19.2.1 二次根式的乘法 课件- 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式乘法法则及积的算术平方根性质，通过正方形面积复习算术平方根意义，以长方形面积计算设问，搭建从已知到新知的学习支架，引导学生自然衔接前后知识。 其亮点在于以探究活动为主线，让学生观察特例、猜想规律并严格证明，培养推理意识。结合面积计算等现实情境发展抽象能力，例题与中考题结合，助力学生提升运算能力，教师可直接用于教学，提高效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.2.1 二次根式的乘法 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解和掌握二次根式的乘法法则： (a＞0，b＞0). 经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系. (重点) 2. 理解和掌握积的算术平方根的性质： (a＞0，b＞0).体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系. (重点) 3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.(难点) 学习目标 长方形面积 ＝ ＝ ？ 面积＝ ？ 面积＝ ？ 情景导入 计算下列各式： =_________； (1) ___×___=____； (3) ___×___=____； =_________； =_________. (2) ___×___=____； 2 3 6 4 5 20 6 7 42 观察两者有什么关系？ 探究点1：二次根式的乘法法则 探究新知 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 思考 能用字母表示你所发现的规律吗？ (1) (2) (3) 猜测： 你能证明这个猜测吗？ (a≥0，b≥0) 探究新知 证明：根据积的乘方法则，有 ∴ 就是 ab 的算术平方根. 又∵ 表示 ab 的算术平方根， ∴ . 求证： 探究新知 面积＝ 一般地，二次根式的乘法法则是 二次根式相乘，________不变， _________相乘. 根指数 被开方数 【知识要点】 (a≥0，b≥0) 本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. 探究新知 例1 计算： 解： 探究新知 【练一练】 1. 计算： 总结 当三个及三个以上的二次根式相乘， 解：(1) 原式 = (2)原式＝ (a≥0，b≥0，k≥0) 探究新知 【练一练】2. 计算： 解: 归纳:当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 想一想 你还记得单项式乘单项式的法则吗？ 试回顾如何计算 3a2 · 2a3 = . 6a5 (a≥0,b≥0) 探究新知 反过来： (a≥0，b≥0) 这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质” 语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 【知识要点】 (a≥0，b≥0) 一般地： 探究新知 解：(1) 例2 化简： (1) 　　　 　； (2) (a≥0，b≥0)． (2) (2) 中4a2b3含有像 4a2，b2，这样开得尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外. 探究新知 【练一练】3. 化简： 解：(1) ＝5×12 ＝60； (2) 探究新知 (1) 　 ；(2) ； (3) .　　 解：(1) (2) (3) 例3 计算： 探究新知 1. 把被开方数分解因式(或因数) ； 2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因 式(或因数)的算术平方根的积； 化简二次根式的步骤： 【归纳总结】 3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 = |a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 . 探究新知 【练一练】4. 计算： 解：原式 原式 (1) (2) 课堂练习 解：它的面积为: ( m2 ) 答：它的面积为 m2. 5. 小明家有一块长方形的地，它的长为 m， 宽为 m，求出它的面积. 课堂练习 返回 D 中考考法 19 中考考法 20 返回 【答案】C 中考考法 21 中考考法 22 返回 【答案】C 中考考法 23 中考考法 24 返回 【答案】C 中考考法 25 返回 中考考法 26 返回 a2b 中考考法 27 返回 －8 中考考法 28 中考考法 29 中考考法 30 返回 中考考法 31 返回 A 中考考法 32 中考考法 33 中考考法 34 返回 【答案】A 中考考法 35 返回 中考考法 36 二次根式乘法： 正用：计算 逆用：化简 简单应用 课堂小结 谢谢观看！ 1．计算：·的值为(　　) A．5xy B．xy C．5x D．x 2．[2025阜阳期中]若a<(4＋)×<b(a，b为连续整数)，则a，b的值分别为(　　) A．3，4　 B．4，5 C．5，6　 D．6，7 【点拨】(4＋)×＝2＋1.∵2＋1＝＋1，4<<5，∴5<＋1<6.∵a<(4＋)×<b(a，b为连续整数)，∴a＝5，b＝6. 3．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分的面积为(　　) A．5 B．5 C．6 D．6 【点拨】设两个正方形的边长是x，y(0＜x＜y)，则x2＝6，y2＝24，∴x＝，y＝.∴阴影部分的面积为(y－x)x＝(－)×＝6. 4．已知整数k满足|k＋1|＋|k－4|＝5，且还满足等式＝·，则符合条件的所有整数k的和是(　　) A．14 B．9 C．5 D．3 【点拨】∵|k＋1|＋|k－4|＝5，∴－1≤k≤4.∵＝·，∴k＋2≥0，3－k≥0.∴－2≤k≤3.∴－1≤k≤3.∴整数k的值为－1，0，1，2，3.∴符合条件的所有整数k的和是－1＋0＋1＋2＋3＝5. (答案不唯一) 5．若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______________． 【点拨】∵a＝，b＝， ∴＝＝××＝a·a·b＝a2b. 6．已知a＝，b＝，那么用含有a，b的式子可以表示为________． 【点拨】∵×＝×2＝2， ∴m＝2，n＝10.∴m－n＝2－10＝－8. 7．若×＝×m＝m，则m－n＝________． 原式＝2××＝－＝－4. 8．计算： (1)[2025陕西]×＋|－2|－(π－3)0； (2)×2×； 【解】原式＝＋2－1＝6＋2－1＝7. 原式＝＝1. (3)·(a≥0，b≥0)； (4)×． 【解】原式＝ ＝15a2b. 【点知识】(1)一般地，对二次根式的乘法规定：·＝(a≥0，b≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中，如··＝(a≥0，b≥0，c≥0)．(3)当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数，如a·c＝ac(b≥0，d≥0)． 9．[2025驻马店期中]如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表示×(－2)的点处，则该点可能是下列点中的(　　) A．点E B．点F C．点P D．点Q 10．如图，将1，，三个数按图中方式排列，若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(5，4)与(51，30)表示的两个数的积是(　　) A． B． C． D．1 【点拨】由题意可得，每三个数一循环，分别为1，， .第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…，第n排有n个数，且每一排的数是从右往左排列的．∵前4排共有1＋2＋3＋4＝10(个)数，∴第5排第4列的数是第10＋4＝14(个)数．∵14÷3＝4……2，∴(5，4)表示的数是. ∵前50排共有1＋2＋3＋4＋…＋50＝(1＋50)×50÷2＝1 275(个)数，∴第51排第30列的数是第1 275＋30＝1 305(个)数．∵1 305÷3＝435，∴(51，30)表示的数是.∴(5，4)与(51，30)表示的两个数的积是×＝. 120π 11．庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一．如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部底面半径为2 cm，深6 cm，则其容积为______cm3(结果保留根号和π)． $