19.2.2 二次根式的除法 课件-2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦人教版八年级下册“二次根式的除法”，核心内容为二次根式除法法则（√a/√b=√(a/b)，a≥0,b>0）及商的算术平方根性质（√(a/b)=√a/√b，a≥0,b>0）。课堂导入通过复习二次根式乘法法则，结合“计算√(4/9)与2/3的关系”等实例，引导学生从特殊到一般发现规律，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“观察-探究-归纳”为主线，通过类比乘法法则培养学生推理意识，结合长方形面积计算、高空抛物时间求解等实际问题发展模型意识与应用意识。典例涵盖基础计算、含字母化简及中考创新题型（如幻方类比问题），分层设计助力学生深化理解，教师可直接用于课堂教学，有效提升教学效率与学生数学思维能力。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.2.2 二次根式的除法 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解并掌握二次根式的除法法则： 会用类比的数学思想方法来探究除法法则.(重难点) (a≥0,b＞0) (a≥0,b＞0) 3. 掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题，通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想. 2. 理解并掌握商的算术平方根的性质： 体会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系. (重、难点) 学习目标 二次根式的乘法法则： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 计算 公式逆用： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 化简 (a≥0，b≥0) (a≥0，b≥0) 探究新知 问题1：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) ___÷___=____； = _____； (2) ___÷___=____； (3) ___÷___=____； = _____； = _____. 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 探究新知 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 问题2：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？ 特殊 一般 探究新知 不是的.应该是 a≥0， b＞0. 若 b = 0 时，等式两边的二次根式就没有意义啦！ 回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道 那么对于 是否同样是 a≥0，b≥0？ (a≥0，b≥0) 探究新知 二次根式的除法法则： 【知识要点】 文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式的法则，易得 (a≥0，b＞0) (a≥0，b＞0，n≠0) 探究新知 例1 计算： 解： 除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算 探究新知 【练一练】 1. 计算： 解： 带分数化假分数 探究新知 类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 二次根式的商的算术平方根的性质 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. (a≥0，b＞0) 我们可以运用它来进行二次根式的化简. 探究新知 例2 化简： 解：(1) (1) ； (2) . (2) 探究新知 1. 能使等式 成立的 x 的取值范围是( ) C A. x≠2 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2 【练一练】 探究新知 解： 2. 化简： (1) ； (2) ； (3) ； 探究新知 例3 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S = ，b = ，求 a. 解：因为 S = ab，所以 总结：二次根式化简的结果中被开方数不含分母. 探究新知 【练一练】 3. 计算： (1) ； (2) . 解：(1) ； (2) 探究新知 返回 B 中考考法 17 B 返回 中考考法 18 B 返回 中考考法 19 返回 中考考法 20 返回 中考考法 21 中考考法 22 返回 中考考法 23 返回 中考考法 24 中考考法 25 返回 【答案】D 中考考法 26 返回 D 中考考法 27 返回 中考考法 28 11．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格 中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘 的结果都相等，则A＋B＋C＋D的值为 ________．　 中考考法 29 返回 中考考法 30 中考考法 31 (1)已知小明家住21层，每层的高度近似为3 m，假如从小明家地面坠落一个物品，求该物品落地的时间．(结果保留根号) 中考考法 32 (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64 J的动能，高空抛物动能(单位：J)＝10×物体质量(单位：kg)×下落高度(单位：m)，某质量为0.1 kg的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 中考考法 33 返回 中考考法 34 中考考法 35 中考考法 36 中考考法 37 返回 中考考法 38 二次根式除法 法则 相关概念 性 质 (a≥0，b＞0) (a≥0，b＞0) 化简结果中被开方数不含分母 课堂小结 谢谢观看！ 1．下列各式计算正确的是(　　) A．÷＝4 B．÷＝ C．÷＝5 D．÷＝7 2．若＝成立，则x的值可以是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．3 【点拨】∵＝成立，∴解得 －1≤x＜2.∴x的值可以是0. 3．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①·＝1；②＝；③÷＝－b，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【点拨】∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0.∴·＝1，＝，÷＝－b. x> 4．已知不等式2x－＞0，则这个不等式的解集为________． 5．诺诺是一名热爱数学和拼图的中学生，他有一个可以变形的益智拼图玩具，这个玩具可以将一个矩形变形为一个与它面积相等的三角形，已知矩形的长、宽分别为，，三角形的面积等于矩形的面积，若该三角形的一条边长为，则这条边上的高为________． 原式＝＝×＝. 6．计算： (1)÷(a＞0，b＞0)； (2)； 【解】原式＝＝＝2a. 【解】原式＝＝1. 原式＝3×－×＝－. (3)÷×； (4)4×－÷． 【解】原式＝·＝·＝＝. 当x＝3时，原式＝.(所取x值不唯一) 7．先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值． 8．若x＜1，且y＝＋3，则y·÷·的值为(　　) A． B．16 C．64 D．8 【点拨】∵x＜1，且y＝＋3，∴y＝－1＋3＝2. ∴y·÷·＝2÷×＝2＝8.故选D. 【点拨】＝＝＝. ∵＝a，＝b，∴原式＝. 9．已知＝a，＝b，则＝(　　) A． B． C． D． － 10．对于任意两个和为正数的实数a，b，定义运算※如下：a※b＝，例如3※1＝＝1．那么8※12＝________． 3＋3 【点拨】∵5××＝10，∴A×5×＝10，解得A＝2；B××10＝10，解得B＝1；5××C＝10，解得C＝2；×10×D＝10，解得D＝. ∴A＋B＋C＋D＝2＋1＋2＋＝3＋3. 12．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式t＝(不考虑风速的影响，g≈10 m/s2，≈2.236) 【解】由题意可知h≈20×3＝60(m)． ∴t＝≈＝2(s)． ∴该物品落地的时间约为2 s. 【解】该玩具最低的下落高度h＝＝64(m)， ∴t＝≈＝≈＝3.577 6(s)． ∴最少经过约3.577 6 s落地就可能会伤害到楼下的行人． 13．阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，＋1与－1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了． 例如：＝＝，＝＝＝＝． (1)请你写出3＋的有理化因式：_________________； 3－(答案不唯一) (2)请仿照上面给出的方法化简(b≥0且b≠1)； 【解】原式＝＝＝1＋. (3)已知a＝，b＝，求的值． 【解】∵a＝＝＝－－2， b＝＝＝－＋2. ∴＝＝＝4. $