2. 运动的合成与分解（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦运动的合成与分解核心知识点，以蜡块运动实例为引入，系统梳理合运动与分运动的关系及矢量运算法则，进而延伸至小船渡河、关联速度两大模型，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料配套思维导图助力物理观念建构，通过蜡块实验分析培养科学探究能力，依托模型建构深化科学思维，典例变式与分层巩固训练结合，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升解决复杂运动问题的能力。

第2节 运动的合成与分解 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：一个平面运动的实例 2 知识点2：运动的合成与分解 5 知识点3：小船渡河模型....................................................................................................................................10知识点4：关联速度模型....................................................................................................................................12 【方法技巧】 31 方法技巧 小船渡河 16 方法技巧 解决关联速度问题的思路 16 【巩固训练】 17 【学习目标】 1． 通过蜡块的运动理解合运动、分运动的概念，会分析互成角度的两个分运动的合运动的运动性质。 2． 掌握运动的合成与分解的方法。 3． 体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能运用这种思想分析解决实际问题。 重点： 1． 通过对合运动与分运动的分析，知道合运动与分运动的关系。 2． 能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移。 3． 能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握绳关联和杆关联速度分解的方法。 难点： 1. 学会判断合运动的轨迹和性质。 2. 会解决小船渡河问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：一个平面运动的实例 1．实验观察蜡块的运动规律 蜡块在竖直玻璃管内向上 ，将玻璃管沿水平方向 ，观察到蜡块做 。 2.蜡块的位移与位置 蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示 ， 。 3．蜡块运动的轨迹 在x、y的表达式中消去t，得，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。 4．蜡块的速度 由勾股定理可得：v＝ ，v与x轴正方向间夹角的正切为 【典例1】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x、y方向的运动情况可能是（　　） A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动 B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动 C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动 D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动 【变式1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度不断增大 B．速度先增大后减小 C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右 【变式2】如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，1s时小圆柱体的速度为。下列说法正确的是（　　） A．小圆柱体做匀加速直线运动 B．小圆柱体的加速度是 C．0~1s内小圆柱体沿y轴方向的位移为2cm D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm 【变式3】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为，则此时（    ） A．R的加速度大小为 B．R的加速度大小为 C．R的速度大小为 D．R的速度大小为 知识点2：运动的合成与分解 1． 合运动与分运动 （1）一个物体同时参与几个运动，那么物体 叫做合运动，参与的那几个运动叫做 。 （2） 合运动与分运动的关系 （1） 等时性---合运动和分运动经历的时间 ； （2）独立性---各分运动 进行，互不影响； （3）等效性---各分运动的规律叠加起来和合运动的规律 ； （4）同体性---各分运动与合运动是 物体的运动。 合运动与分运动 运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解，物体实际运动（合运动）的位移、速度、加速度就是物体的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是物体的分位移、分速度、分加速度。合运动的位移、速度、加速度可以比两个分运动的位移、速度、加速度都大，也可以比两个分运动位移、速度、加速度都小，还可以等于其中一个分速度的位移、速度、加速度。 2． 运动的合成与分解 （1）由分运动求合运动的过程叫作 ；由合运动求分运动的过程叫作 。运动的合成与分解指的是对位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。 （2）运算法则： ①分解方法：可以根据运动的 分解；也可以 分解。 ②位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循 定则。 3． 合运动的性质 （1） 合运动性质的分析方法 ①F()与v共线，物体做直线运动，若F()不变，为匀变速直线运动；若F()变化，为非匀变速直线运动。 ②F)与v不共线，物体做曲线运动，若F()不变，为匀变速曲线运动；若F()变化，为非匀变速曲线运动。 （2）两个互成角度的直线运动合成 分运动 两个匀速直线运动 一个匀速直线运动 一个匀变速直线运 两个初速度为0的匀加速直线运动 两个初速度不为0的匀加速直线运动 合运动 匀速直线运动 匀变速曲线运动 初速度为0的匀加速直线运动 可能是匀变速直线运动 可能是匀变速曲线运动 矢量图 判断合运动的性质 判断互成角度的直线运动的合运动性质，关键是判断合初速度与合加速度是否共线、合加速度是否恒定， 合成两个直线运动的初速度，得到合初速度；合成两个直线运动的加速度，得到合加速度。 【典例2】关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（    ） A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大 B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小 C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动 D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动 【变式1】如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是（　　） A．橡皮做匀加速直线运动 B．橡皮做匀速直线运动 C．橡皮做匀变速曲线运动 D．橡皮做速率不变的曲线运动 【变式2】无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 【变式3】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是（　　） A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．运动员着地时的速度方向竖直向下 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 【典例3】我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为的物件时，物件水平轴方向和竖直轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖直向上为正方向。重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动 B．物件在水平方向加速度大小为 C．物件在1s时的速度大小为 D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m 【变式1】某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为1kg的快递，在无人机飞行过程中，0~10s内快递在水平方向的速度—时间图像如图甲所示，竖直方向（初速度为零）的加速度—时间图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ）    A．快递做匀变速曲线运动 B．快递在0~10s内的位移大小为75m C．10s末快递的速度为 D．1s末快递受到合力大小为 【变式2】某物体的运动分解为相互垂直的x方向和y方向的图像如图所示。在0~1s内，下列判断正确的是（　　） A．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为，做匀变速直线运动 B．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为，做匀变速曲线运动 C．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为，做匀变速直线运动 D．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为，做匀变速曲线运动 【变式3】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（    ） A．质点的运动轨迹是直线 B．s时，质点的合速度方向与水平方向成45° C．s时，质点的合速度大小为m/s D．s时，质点的合位移大小为16m 知识点3：小船渡河模型 1. 模型特点 (1)船的实际运动是船随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 (2)三个速度v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)（如图甲所示）。船头指向是船在静水中的速度方向，船的实际运动方向是合运动的方向。 2. 分析方法 将船的运动分解为船随水流的运动和船在静水中的运动，如图乙所示。v水表示水流速度，v船表示船在静水中的速度，θ表示船头与河岸间的夹角，将船的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v船cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v船sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 3.最短渡河时间与最短渡河位移 情况 图示 说明 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河 位移 最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度方向垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 【典例4】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（　　） A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为 B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短 C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为 D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为 【变式1】假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船渡过这段水域的运动，下列说法正确的是（　　） A．最短时间为100s B．最小位移大于300m C．最大速度为3.5m/s D．运动轨迹为直线 【变式2】如图，小船以大小为、船头与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽，则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为 B．小船以最短位移渡河的时间为 C．小船渡河的最短时间为 D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是 【变式3】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v2，则（　　） A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸 B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则恰能到达正对岸 D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s 知识点4：关联速度模型 1. 模型特点 关联速度问题一般是由绳(或杆)相牵连的物体或直接接触的两物体问题（高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的），在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳、沿杆或垂直于接触面方向的速度大小相等，称为关联速度。 2. 分析方法 物体的实际运动就是合运动。把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。 3. 常见模型 速度关系 图例 绳模型 杆模型 【典例4】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（   ） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 【变式1】如图，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。轻环A在外力作用下沿杆匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置过程中（　　） A．重物B匀速下降 B．重物B加速下降 C．绳对B的拉力小于B的重力 D．绳对B的拉力大于B的重力 【变式2】如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为、，两物体的速率分别为、，且此时，、，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【变式3】如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（　　） A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为5 m/s D．5 s时小船到岸边距离为10 m 【典例5】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆不接触，间距可忽略不计。两个小球a、b均视为质点，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，当轻杆与竖直方向的夹角为时，小球a的速度大小为，则此时小球b的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是（　　）    A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．v0：v杆=tanθ：1 D．v0：v杆=1：tanθ 【变式2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【变式3】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速，下列说法正确的是（　　） A．活塞在水平方向上做匀速直线运动 B．当OA竖直时，活塞的速度为 C．当OA与AB共线时，活塞的速度为 D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为 【方法技巧】 方法技巧1 小船渡河 1. 求最短渡河位移时，要先判断船速与水速的大小关系，如果船速小于水速，船不能垂直到达河岸，当船速与合速度垂直时，有最短渡河位移，但此时渡河时间不是最短。 2. 渡河时间与水速无关，只要船头垂直于河岸，渡河时间就最短。 方法技巧2 解决关联速度问题的思路 【巩固训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在一端封闭的细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，玻璃管的开口用橡皮塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块A从坐标原点以速度匀速上浮，在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管沿ⅹ轴正方向由静止开始做匀加速直线运动。蜡块A的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）关于运动，以下说法正确的是（　　） A．物体受变力作用不可能做直线运动 B．物体受恒力作用不可能做曲线运动 C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动有可能是曲线运动 D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，则其合运动一定是曲线运动 3.（25-26高三上·山东烟台·期中）某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（　　） A． m B． C． D． m 4.（24-25高一下·广东肇庆·期末）小船横渡一条两岸平直的河流，水流速度方向与河岸平行，船相对于静水的速度大小不变，且船头始终垂直指向河岸，小船由P到的运动轨迹如图所示。关于小船渡河的过程，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的时间与水流的速度无关 B．小船做匀变速曲线运动 C．河水各处的流速均相等 D．小船的实际速度一直在变大 5.（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 6.（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定大于分运动的速度 B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解 C．合运动的时间等于各分运动的时间之和 D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动 7.火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 8.一质点在直角坐标系所在平面内由点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示。则（　　） A．末质点速度的大小为 B．前质点做匀变速直线运动，加速度大小为 C．内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为 D．内质点的位移大小为 9.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数，杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，已知：，，若A球在水平外力作用下向右移动的速度为3m/s时，则B球的速度为（　　） A．1.5m/s B．2.25m/s C．3m/s D．4m/s 10.（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是 B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是 11.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s.假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（    ） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为150m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为150m D．如图乙，若出发点m以下均为危险区，小船过河的最短时间为s 12.（24-25高一上·重庆·期末）曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转化的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0=12m/s的匀速圆周运动，已知OP=6m，PQ=8m，则下列说法正确的是（　　） A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于12m/s B．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度为零 C．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为10m/s D．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为15m/s 13.2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节 运动的合成与分解 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：一个平面运动的实例 2 知识点2：运动的合成与分解 6 知识点3：小船渡河模型....................................................................................................................................15知识点4：关联速度模型....................................................................................................................................21 【方法技巧】 31 方法技巧 小船渡河 31 方法技巧 解决关联速度问题的思路 31 【巩固训练】 31 【学习目标】 1． 通过蜡块的运动理解合运动、分运动的概念，会分析互成角度的两个分运动的合运动的运动性质。 2． 掌握运动的合成与分解的方法。 3． 体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能运用这种思想分析解决实际问题。 重点： 1． 通过对合运动与分运动的分析，知道合运动与分运动的关系。 2． 能利用运动的合成和分解知识分析小船渡河问题，会求小船渡河的最短时间和最短位移。 3． 能利用运动的合成和分解知识分析关联速度问题，掌握绳关联和杆关联速度分解的方法。 难点： 1. 学会判断合运动的轨迹和性质。 2. 会解决小船渡河问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：一个平面运动的实例 1．实验观察蜡块的运动规律 蜡块在竖直玻璃管内向上匀速直线运动，将玻璃管沿水平方向匀速直线运动，观察到蜡块做匀速直线运动。 2.蜡块的位移与位置 蜡块的位置：蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝，y＝。 3．蜡块运动的轨迹 在x、y的表达式中消去t，得，由于vx和vy均是常量，所以蜡块运动的轨迹是一条过原点的直线。 4．蜡块的速度 由勾股定理可得：v＝，v与x轴正方向间夹角的正切为 【典例1】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x、y方向的运动情况可能是（　　） A．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀速直线运动 B．x方向上做匀速直线运动，y方向上做匀加速直线运动 C．x方向上做匀减速直线运动，y方向上做匀加速直线运动 D．x方向上做匀加速直线运动，y方向上做匀速直线运动 【答案】D 【解析】AB.由题图图像趋势可知，若x方向做匀速直线运动，则y方向应做减速直线运动，故AB错误； C.若在x方向做匀减速直线运动，y方向做匀加速直线运动，则合力方向向左上方，图像应该向左上凹，故C错误； D.由图像趋势可知，若在y方向做匀速直线运动，则在x方向应做加速运动，故D正确。 故选D。 【变式1】如图所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　） A．速度不断增大 B．速度先增大后减小 C．运动的加速度保持不变 D．运动的加速度先水平向左后水平向右 【答案】B 【解析】AB．由图可知，在水平方向上，蜡块受到的合外力先指向右侧，故蜡块向右做匀加速直线运动；之后，蜡块受到的合外力指向左侧，故蜡块向右做匀减速直线运动，故蜡块水平方向的速度先增大后减小，而蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，故蜡块合速度先增大后减小，故A错误，B正确； CD．由上分析，可知蜡块运动的加速度方向先向右再向左，故加速度发生变化，故CD错误。 故选B。 【变式2】如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，1s时小圆柱体的速度为。下列说法正确的是（　　） A．小圆柱体做匀加速直线运动 B．小圆柱体的加速度是 C．0~1s内小圆柱体沿y轴方向的位移为2cm D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm 【答案】B 【解析】A．小圆柱沿y轴方向做匀速直线运动，x轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动，合运动为匀变速曲线运动。故A错误； B．由 可得1s时 由 可得 故B正确； C．由 可得，故C错误； D．1s内x轴上的位移为 小圆柱体到坐标原点的距离，故D错误。故选B。 【变式3】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R（R视为质点）。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为，则此时（    ） A．R的加速度大小为 B．R的加速度大小为 C．R的速度大小为 D．R的速度大小为 【答案】AD 【解析】AB．y轴方向上，R做匀速直线运动，x轴方向上，R做初速度为零的匀加速直线运动，则 解得 ， 故A正确，B错误； CD．x轴方向上，R的速度大小为 R的速度大小为 故C错误，D正确。 故选AD。 知识点2：运动的合成与分解 1． 合运动与分运动 （1）一个物体同时参与几个运动，那么物体实际的运动叫做合运动，参与的那几个运动叫做分运动。 （2） 合运动与分运动的关系 （1） 等时性---合运动和分运动经历的时间相等； （2）独立性---各分运动独立进行，互不影响； （3）等效性---各分运动的规律叠加起来和合运动的规律效果相同； （4）同体性---各分运动与合运动是同一物体的运动。 合运动与分运动 运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解，物体实际运动（合运动）的位移、速度、加速度就是物体的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是物体的分位移、分速度、分加速度。合运动的位移、速度、加速度可以比两个分运动的位移、速度、加速度都大，也可以比两个分运动位移、速度、加速度都小，还可以等于其中一个分速度的位移、速度、加速度。 2． 运动的合成与分解 （1）由分运动求合运动的过程叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程叫作运动的分解。运动的合成与分解指的是对位移、速度、加速度这些描述运动的物理量进行合成与分解。 （2）运算法则： ①分解方法：可以根据运动的效果分解；也可以正交分解。 ②位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循平行四边形定则。 3． 合运动的性质 （1） 合运动性质的分析方法 ①F()与v共线，物体做直线运动，若F()不变，为匀变速直线运动；若F()变化，为非匀变速直线运动。 ②F)与v不共线，物体做曲线运动，若F()不变，为匀变速曲线运动；若F()变化，为非匀变速曲线运动。 （2）两个互成角度的直线运动合成 分运动 两个匀速直线运动 一个匀速直线运动 一个匀变速直线运 两个初速度为0的匀加速直线运动 两个初速度不为0的匀加速直线运动 合运动 匀速直线运动 匀变速曲线运动 初速度为0的匀加速直线运动 可能是匀变速直线运动 可能是匀变速曲线运动 矢量图 判断合运动的性质 判断互成角度的直线运动的合运动性质，关键是判断合初速度与合加速度是否共线、合加速度是否恒定， 合成两个直线运动的初速度，得到合初速度；合成两个直线运动的加速度，得到合加速度。 【典例2】关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（    ） A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大 B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小 C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动 D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动 【答案】BC 【解析】AB．合运动的速度可以比两个分运动的速度都大，也可以比两个分运动的速度都小，还可以等于其中一个分速度的大小，故A错误，B正确； C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，如果合初速度方向与合加速度方向不在同一直线上，则合运动为曲线运动，故C正确； D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动，故D错误。 故选BC。 【变式1】如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是（　　） A．橡皮做匀加速直线运动 B．橡皮做匀速直线运动 C．橡皮做匀变速曲线运动 D．橡皮做速率不变的曲线运动 【答案】B 【解析】运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，可知橡皮一直处于铅笔正下方，则橡皮水平方向做匀速直线运动，由于细线总长度保持不变，橡皮竖直方向的位移大小总是等于水平方向的位移大小，即橡皮竖直方向的分速度总是等于水平方向的分速度，则竖直方向也是做匀速直线运动，故橡皮的合运动为匀速直线运动。 故选B。 【变式2】无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为轴、轴的正方向，某架参演的无人机在方向的图像分别如图甲、乙所示，则在时间内，该无人机的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，在时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。 故选A。 【变式3】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是（　　） A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．运动员着地时的速度方向竖直向下 C．运动员下落时间与风力无关 D．运动员着地速度与风力无关 【答案】C 【解析】AC．运动员下落时间只与竖直方向上的运动有关，与风力的大小无关，故A错误，C正确； BD．运动员在水平方向上受到风力的作用会有速度，风力越大，则水平方向的速度越大，运动员着地时的速度不是竖直向下的，且速度的大小与风力有关，故BD错误。 故选C。 【典例3】我国无人机技术发展迅猛，应用也越来越广泛，其中无人机配送也实现了无接触配送。某次无人机配送质量为的物件时，物件水平轴方向和竖直轴方向的运动图像分别如图中甲、乙所示，以竖直向上为正方向。重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物件在1∼3s内做变减速曲线运动 B．物件在水平方向加速度大小为 C．物件在1s时的速度大小为 D．物件在0∼3s提升的高度为4.5m 【答案】D 【解析】A．根据物件在水平轴方向的图像可知，x方向做匀速直线运动，有 ， 以竖直向上为正方向，竖直轴方向的运动的图像可知，物件先沿正向做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，有 ， 则物件在0∼1s做匀变速曲线运动，速度增大，在 1∼3s内做匀变速曲线运动，速度减小，故A错误； B．物件在水平方向做匀速直线运动，加速度大小为零，故B错误； C．物件在1s时的速度大小为 故C错误； D．物件在0∼3s提升的高度即为方向的位移，也是图像的面积，有 故D正确。 故选D。 【变式1】某快递公司用无人机配送快递，某次配送质量为1kg的快递，在无人机飞行过程中，0~10s内快递在水平方向的速度—时间图像如图甲所示，竖直方向（初速度为零）的加速度—时间图像如图乙所示，下列说法正确的是（    ）    A．快递做匀变速曲线运动 B．快递在0~10s内的位移大小为75m C．10s末快递的速度为 D．1s末快递受到合力大小为 【答案】C 【解析】A．0~5s时间内，快递在水平方向上的分运动为初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上的分运动是加速度不断增大的变加速直线运动，则其合运动变加速曲线运动，同理，5s~10s时间内，快递在水平方向上的分运动为匀速直线运动，在竖直方向上的分运动是加速度不断减小的变加速直线运动，则其合运动变加速曲线运动，故A错误； B．在图像中图线与时间轴所围的面积表示水平位移，则0～10s内快递的水平位移为 而竖直方向的位移不为零，所以快递在0~10s内的位移大小肯定大于75m，故B错误； C．依据图像与时间所围成的面积为速度的变化量，则10s末快递的竖直分速度为 而10s末快递的水平分速度为，所以10s末快递的速度为 故C正确； D．在1s末，快递水平方向加速度为 竖直方向加速度为 根据加速度合成可知，1s末快递的加速度为 由牛顿第二定律，则有，1s末快递受到合力大小为 故D错误。 故选C。 【变式2】某物体的运动分解为相互垂直的x方向和y方向的图像如图所示。在0~1s内，下列判断正确的是（　　） A．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为，做匀变速直线运动 B．物体的初速度大小为10m/s，物体的加速度大小为，做匀变速曲线运动 C．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为，做匀变速直线运动 D．物体的初速度大小为14m/s，物体的加速度大小为，做匀变速曲线运动 【答案】A 【解析】在0~1s内，由速度—时间图像可知，x方向初速度为，加速度为，y方向初速度为，加速度为，根据平行四边形定则可以得到合初速度为 合加速度为 而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动。 故选A。 【变式3】某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（    ） A．质点的运动轨迹是直线 B．s时，质点的合速度方向与水平方向成45° C．s时，质点的合速度大小为m/s D．s时，质点的合位移大小为16m 【答案】BC 【解析】A．由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点速度方向和受力方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A错误； B．时，质点竖直方向上的速度 质点的合速度方向与水平方向的夹角 质点的合速度方向与水平方向成45°，B正确； C．时，竖直方向上的速度 质点合速度的大小为 C正确； D．时，质点水平方向位移为 质点竖直方向上的位移 故质点的合位移大小为 D错误。 故选BC。 知识点3：小船渡河模型 1. 模型特点 (1)船的实际运动是船随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 (2)三个速度v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)（如图甲所示）。船头指向是船在静水中的速度方向，船的实际运动方向是合运动的方向。 2. 分析方法 将船的运动分解为船随水流的运动和船在静水中的运动，如图乙所示。v水表示水流速度，v船表示船在静水中的速度，θ表示船头与河岸间的夹角，将船的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，则v水－v船cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v船sinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。 3.最短渡河时间与最短渡河位移 情况 图示 说明 渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河 位移 最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度方向垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 【典例4】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（　　） A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为 B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短 C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为 D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为 【答案】D 【解析】A．当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为 且必须小于或等于 故A错误； B．小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度小于船在静水中速度，渡河时间不是最短，故B错误； CD．小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得 故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船渡过这段水域的运动，下列说法正确的是（　　） A．最短时间为100s B．最小位移大于300m C．最大速度为3.5m/s D．运动轨迹为直线 【答案】B 【解析】A．垂直河岸渡河时时间最短，则 故A错误； B．由于水流速度不断变化，当水流速度大于船在静水中的速度时，船将不能垂直河岸渡河，所以最小位移大于河宽，即最小位移大于300m，故B正确； C．由图可知，最大速度为 故C错误； D．船在沿河岸方向做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，故D错误。 故选B。 【变式2】如图，小船以大小为、船头与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽，则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为 B．小船以最短位移渡河的时间为 C．小船渡河的最短时间为 D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是 【答案】B 【解析】A．由速度矢量关系知，河中水流速度为 代入得 A错误； B．小船以最短位移渡河时的时间为 代入得 B正确； C．当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为 代入得 C错误； D．小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小为 代入得 则由矢量关系知，总位移大小为 代入得 D错误； 故选B。 【变式3】如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v2，则（　　） A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸 B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则恰能到达正对岸 D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s 【答案】A 【解析】A．冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有 解得 沿水流方向的位移为 能安全到达对岸。故A正确； BD．冲锋舟沿OP方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示 设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为，则冲锋舟在静水中的速度至少应为 由几何知识，可得 联立，解得 由图可知 冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为 故BD错误； C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则有 可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸。故C错误。 故选A。 知识点4：关联速度模型 1. 模型特点 关联速度问题一般是由绳(或杆)相牵连的物体或直接接触的两物体问题（高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的），在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳、沿杆或垂直于接触面方向的速度大小相等，称为关联速度。 2. 分析方法 物体的实际运动就是合运动。把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。 3. 常见模型 速度关系 图例 绳模型 杆模型 【典例4】如图所示，小车以速度v匀速向右运动，通过滑轮拖动物体A上升，不计滑轮摩擦与绳子质量，当绳子与水平面夹角为时，下面说法正确的是（   ） A．物体A的速度大小为 B．物体A的速度大小为 C．物体A减速上升 D．绳子对物体A的拉力等于物体A的重力 【答案】B 【解析】AB．将小车的速度沿绳和垂直绳方向分解，则物体A的速度与小车的速度沿绳方向的分速度大小相等，即 故A错误，B正确； CD．小车向右匀速运动，v不变，减小，增大，所以增大，物体A加速上升，加速度向上，合外力向上，绳子对物体A的拉力大于物体A的重力，故C、D错误。 故选B。 【变式1】如图，套在竖直细杆上的轻环A由跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。轻环A在外力作用下沿杆匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置过程中（　　） A．重物B匀速下降 B．重物B加速下降 C．绳对B的拉力小于B的重力 D．绳对B的拉力大于B的重力 【答案】D 【解析】AB．设轻环A在外力作用下沿杆匀速上升时绳与竖直方向的夹角为，由绳关联的速度关系有 因逐渐增大，则减小，可知减小，即重物B减速下降，故AB错误； CD．因重物B减速下降，由牛顿第二定律可知所受合外力向上，即绳对B的拉力大于B的重力，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2】如图所示绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为夹角为、，两物体的速率分别为、，且此时，、，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设此时绳子的速率为v，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解如图所示    可得 结合 解得 故选A。 【变式3】如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（　　） A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为5 m/s D．5 s时小船到岸边距离为10 m 【答案】C 【解析】A．几何关系可知，开始时船与滑轮间的绳长为40m，故5 s时船与滑轮间的绳长为 设此时绳与水面的夹角为，则有 故绳与水面的夹角为，故A错误； B．结合以上分析，5 s时小船前进的距离为 故B错误； C．设5 s时小船的速率为，把其沿绳方向和垂直于绳方向分解，则有 代入题中数据，解得 故C正确； D．5 s时小船到岸边距离为 故D错误。 故选 C。 【典例5】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆不接触，间距可忽略不计。两个小球a、b均视为质点，a球套在竖直杆上，b球套在水平杆上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，当轻杆与竖直方向的夹角为时，小球a的速度大小为，则此时小球b的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小球b的速度为，先将两小球的速度沿杆方向和垂直杆方向分解，再根据小a球沿杆方向的分速度等于小球b沿杆方向的分速度，可得 解得 故选D。 【变式1】如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是（　　）    A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．v0：v杆=tanθ：1 D．v0：v杆=1：tanθ 【答案】AD 【解析】AB．杆受半圆柱体的作用力如图所示      因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有 v0sinθ=v杆cosθ 杆向下运动，θ变大，tanθ变大，则 v杆=v0tanθ 变大，杆做加速直线运动，A正确，B错误； CD．根据 v杆=v0tanθ 得 v0：v杆=1：tanθ C错误，D正确。 故选AD。 【变式2】如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大 B．球与物块分离前，球与物块的速度相等 C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小 D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度 【答案】D 【解析】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示， 在水平方向由牛顿第二定律得 分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确； B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示， 将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误； C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。 故选D。 【变式3】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速，下列说法正确的是（　　） A．活塞在水平方向上做匀速直线运动 B．当OA竖直时，活塞的速度为 C．当OA与AB共线时，活塞的速度为 D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为 【答案】D 【解析】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，故A错误； B．由公式 可得，A点线速度为 将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示， 由几何关系可得 故B错误； C．同理可知，当OA与AB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故C错误； D．同理可知，当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，则 由几何关系 联立，解得 故D正确。 故选D。 【方法技巧】 方法技巧1 小船渡河 1. 求最短渡河位移时，要先判断船速与水速的大小关系，如果船速小于水速，船不能垂直到达河岸，当船速与合速度垂直时，有最短渡河位移，但此时渡河时间不是最短。 2. 渡河时间与水速无关，只要船头垂直于河岸，渡河时间就最短。 方法技巧2 解决关联速度问题的思路 【巩固训练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在一端封闭的细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，玻璃管的开口用橡皮塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块A从坐标原点以速度匀速上浮，在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管沿ⅹ轴正方向由静止开始做匀加速直线运动。蜡块A的运动轨迹为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】蜡烛在竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则合运动为曲线运动，加速度沿水平方向，合外力沿水平方向，则轨迹的凹向指向x轴正向。 故选B。 2.（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）关于运动，以下说法正确的是（　　） A．物体受变力作用不可能做直线运动 B．物体受恒力作用不可能做曲线运动 C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动有可能是曲线运动 D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，则其合运动一定是曲线运动 【答案】D 【解析】A．物体受变力作用，如果力与速度在同一直线上，则物体做直线运动，故A错误； B．物体受恒力作用，如果力与速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，故B错误； C．两个初速度为0，加速度不同的匀变速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，故C错误； D．分运动一是匀速直线运动，分运动二是匀加速直线运动，若这两个运动的方向不在一条直线上，则合力方向与合速度方向一定不在同一直线上，其合运动一定是曲线运动，故D正确。 故选D。 3.（25-26高三上·山东烟台·期中）某质点在Oxy平面上运动，其沿x轴方向运动的加速度一时间图像如图甲所示，沿y轴方向运动的位移一时间图像如图乙所示。已知t=0时，质点位于y轴上，它沿x轴方向速度为1m/s。则t=3s时质点位置相对于t=1s时质点位置的位移大小为（　　） A． m B． C． D． m 【答案】B 【解析】由图可得，物体运动在时间内，沿y轴方向的位移 x轴方向匀加速直线运动，时的速度 时间内的位移 则时质点位置相对于时质点位置的位移大小为 故选B。 4.（24-25高一下·广东肇庆·期末）小船横渡一条两岸平直的河流，水流速度方向与河岸平行，船相对于静水的速度大小不变，且船头始终垂直指向河岸，小船由P到的运动轨迹如图所示。关于小船渡河的过程，下列说法正确的是（　　） A．小船渡河的时间与水流的速度无关 B．小船做匀变速曲线运动 C．河水各处的流速均相等 D．小船的实际速度一直在变大 【答案】A 【解析】A．小船的船头垂直河岸渡河时，由运动的独立性知，渡河时间，与水流的速度无关，故A正确； CD．如图， 小船在静水中的速度大小和方向均不变，由轨迹的切线可知，小船的实际速度与船在静水中的速度的夹角先变大后变小，故水流的速度先变大后变小，小船的实际速度先变大后变小，故CD错误； B．小船的实际速度先增大后减小，做非匀变速曲线运动，故B错误。 故选A。 5.（24-25高一下·福建漳州·期末）2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，展现出别样的东方美，寓意鱼跃龙门好运连连，如图甲所示。图乙为简化示意图，工作人员A沿水平地面向左运动拉绳时，表演者B在空中升起，绳与水平方向之间的夹角为，则（　　） A．A匀速运动时，B加速上升 B．A匀速运动时，B也匀速上升 C．当时，A与B的速度大小之比为 D．当时，A与B的速度大小之比为 【答案】AD 【解析】AB．由运动的合成和分解可得 A匀速向左运动过程中θ变小，vB增大，因此A匀速运动时，B加速上升，选项A正确，B错误； CD．根据 可得 可知当时，A与B的速度大小之比为，选项D正确，C错误。 故选AD。 6.（24-25高一下·云南文山·期中）关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　） A．合运动的速度一定大于分运动的速度 B．运动的合成和分解实质是对描述运动的物理量的合成与分解 C．合运动的时间等于各分运动的时间之和 D．分运动是变速直线运动，则合运动必是曲线运动 【答案】B 【解析】A．合速度的大小由分速度的矢量和决定，可能小于分速度（如分速度方向相反时），故A错误； B．运动的合成与分解本质是对位移、速度、加速度等矢量的合成与分解，符合矢量叠加法则，故B正确； C．分运动与合运动是同时发生的，时间必然相等，而非相加，故C错误； D．若两个分运动的合加速度方向与合速度方向共线，即使分运动是变速直线运动，合运动仍为直线运动，故D错误。 故选B。 7.火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高为h，当时，被救人员向B点运动的速率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 即 将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度和垂直杆转动的速度 ，由矢量三角形可知 而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为。 故选C。 8.一质点在直角坐标系所在平面内由点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化如图所示。则（　　） A．末质点速度的大小为 B．前质点做匀变速直线运动，加速度大小为 C．内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为 D．内质点的位移大小为 【答案】D 【解析】A．末质点x轴方向和y轴方向的速度分别为3m/s、4m/s，根据矢量的合成可知 故A错误； B．初始质点y轴方向有速度，x轴方向有加速度，二者不共线，则质点做曲线运动，加速度为 故B错误； C．内质点x轴和y轴方向的加速度分别为 合加速度为 与x轴方向的夹角为 3s末，速度与x轴方向夹角为 可知内质点做匀变速直线运动，加速度大小为，故C错误； D．末质点的速度为5m/s，加速度为，做匀变速直线运动，则3s~4s的位移为 m 故D正确； 故选D。 9.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数，杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连，已知：，，若A球在水平外力作用下向右移动的速度为3m/s时，则B球的速度为（　　） A．1.5m/s B．2.25m/s C．3m/s D．4m/s 【答案】B 【解析】将A球速度沿着绳和垂直于绳分解，平行分量为 其中 即 A球和B球沿着绳的分速度相等，则B球沿着绳的速度分量为 则B球的速度为 故选B。 10.（24-25高一下·河南开封·期末）河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（　　） A．船渡河的最短时间是 B．船在行驶过程中，船头必须始终偏向河岸上游 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是 【答案】D 【解析】A．当船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最短，，故A错误； BC．当静水速（即船头的指向）与河岸垂直时，渡河时间最短，由于水流速在变化，所以合运动不是直线运动，故BC错误； D．当水流速最大时，合速度最大，最大速度为，故D正确。 故选D。 11.（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图甲，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s.假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（    ） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为150m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为150m D．如图乙，若出发点m以下均为危险区，小船过河的最短时间为s 【答案】D 【解析】ABC．河宽200m，小船无论如何过河，小船过河的位移不可能小于200m，若以最小位移过河，此时满足， 解得s 故ABC错误； D．图乙中，设小船与岸成角，则有， 解得，s 故D正确； 故选D。 12.（24-25高一上·重庆·期末）曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转化的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0=12m/s的匀速圆周运动，已知OP=6m，PQ=8m，则下列说法正确的是（　　） A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于12m/s B．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度为零 C．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为10m/s D．当PQ垂直于OP时，活塞运动的速度为15m/s 【答案】ABD 【解析】A．对P和Q的运动分解，如图所示 由关联速度可知 则 当OP与OQ垂直时，α=β，P的速度大小为v0，此时杆PQ整体运动的方向是相同的，方向沿OQ的平行的方向，所以活塞运动的速度等于P的速度，都是v0=12m/s，故A正确； B．当O、P、Q在同一直线时，P的速度方向与OQ方向垂直，沿OQ方向的分速度为0，Q的瞬时速度为0，所以活塞运动的速度等于0，故B正确； CD．当PQ垂直于OP时，即杆与圆相切 根据几何关系可得 解得 故C错误，D正确。 故选ABD。 13.2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年。已知小船在静水中的速度为，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽为，水流速度为，方向与河岸平行，求： (1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？ (2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？ 【答案】(1)50s，250m (2) (3)300m， 【解析】（1）当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如下图所示 最短时间为 这时小船的合速度为 此种情况下小船过河的位移为 （2）船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图所示 这种情况下，小船的合速度为 当过河位移最短时过河的时间为 （3）若水流速度为 则 此种情况下过河如图所示 当船头方向即方向与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为 这种情况下，小船的合速度为 过河时间为 / 学科网（北京）股份有限公司 $