4.2.1等差数列的概念（第1课时）（教学设计）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等差数列的概念及通项公式，通过“逢7过”游戏、天坛石板数等生活情境导入，引导学生观察数列规律，衔接数列概念基础，为后续学习搭建从具体到抽象的支架。 资料以多情境激发兴趣，通过归纳猜想与累加法推导通项公式，渗透从特殊到一般思想，发展数学抽象、逻辑推理素养。实例丰富且贴近生活，学生提升探究能力，教师可直接应用情境与活动设计，高效落实教学目标。

普通高中数学 选择性必修第二册 4.2.1等差数列的概念 第1课时 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二年级 学期 秋季 主备人 黄旭阳 课题 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 教科书 书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册 教材A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月 单元教学设计 单元名称 4.2.1等差数列的概念 单元目标 1. 能够准确的说出等差数列的特点，理解等差中项的概念；能够推导出等 差数列的通项公式，并可以利用等差数列解决些简单的实际问题. 2. 通过等差数列通项公式的推导，经历提出猜想到推理论证的过程，体会从特殊到一般的思想；理解等差数列与一次函数的内在联系，体会函数、方程思想，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养. 3. 通过对等差数列的探索研究，提高推理、归纳的能力，强化学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养. 单元知识 框架 等差中项的定义 等差数列的定义 概念 通项公式 表示 等差数列 应用 一次函数 课时安排 第1课时：等差数列的概念及其通项公式 第2 课时：等差数列的通项公式的函数特征及应用 第1课时教学设计 课题 4.2.1等差数列的概念（第1课时） 课题分析 1. 教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章第2节第1小节(第一课时)，主要的学习内容是等差数列的概念和通项公式. 结合新课标，教材借助生活中具体的典型实例，通过观察、分析、推理、讨论、归纳等活动过程，让学生从中了解和体会等差数列的概念与通项公式知识的生成过程. 数列是一种特殊的函数，与函数思想密不可分，而等差数列作为数列部分的主要内容，它起着承前启后的作用，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，同时培养学生抽象概括、逻辑推理、数学运算的能力. 同学们在学习后续内容时，会感受到无论在知识上，还是在方法上这节的学习都具有积极的意义. 2. 学情分析 本节课的学习对象为高二学生，经过函数学习后，学生已经具有一定的逻辑分析能力和抽象概括能力，对由观察到抽象的数学活动过程以及对函数和方程思想都有所体会，也能够应用数学公式解决简单问题。但是他们知识建构的思维模式仍然是需要借助具体实例的理解，才能抽象出对应的数学概念. 经过前一节数列的概念学习，学生对数列已经有了初步的接触和认识，具备了一定的理论基础，但学生基础较弱，逻辑推理、抽象概括和数学运算能力有所欠缺. 因而，课堂上会注意教学的节奏，从具体的生活实例引导和启发学生，促进学生相关素养的进一步发展. 学习目标及重、难点 学习目标： 1. 通过等差数列概念的形成，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列； 2. 通过等差数列通项公式的推导，经历提出猜想到推理论证的过程，体会从特殊到一般的思想，发展数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养. 教学重、难点 重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念． 难点：等差数列的通项公式推导及应用、掌握等差数列的判定方法. 教学过程 环节一：创设情境，引入等差数列概念等差数列 环节二：归纳猜想，探究等差数列通项公式 环节一：创设情境，引入等差数列概念 环节三：理解应用，利用等差数列解决问题 环节四：梳理总结，凝练等差数列知识脉络 （一）创设情境，引入课题 【学生游戏】 逢“7”过——规则：从第一个同学所说数字开始依次报数，遇到含7或者7的倍数时，跳过该数. 被跳过的数分两类：7的倍数：7，14，21，28，35，…；含7：7，17，27，37，47，…. 【情境一】北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次9，18，27，36，45，54，63，72，81. 【情境二】 女装上衣型号 S M L XL XXL XXL 38 40 42 44 46 48 【情境三】测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位: )依次为25.0， 24.4， 23.8， 23.2， 22.6. 【情境四】某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息(单位：万元)依次 （2） 阅读精要，探究新知 学生活动：将以上游戏和情境中生成的数列填写到下列表格. 数据 游戏 7，14，21，28，35，… 7，17，27，37，47，… 情境一 9， 18， 27，36， 45， 54， 63， 72， 81 情境二 38，40，42，44，46，48 情境三 25.0， 24.4， 23.8， 23.2， 22.6 情境四 ar，ar-br，ar-2br，ar-3br 设计意图：通过具体实例让学生感知生活存在的数列，为下一步探究数列规律，引入课题做准备. 学生活动：请组内相互结合，探究以上数据的规律，完成下列表格. 数据分析 游戏 14-7=7 21-14=7 28-21=7 … 17-7=10 27-17=10 37-27=10 … 情境一 18-9=9 27-18=9 36-27=9 … 81-72=9 情境二 40-38=2 42-40=2 44-42=2 … 48-46=2 情境三 24.4-25.0=-0.6 23.8-24.4=-0.6 23.2-23.8=-0.6 … 22.6-23.2=-0.6 情境四 (ar-br)-ar=-br (ar-2br)-(ar-br)=-br (ar-3br)-(ar-2br)=-br… 问题1：你能发现上述游戏和情境相关数列的变化规律吗？ 师生活动：上述每一个数列的后一项与前一项的差值都相等. 设计意图：通过具体实例让学生感知生活存在的数列，收集数据，培养和发展学生数据分析的核心素养. 问题2：可否用符号语言表示后一项与前一项间的关系？ 师生互动：若将第一组数列中的每一项分别用则有 学生活动：类比以上写法，将其他数据用符号语言进行表达. 设计意图：通过符号语言的转化，让数列的取值规律更加突出，从具体实例转变为数学语言抽象表达，发展学生数学抽象的核心素养. 定义提炼：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列(arithmetic progression)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母表示. 追问1：定义中的被减数和减数分别是什么？能否用符号语言叙述两者关系？ 依照定义，被减数为相邻两项中的后一项，而减数是相邻两项中的前一项，要注意被减数从第二项起.若前一项用表示，则后一项可用表示，若前一项用表示，则后一项可用表示. 追问2：公差可以是0吗？公差的取值范围是什么？ 可以，若公差是0，数列是一个常数列，满足等差数列的概念.公差的取值范围为任意实数. 追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？ 设计意图：通过问题辨析，明确定义中需要关注的要点，加深学生对等差数列概念的认知理解，并用严谨的数学语言将等差数列的概念抽象出来. （三）牛刀小试，巩固概念 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差. （1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10 （2） 3，3，3，3，3，3 （3） 3x，6x，9x，12x，15x （4） 95，82，69，56，43，30 设计意图：进一步加深学生对等差数列概念的理解，并掌握判断一个数列是否为等差数列的证明方法之一：定义法. （四）等差中项 问题3：一个等差数列最少需要几项？ 师生活动：从定义出发，一个等差数列最少需要三项. 问题4： 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 师生活动：若三个数组成等差数列，则叫做与的等差中项.根据等差数列的定义可以知道：. 设计意图：从一般到特殊，让学生根据等差数列的概念明白等差数列相邻项之间的关系，为等差数列的证明判断提供新思路，并且为证明等差数列的“下标”性质作铺垫. 环节二：归纳猜想，探究等差数列通项公式 问题1：根据等差数列的递推公式，能否推导等差数列的通项公式？ 师生活动：由递推公式，有，，，….于是有 ， ， ， …… 归纳可得，由于刚才的推导过程是从开始的，所以这里的范围是. 当时，上式为，这就是说，上式对也成立. 因此，我们得到首项为，公差为的等差数列的通项公式为： . 设计意图：结合定义，利用归纳推理，得到等差数列的通项公式，培养学生逻辑推理的数学素养. 追问1：以上的推理过程是归纳推理，获得的结论仅仅是一种猜想，正确性还需要进一步严格证明.所以还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？根据所提供的式子你有什么发现？ 师生活动：设一个等差数列的首项是，公差是. ，，，…，， 以上各式相加得，，即 所以等差数列的通项公式是. 注意：由于最后一个式子为，因此的范围是且.当时，. 设计意图：利用累加法对等差数列的通项公式再证明，进一步发展学生逻辑推理和数学抽象的核心素养. 追问2：等差数列的通项公式结构特征，可以反映出哪些信息？ 师生活动：(1)公式中一定是；(2)等差数列中，除首项外，每一项由首项和公差来确定；(3)一共有四个量，因此可以知三推一. 设计意图：对等差数列的通项公式进行解读，让学生对通项公式有进一步的了解. 环节三：理解应用，利用等差数列解决问题 例1（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； （2）求等差数列8，5， 2，... 的第20项. 例2 -401是不是等差数列的项?如果是，是第几项? 设计意图：通过对等差数列的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量之间的对应关系. 师生活动：完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，相互答疑. 设计意图：进一步让学生熟悉等差数列几个基本量之间的关系，并让学生互相讲解，增加课堂互动性. 环节四：梳理总结，凝练等差数列知识脉络 从知识角度，我们学习了等差数列、等差中项的定义，推导了通项公式，并进行了简单的应用.在此过程中，我们由等差数列的定义，写出等差数列的递推公式；由递推公式，分别用归纳和累加的方法，推导出等差数列的通项公式.对通项公式进行了理解和认识之后，可以利用等差数列的概念及通项公式解决一些简单问题. 从研究方法上看，由等差数列的定义写出相应的递推公式，再用归纳和累加的方法推导出通项公式，这是我们研究特殊数列的常用方法，在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后，我们运用通项公式，解决了一些简单问题. 请同学们结合自己本节课所学完成下列任务： 个人任务： 等差数列(arithmetic progression) 定义 等差中项 通项公式 小组任务：请你结合所学，该如何去判断一个数列为等差数列的方法？ 设计意图：利用知识小结，让学生梳理本节知识，形成知识脉络，纳入自己的知识体系． 作业布置，内化知识 1.完成课本习题4.2 1、2 2.预习4.2.1课时2 等差数列的通项公式与一次函数的关系 设计意图：进一步巩固所学知识，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．通过预习任务，进一步了解等差数列通项公式的本质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $