因为面，则 平面. 所以点 到平面的距离就是点 到平面的距离，设此距离为 ， ， 则， ， ，所以， 则， 所以. 【小问2详解】 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为 ， 则， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17. 已知 分别为 三个内角 的对边，若且. （1）求角 以及边 的大小； （2）若 分别是的中点，且交于点 ，求. 【答案】（1），6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简可求出，再由余弦定理计算可求出； （2）方法一：由结合平面向量线性运算计算求解；方法二：由余弦定理进行求解． 【小问1详解】 （ 为 外接圆半径）， ， ，，， ， ， ，即. ， ， ，. 【小问2详解】 方法一：由题意知，， ， ， ， . 方法二：由已知及余弦定理，得， ， ， 是 的重心， ， . 18. 记为递增数列的前 项和，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前 项和； （3）记的前 项和为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设利用分 和 结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通项公式； （2）由错位相减求和方法结合等比数列前n项和公式即可求解； （3）方法一：由和放缩公式结合裂项相消求和法计算求证即可得证； 方法二：由数列的单调性和放缩公式得到即可计算求证. 【小问1详解】 由题令 ，则，解得， 当 时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即是公差和首项均为2的等差数列， 所以. 【小问2详解】 设是数列的前 项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，即. 【小问3详解】 方法一：， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得， 即，所以. 方法二：因为是递增数列，所以是递减数列. 所以， 所以， 所以 . 19. 已知函数 . （1）若曲线在点处的切线方程为 ，求实数 的值； （2）当时，证明：在内存在唯一极小值点； （3）若 是负整数，且 对任意的恒成立，求 的最大值. 【答案】（1） （2）当时， ，令 ，则 ， 当时， ， 故 ，即 在上单调递增. ， 由零点存在定理，在有唯一零点， 且时， 单调递减； 时， 单调递增， 故在内存在唯一极小值点. （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的函数值和导数值，根据切线方程即可求出参数. （2）对函数两次求导，判断单调性，根据零点存在定理确定极小值； （3）当时，判断不符合题意； 故 .当 时， ，对 分情况讨论进行求解． 【小问1详解】 的定义域为， ，则 ， 因为曲线在点 处的切线方程为 ， 所以 ，解得 . 当 时， ， ，点 处的切线为 ，即 ， 所以 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， ， 因为 ，所以不符合题意； 故 . 当 时， ， 当 时， ， 令 ，可得， 所以在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， ，所以 ， 即 . 当 时， ， 所以 ，即 . 当 时， ，即 . 综上所述，若 对任意的恒成立，负整数 的最大值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $