河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期开学收心考试数学试卷

九（上）开学收心考试数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5 4. 在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣3 D. 3 5. 六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（　　） A. 菱形的对角线相等 B. 平行四边形的对角互补 C. 有三个角为直角的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 9. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　） A. 1 B. C. D. 0 10. 如图，把一段抛物线记为抛物线，它与x轴交于点O、A；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ） A. B. 7 C. D. 5 二．填空题（共5小题） 11. 写出一次函数的解析式且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式______． 12. 一元二次方程的的解是_______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 14. 如图，将函数y＝(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(5，n)平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是_______． 15. 中，若，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点F重合，若折痕与直线交于点E，，则m的值为_______． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 10 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由． 18. 如图，在中，，是边上的中线． （1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）按要求作图： ①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； ②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2； （2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 ，C2坐标为 ，若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点P2的坐标为 ． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 22. 如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集； （3）已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围． 23. 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 九（上）开学收心考试数学试题 一．选择题（共10小题） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二．填空题（共5小题） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】y＝(x﹣2)2 +5 【15题答案】 【答案】或 三．解答题（共8小题） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）人 （3）选拔甲同学， 理由： 由图知，，， ∴， 又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定， ∴选拔甲同学． 【18题答案】 【答案】（1） 如图，射线、线段即为所求． （2） 解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 【19题答案】 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）（4，2），（1，3），（b，-a） 【20题答案】 【答案】（1） （2）元 【21题答案】 【答案】（1） （2）最小值为 （3）围成的菜地的最大面积是 【22题答案】 【答案】（1），顶点坐标； （2）或； （3）或． 【23题答案】 【答案】（1）， 理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $